高三数学高考总复习15导数的综合应用理配套相应练习与解析基础知识梳理 10页

导数的综合应用 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数；‎ ‎2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；‎ ‎3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；‎ ‎4．提高应用知识解决实际问题的能力。‎ ‎【知识网络】‎ ‎ 导数的应用 极值与最值问题 函数的单调性问题 切线斜率、方程 ‎【考点梳理】‎ ‎【高清课堂：导数的应用（理）394572 知识要点】‎ 考点一、求切线方程的一般方法 ‎（1）求出函数在处的导数；‎ ‎（2）利用直线的点斜式得切线方程。‎ 要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.‎ ‎ 考点二、判定函数的单调性 ‎（1）函数的单调性与其导数的关系 设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。‎ 要点诠释：①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。‎ ‎②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。‎ ‎③要关注导函数图象与原函数图象间关系。‎ ‎（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤 ‎①确定函数f(x)的定义域；‎ ‎②求导数；‎ ‎③在定义域内解不等式；‎ ‎④确定f(x)的单调区间。‎ 要点诠释：函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。‎ 考点三、函数的极值 ‎（1）极值的概念 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，‎ ‎①如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。‎ 极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。‎ 要点诠释：‎ ‎①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。‎ ‎②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。‎ ‎③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。‎ ‎④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。‎ ‎⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。‎ ‎⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。‎ ‎（2）求极值的步骤 ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数；‎ ‎③求方程的根；‎ ‎④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)‎ 要点诠释：函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化。‎ 考点四、函数的最值 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。‎ ‎（1）最值与极值的区别与联系：‎ ‎ ①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；‎ ‎②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；‎ ‎ ③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。‎ ‎ ④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。‎ ‎（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤 ‎①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数 ‎②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值 ‎③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。‎ 要点诠释：①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。‎ ‎②在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：函数的切线问题 例1.求曲线的分别满足下列条件的切线：‎ ‎ （1）在点的切线；（2）过点的切线；‎ ‎【解析】‎ ‎（1）时，在点的切线的切线的斜率，‎ ‎∴在点的切线为，即.‎ ‎（2）当切点为点时，切线为 ‎ 当切点不是点时，设切点为，‎ 则， 解得或（舍去）‎ ‎∴切点为的切线为，即，‎ 故过点的切线为或.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方程。‎ ‎【解析】∵， 令，得x=4, ‎ 将x=4代入中得y=5‎ ‎ ∴切点坐标是(4,5)， ∴切线方程为：.‎ ‎ 即：x-2y+6=0。‎ ‎【变式2】设函数的图象与直线相切于点（1，－11）,求a，b的值.‎ ‎【解析】‎ ‎∵的图象与直线相切于点（1，－11）.‎ ‎∴，即 解之得a=1，b=－3.‎ 类型二：函数单调性问题 例2．已知a∈R，求函数的单调区间.‎ ‎【解析】.‎ ‎（1）当a=0时，‎ 若x＜0，则；若x＞0，则.‎ 所以，当a=0时，‎ 函数在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.‎ ‎（2）当a＞0时，‎ 由2x+ax2＞0，解得或x＞0；由2x+ax2＜0，解得.‎ 所以，当a＞0时，‎ 函数在区间内为增函数，‎ 在区间内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.‎ ‎（3）当a＜0时，‎ 由2x+ax2＞0，解得；由2x+ax2＜0，解得x＜0或.‎ 所以，当a＜0时，‎ 函数在区间（－∞，0）内为减函数，‎ 在区间内为增函数，在区间内为减函数.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，则恒成立，‎ 此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；‎ ‎（2）当时，‎ ‎，‎ ‎∴当时，函数有三个单调区间，‎ 增区间为：；‎ 减区间为：，.‎ ‎【变式2】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x), 试问：是否存在实数l，使F(x)在(-¥,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.‎ ‎【解析】假设存在实数l满足题设.‎ ‎ F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l),‎ ‎ F¢(x)=4x3-2(l-2)x,‎ 令4x3-2(l-2)x=0,‎ ‎ （1）若l≤2，则x=0.‎ ‎ 当x∈(-∞,0)时，F¢(x)<0；当x∈(0,+∞)时，F¢(x)>0.‎ ‎ ∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设.‎ ‎ （2）若l>2，则x=0或，‎ ‎ 当时，F¢(x)<0；当时，F¢(x)>0；‎ 当时，F¢(x)<0；当时，F¢(x)>0.‎ ‎∴F(x)的单调增区间是，，‎ 单调减区间是，. ‎ 要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，‎ 则，即l=4.‎ ‎ 故存在实数l=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.‎ 类型三：函数的极值问题 例3. 已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值.‎ ‎【解析】‎ 依题意，，‎ 即 ‎∴，‎ 令，得x=-1或x=1，‎ 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎(1，+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴在处取得极大值，在处取得极小值.‎ ‎【总结升华】利用“在处取得极值，则必有导数”是本题的破题关键.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.‎ ‎【解析】‎ ‎ 依题意得方程组 ‎ 解得.‎ ‎ 当a=-3,b=3时，‎ 令得x=1.‎ x ‎(-∞,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 无极值 ‎↗‎ ‎ 显然a=-3, b=3不合题意，舍去.‎ ‎ 当a=4, b=-11时，f´(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)‎ ‎ 令得或 x=1.‎ x ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ f(x)在x=1处有极小值10，合题意，‎ ‎∴a=4, b=-11.‎ ‎【变式2】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.‎ ‎（1）求常数的值；‎ ‎（2）求的极值.‎ ‎【解析】，令得方程 ‎ ∵在处取得极值 ‎ ∴或为上述方程的根， ‎ ‎ ∴，即 ‎ ‎ 　 ∴‎ ‎①当时，（不符合题意）‎ ‎②当时，当x变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎(1，+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ∴在处取得极大值，在处取得极小值.‎ ‎ 由题意得， 整理得，又 联立，解得，‎ ‎∴‎ 由表知道：，‎ ‎③当时，当x变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎(1，+∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ ∴在处取得极小值，在处取得极大值.‎ ‎ 由题意得， 整理得，又 联立，解得，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 综上可得：‎ ‎（１），或，‎ ‎（２）当，时，，‎ 当，时，，‎ 类型四：函数的最值问题 ‎【高清课堂：导数的应用（理）394572 典型例题一】‎ 例4.已知函数 ‎ （1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求的值；‎ ‎ （2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。‎ ‎【解析】（1），‎ 由题意：‎ ‎（2）令 令 令 令 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ 所以函数的单调增区间是，‎ 单调减区间是 结合函数单调性的草图知：‎ 当即时，‎ 在上单调增，‎ 当即时，‎ 在上单调增，在上单调减，‎ 当即时，‎ 由题意得，则 综上，当时，‎ 当时，.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】求函数在[0，2]上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】，‎ 令，化简为x2+x－2=0.‎ 解得x=－2（舍去）或x=1.‎ ‎，又因为，，‎ ‎，‎ 所以为函数在[0，2]上的最小值，‎ 为函数在[0，2]上的最大值.‎ ‎【变式2】设函数求的最小值;‎ ‎【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 当时，, ∴在区间是减函数；‎ 当时，, ∴在区间是增函数.‎ ‎∴在时取得最小值且最小值为.‎