高起专成人高考数学文史试题历年成考数学试题答案与解答提示 32页

一、集合与简易逻辑 2001 年 (1) 设全集 M={1,2,3,4,5} ， N={2,4,6} ， T={4,5,6} ，则 (M T) N  是（ ） (A) }6,5,4,2{ (B) }6,5,4{ (C) }6,5,4,3,2,1{ (D) }6,4,2{ (2) 命题甲：A=B，命题乙：sinA=sinB . 则（ ） (A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件； (C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。 2002 年 （1） 设集合 }2,1{A ，集合 }5,3,2{B ，则 BA  等于（ ） （A）{2} （B）{1,2,3,5} （C）{1,3} （D）{2,5} （2） 设甲： 3x ，乙： 5x ，则（ ） （A）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件； （C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2003 年 （1）设集合  2 2( , ) 1M x y x y   ，集合  2 2( , ) 2N x y x y   ，则集合 M 与 N 的关系是 （A） M N=M （B） M N= （C） N MØ （D） M NØ （9）设甲： 1k  ，且 1b  ；乙：直线 y kx b  与 y x 平行。则 （A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2004 年 （1）设集合  , , ,M a b c d ，  , ,N a b c ，则集合 M N= （A） , ,a b c （B） d （C） , , ,a b c d （D） （2）设甲：四边形 ABCD 是平行四边形 ；乙：四边形 ABCD 是平行正方，则 （A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2005 年 （1）设集合  P= 1 2 3 4,，，， 5 ，  Q= 2,4,6,8,10 ，则集合 P Q= （A） 2 4， （B） 1 2,3,4,5,6,8,10， （C） 2 （D） 4 （7）设命题甲： 1k  ，命题乙：直线 y kx 与直线 1y x  平行，则 （A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2006 年 （1）设集合  M= 1 01 2 ，，， ，  N= 1 2 3，， ，则集合 M N= （A） 01， （B） 01 2，， （C） 1 01 ，， （D） 1 01 2 3 ，，，， （5）设甲： 1x  ；乙： 2 0x x  . （A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2007 年 （8）若 x y、 为实数，设甲： 2 2 0x y  ；乙： 0x  ， 0y  。则 （A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2008 年 （1）设集合  A= 2 4 6，， ，  B= 1 2 3，， ，则 A B= （A） 4 （B） 1,2,3,4,5,6 （C） 2,4,6 （D） 1,2,3 （4）设甲： 1, :sin6 2x x 乙 ，则 （A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 二、不等式和不等式组 2001 年 (4) 不等式 53 x 的解集是（ ） (A) }2|{ xx (B) { | 8 2}x x x   或 (C) }0|{ xx (D) }2|{ xx  3 5 5> 3 5 8> 2 8 2x x x x x             或 2002 年 （14） 二次不等式 0232  xx 的解集为（ ） （A） }0|{ xx （B） }21|{  xx （C） }21|{  xx （D） }0|{ xx 2003 年 （5）、不等式 2|1| x 的解集为（ ） （A） }13|{  xxx 或 （ B） }13|{  xx （C） }3|{ xx （D） }1|{ xx 2004 年 （5）不等式 12 3x   的解集为 （A） 12 15x x  （B） 12 12x x   （C） 9 15x x  （D） 15x x  2005 年 （2）不等式3 2 7 4 5 21 x x      的解集为 （A） ( ,3) (5,+ )   （B） ( ,3) [5,+ )   （C） (3,5) （D）[3,5)   1 2 33 2 7 3 9 0 (3 9)(5 25) 04 5 21 5 25 0 5 xx x x xx x x                     2006 年 （2）不等式 3 1x   的解集是 （A） 4 2x x    （B） 2x x   （C） 2 4x x  （D） 4x x  （9）设 ,a b  R ，且 a b ，则下列不等式中，一定成立的是 （A） 2 2a b （B） ( 0)ac bc c  （C） 1 1 a b  （D） 0a b  2007 年 （9）不等式 3 1 1x   的解集是 （A） R （B） 20 3x x x      或 （C） 2 3x x    （D） 20 3x x     2008 年 （10）不等式 2 3x   的解集是 （A） 5 1x x x  或 （B） 5 1x x   （C） 1 5x x x  或 （D） 1 5x x   (由 x 2 3 3 2 3 1 5x x           ) 三、指数与对数 2001 年 (6) 设 7.6log 5.0a ， 3.4log 2b ， 6.5log 2c ， 则 , ,a b c 的大小关系为（ ） (A) acb  (B) bca  (C) cba  (D) bac  ( 0.5loga x 是减函数, >1x 时, a 为负； 2logb x 是增函数， >1x 时 a 为正.