高考数学理二轮专练四中档大题目五 6页

中档大题(五)‎ ‎1．(2013·高考广东卷)已知函数f(x)＝cos，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若cos θ＝，θ∈，求f.‎ ‎2．某校在筹办2013年元旦联欢会前，对学生“是喜欢曲艺还是舞蹈节目”做了一次调查，随机抽取了100名学生，相关的数据如下表所示：‎ 喜欢曲艺 喜欢舞蹈 总计 男生 ‎40‎ ‎18‎ ‎58‎ 女生 ‎15‎ ‎27‎ ‎42‎ 总计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ ‎(1)若从喜欢舞蹈节目的45名学生中按性别分层随机抽取5名，则女生应该抽取几名？‎ ‎(2)在(1)中抽取的5名学生中任取2名，求恰有1名男生的概率．‎ ‎3．(2013·荆州市高中毕业班质量检测))如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．‎ ‎(1)求证：AM＝CM；‎ ‎(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.‎ ‎4．(2013·江南十校联考)将函数y＝sin x的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数f(x)的图象，若g(x)＝f(x)cos x＋.‎ ‎(1)将函数g(x)化成g(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A、ω>0，φ∈[－，])的形式；‎ ‎(2)若函数g(x)在[－，θ0]上的最大值为2，试求θ0的最小值．‎ ‎5．(2013·深圳市高三年级第一次调研考试)一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：‎ 学生 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 数学x(分)‎ ‎89‎ ‎91‎ ‎93‎ ‎95‎ ‎97‎ 物理y(分)‎ ‎87‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎(1)要从5名学生中选2名参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；‎ ‎(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程＝bx＋a.‎ 参考公式：回归直线的方程是＝bx＋a，其中b＝，a＝y－bx.‎ ‎6．(2013·广东省惠州市高三第三次调研考试)已知点(1，)是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{cn}的通项cn＝bn·()n，求数列{cn}的前n项和Rn；‎ ‎(3)若数列{}的前n项和为Tn，问Tn>的最小正整数n是多少？‎ 答案：‎ ‎1．【解】(1)因为f(x)＝cos，‎ 所以f＝cos＝cos ＝×＝1.‎ ‎(2)因为θ∈，cos θ＝，‎ 所以sin θ＝－＝－＝－.‎ 所以f＝cos＝cos ‎＝× ‎＝cos θ＋sin θ＝－＝－.‎ ‎2．【解】(1)由表中数据可知，‎ 女生应该抽取27×＝3(名)．‎ ‎(2)记抽取的5名学生中，2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c.‎ 则从5名学生中任取2 名的所有可能的情况有10种，它们是：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)．‎ 其中恰有1名男生的情况有6种，它们是：(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)(B，c)．‎ 故所求概率为＝.‎ ‎3．【证明】(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1，∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC.‎ 又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴BC⊥PA，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.‎ 在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝PB，‎ 在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝PB，‎ ‎∴AM＝CM.‎ ‎(2)连接DB交AC于点F，‎ ‎∵DCAB，∴DF＝FB.‎ 取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM，‎ 又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，‎ ‎∴DG∥平面AMC.‎ 连接GN，则GN∥MC，‎ ‎∴GN∥平面AMC.‎ 又GN∩DG＝G，‎ ‎∴平面DNG∥平面AMC.又DN⊂平面DNG，‎ DN∩平面AMC＝∅，‎ ‎∴DN∥平面AMC.‎ ‎4．【解】(1)由题意可得f(x)＝4sin(x－)，‎ ‎∴g(x)＝4sin(x－)cos x＋ ‎＝4(sin x－cos x)cos x＋ ‎＝2(sin xcos x－cos2x)＋ ‎＝2sin(2x－)．‎ ‎(2)∵x∈[－，θ0]，∴2x－∈[－，2θ0－]．‎ 要使函数g(x)在[－，θ0]上的最大值为2，‎ 当且仅当2θ0－≥，‎ 解得θ0≥，‎ ‎∴θ0的最小值为.‎ ‎5．【解】(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为：(A4，A5)、(A4，A1)、(A4，A2)、(A4，A3)、(A5，A1)、(A5，A2)、(A5，A3)、(A1，A2)、(A1，A3)、(A2，A3)，共10种情况．‎ 其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：(A4，A5)、(A4，A1)、(A4，A2)、(A4，A3)、(A5，A1)、(A5，A2)、(A5，A3)，共7种情况，‎ 故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率P＝.‎ ‎(2)散点图如图所示．‎ 可求得：‎ x＝＝93，‎ y＝＝90，‎ (xi－x)2＝(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40，‎ b＝＝0.75，‎ a＝－bx＝20.25，‎ 故所求的线性回归方程是＝0.75x＋20.25.‎ ‎6．【解】(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝()x，‎ a1＝f(1)－c＝－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.‎ 又数列{an}成等比数列，‎ ‎∴a1＝＝＝－＝－c，‎ ‎∴c＝1.‎ 又公比q＝＝，‎ ‎∴an＝－×()n－1＝－2()n(n∈N*)．‎ ‎∵Sn－Sn－1＝(－)(＋)＝＋(n≥2)，bn>0，>0，∴－＝1，‎ ‎∴数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.‎ 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1；‎ 又b1＝c＝2×1－1＝1满足bn＝2n－1，‎ ‎∴bn＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)∵cn＝bn()n＝(2n－1)()n，‎ ‎∴Rn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，‎ Rn＝1×()1＋3×()2＋5×()3＋…＋(2n－1)×()n，①‎ Rn＝1×()2＋3×()3＋5×()4＋…＋(2n－3)×()n＋(2n－1)×()n＋1.②‎ 由①－②得，‎ Rn＝＋2[()2＋()3＋()4＋…＋()n]－(2n－1)×()n＋1，‎ 化简得，Rn＝＋2×－(2n－1)×()n＋1＝－×()n，‎ ‎∴R n＝1－.‎ ‎(3)由(1)知Tn＝＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋ ‎＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)‎ ‎＝(1－)＝.‎ 由Tn＝>得n>，‎ ‎∴满足Tn>的最小正整数n为72.‎