故 0.5 2 2log 6.72(1,2)2 0 1 ,sin 0 3 <0 0 3x x x x x      （19） 1 2 2log 8 16 = 1 1 32 2 2 2log 8 16 log 2 4 3log 2 4 3 4 1              2007 年 （1）函数 lg -1y x （ ）的定义域为 （A）R （B） 0x x  （C） 2x x  （D） 1x x  （2） 0 4 4 1lg 8 lg 2 =4       （A）3 （B）2 （C）1 0 3 1 2 2 4 4 4 4 1 3 1lg 8 lg 2 =lg 4 lg 4 1= 1=14 2 2              （D）0 （5） 2xy  的图像过点 （A） 1( 3, )8  （B） 1( 3, )6  （C） ( 3, 8)  （D） ( 3, )   （15）设 1a b  ，则 （A）log 2 log 2a b （B） 2 2log loga b （C） 0.5 0.5log loga b （D）log 0.5 log 0.5b a 2008 年 （3） 0 2 1log 4 ( ) =3  （A）9 （B）3 （C）2 （D）1 0 2 2 2 1log 4 ( ) =log 2 1=2 1=13       （6）下列函数中为奇函数的是 （A） 3logy x （B） 3xy  （C） 23y x （D） 3siny x （7）下列函数中，函数值恒大于零的是 （A） 2y x （B） 2xy  （C） 2logy x （D） cosy x （9）函数 lg 3-y x x  的定义域是 （A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（ ∞，3] [由 lg x 得 >0x ，由 3- x 得 3x  ，     0 3 = 0< 3x x x x x x   故选（C）] （11）若 1a  ，则 （A） 1 2 log 0a  （B） 2log 0a  （C） 1 0a  （D） 2 1 0a   1 1 2 2 1 1 2 log log , , 0 A 1log 0 A2 y a y a y a y y a a y                      分析①： 故选 分析②： 是减函数，由 的图像知在点（1 0）右边 ，故选（ ） 设 ， ， （ ） 四、函数 2001 年 (3) 已知抛物线 22  axxy 的对称轴方程为 1x  ,则这条抛物线的顶点坐标为（ ） (A) )3,1(  (B) )1,1(  (C) )0,1( (D) )3,1(  0 0 2 2 0 1, =1 22 4 ( 2) ( 2) 4 ( 2) 34 4 x ax a ay                           (7) 如果指数函数 xay  的图像过点 )8 1,3(  ，则 a 的值为（ ） x y 1.3logy x 2logy x 0.5logy x 0.77logy x 3 3 0.3 0.3 0.4 0.3 0.4 0.3 ( ) ( ) [ (1,0) ] [ (1,0) ] ( ) ( ) . log log log log . . log log log log 0.5 0.4, 4 5; 0.5> 0.5, 5<  数 数 点 的左边 点 的右边 函数 函数 ①同底异真对数值大小比较： 增函数真 大对 大，减函数真大对小如 ②异底同真对数值大小比较： 同性时：左边 底大对也大，右边 底大对却小 异性时：左边减 大而增 小，右边减小而增大 如 0.4 3 4 3 3 4 3 4 3 4 log log log log log log log log log log 5; 0.5> 0.5, 5< 5 lg 2 lg 2 lg 2 lg 26 8( 6 1 , 8 1 , 6 8)lg3 lg 4 lg3 lg 4        ③异底异真对数值大小比较： 同性时：分清增减左右边，去同剩异作比较. 异性时：不易不求值而作比较，略. 如： (A) 2 (B) 2 (C) 2 1 (D) 2 1 (10) 使函数 )2(log 2 2 xxy  为增函数的区间是（ ） (A) ),1[  (B) )2,1[ (C) ]1,0( (D) ]1,( (13)函数 2 655)( xxf xx   是（ ） (A) 是奇函数 (B) 是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 (16) 函数 )34(log 3 1  xy 的定义域为____________。 (21) (本小题 11 分) 假设两个二次函数的图像关于直线 1x  对称，其中一个函数的表达式为 122  xxy ,求另一个函数的表达式。 解法一 函数 122  xxy 的对称轴为 1x   ， 顶点坐标: 0 = 1x  ， 2 0 2 4 1 ( 1) 24 4 1y a           设函数 2y x b x c    与函数 122  xxy 关于 1x  对称，则 函数 2y x b x c     的对称轴 3x  顶点坐标: 0 =3x ， 0 2y   由 0 2 bx a    得： 02 2 1 3 6b ax         ， 由 2 0 0 4 4 b acy ya      得： 2 2 04 4 ( 2) 6 74 4 ay bc a       所以，所求函数的表达式为 2 6 7y x x    解法二 函数 122  xxy 的对称轴为 1x   ，所求函数与函数 122  xxy 关于 1x  对称，则 所求函数由函数 122  xxy 向 x 轴正向平移 4 个长度单位而得。 设 0 0( , )M x y 是函数 122  xxy 上的一点，点 ( , )N x y 是点 0 0( , )M x y 的对称点，则 2 0 0 02 1y x x   ， 0 0 4x x y y    ，将 0 0 4x x y y    代入 2 0 0 02 1y x x   得: 2 6 7y x x   .即为所求。 x y (0,1] 1 3 log (4 3) 0 30<4 3 1 3<4 4 14 x x x x                 减函数，真数须在 之间，对数才为正 x y2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 2 2 2 12 2 ( 1) (0 1] log (2 ) . x x x x x y x x bx a y x x                          开口向下，对称轴为： 为 增区间 ∵ ∴ ， 的 2 2log (2 )y x x  2=2y x x (22) (本小题 11 分) 某种图书定价为每本 a 元时，售出总量为 b 本。如果售价上涨 x %，预计售出总量 将减少 0.5x %，问 x 为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为 (1 )100 xa  元/本，售量为 0.5(1 )100 xb  本。设此时销售总金额为 y ，则： 20.5 0.5 0.5= (1 ) (1 )= (1 )100 100 100 10000 x x x xy a b ab    ，令 0.5= ( )=0100 10000 xy ab  ，得 50x  所以， 50x  时，销售总金额最大。 2002 年 （9） 若函数 )(xfy  在 ],[ ba 上单调，则使得 )3(  xfy 必为单调函数的区间是（ ） A． ]3,[ ba B． ]3,3[  ba C． ]3,3[  ba D． ],3[ ba  ( ) ( 3) ( ) ( 3) ( 3) ( ) 3 ( ) ( 3) 3 -3; ( ) ( 3) 3 -3. ( 3) [ 3, y f x y f x y f x y f x f x y f x f a f x x a x a f b f x x b x b y f x a b                         因 与 对应关系相同，故它们的图像相同；因 与 的 自变量不同，故它们的图像位置不同， 的图像比 左移 个长度单位. 因 时，必有 ，即 时，必有 ，即 所以， 的单调区间是 3]                （10） 已知 3 104log)2( 2  xxf ，则 )1(f 等于（ ） （A） 3 14log 2 （B） 2 1 （C）1 （D）2 2 2 2 2 4 / 2 10 2 10 2 1 10( ) log log , (1) log log 4 23 3 3 x xf x f           ， （13） 下列函数中为偶函数的是（ ） （A） )1cos(  xy （B） xy 3 （C） 2)1(  xy （D） xy 2sin （21）（本小题 12 分） 已知二次函数 2 3y x bx   的图像与 x 轴有两个交点，且这两个交点间的距离 为 2，求b 的值。 解 设两个交点的横坐标分别为 1x 和 2x ，则 1x 和 2x 是方程 2 3=0x bx  的两个根， 得： 1 2x x b   ， 1 2 3x x  又得：    2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 12 2x x x x x x x x b         ， b= 4 （22）（本小题 12 分） 计划建造一个深为 4m ，容积为 31600m 的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造 价为 20 元，池底每平方米的造价为 40 元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为 x 、 y ，池壁与池底造价的造价之和为u ，则 1600 4004xy   ， 400y x 400 40040 20 4(2 2 ) 40 400 20 4(2 2 ) 16000 160( )u xy x y x xx x             22016000 160 ( ) 40x x        故当 20 0x x   ，即当 20x  时，池壁与池底的造价之和最低且等于： 400 40016000 160 ( ) 16000 160 (20 ) 22400( )20u x x         元 答：池壁与池底的最低造价之和为 22400 元 2003 年 （3）下列函数中，偶函数是 （A） 3 3x xy   （B） 2 33y x x  （C） 1 siny x  （D） tany x （10）函数 3 22 1y x x   在 1x  处的导数为 （A）5 （B）2 （C）3 （D）4 2 1 1(6 2 ) 6 2 4x xy x x        （11） 2lg( 1)y x x   的定义域是 （A） 1x x   （B） 2x x  （C） 1 2x x x  或 （D） （17）设函数 2( -1) 2 2f t t t   ，则函数 2( ) 1f x x  （20）（本小题 11 分） 设 ( )f x ax ， ( ) bg x x ， 1(2) g( )= 82f   ， 1 1( ) g(3)=3 3f  ，求 a b、 的值. 解 依题意得： 1(2) ( ) 2 2 8 2 1 1( ) (3)3 3 3 3 f g a b a bf g            ， • 2 1 a b a b      即 ① ② ， 1 2 1 2 2 1 1 2 a a b b         解得 ， （21）（本小题 12 分） 设 2 2( ) 2f x x ax a    满足 (2) ( )f f a ，求此函数的最大值. 解 依题意得： 2 2 2 24 4 2a a a a a       ，即 2 4 0a a   ，得： 1 2 2a a  2 2 2( ) 4 4 ( 4 4) ( 2) 8f x x x x x x            ， 可见，该函数的最大值是 8（当 2x  时） 2004 年 （10）函数 3( ) sinf x x x  （A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数也又是偶函数 （15） 3( ) 3f x x  ，则 (3)=f  （A）27 （B）18 （C）16 （D）12 （17） 5sin 12cosy x x   13 5 12 513( sin cos ) 13(sin cos cos sin )=sin cos =13 13 13y x x x x x           （ ）， ， （20）（本小题满分 11 分） 设函数 ( )y f x 为一次函数， (1)=8f ， ( 2)= 1f   ，求 (11)f 解 依题意设 ( )y f x kx b   ，得 (1) 8 ( 2) 2 1 f k b f k b          ，得 3 5 k b   ， ( ) 3 5f x x  ， (11)=38f （22）（本小题满分 12 分）在某块地上种葡萄，若种 50 株，每株产葡萄 70kg ；若多种一株，每株减产1kg 。 试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值，并求出这个最大值. 解 设种 x （ 50x  ）株葡萄时产量为 S，依题意得  2 2 2lg( 1) 0 1 1 2 0 1 2 1 2x x x x x x x x x x x                     或 或 x y   270-( -50) 120S x x x x   ， 0 120 602 2 1 bx a      （ ） ， 2 0S =120 60 60 =3600(kg)  所以，种 60 株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为 3600 kg . 2005 年 （3）设函数 2( ) 1f x x  ，则 ( 2)f x   （A） 2 4 5x x  （B） 2 4 3x x  （C） 2 2 5x x  （D） 2 2 3x x  （6）函数 1y x  的定义域是 （A） 1x x  （B） 1x x  （C） 1x x  （D） 1 1x x x  或  1 0 1 1 1 1 1x x x x x          即： 或 ， （9）下列选项中正确的是 （A） siny x x  是偶函数 （B） siny x x  是奇函数 （C） siny x x  是偶函数 （D） siny x x  是奇函数 （18）设函数 ( )f x ax b  ，且 5(1) 2f  ， (2) 4f  ，则 (4)f 的值为 7 注： 5 3 3 3(1) ( ) 1 (4) 4 1 72 2 2 2(2) 2 4 1 f a b a f x x f f a b b                      （23）（本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 2 5y x x   的图像交 y 轴于 A 点，它的对称轴为l ；函数 2 1xy a a （ ）的图像交 y 轴 于 B 点，且交l 于 C. （Ⅰ）求 ABC 的面积 （Ⅱ）设 3a  ，求 AC 的长 解（Ⅰ） 2 1 2 5y x x   的对称轴方程为： 2 12 2 bx a    依题意可知A B C、 、 各点的坐标为 A(0,5) 、 B(0,1) 、 C(1, )a 得： 2 2AB = (0 0) (5 1) =4   在 ABC 中，AB 边上的高为 1（ 1x  ），因此， ABC 1S = 4 1=22   （Ⅱ）当 3a  时，点 C 的坐标为 C（1，3），故 2 2AC = (0 ) (5 ) = 5    2006 年 （4）函数 2 2 3y x x   的一个单调区间是 （A） 0,   （B） 1,   （C） ,2 （D） ,3 （7）下列函数中为偶函数的是 （A） 2xy  （B） 2y x （C） 2logy x （D） 2cosy x （8）设一次函数的图像过点（1，1）和（2，0），则该函数的解析式为 （A） 1 2 3 3y x  （B） 1 2 3 3y x  （C） 2 1y x  （D） 2y x  C A B l 2 3xy  2 1 2 5y x x   x y 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 1 23( 1) 11 1 ( 2) 3 3 3 y y y y y y x y xx x x x x                      （10）已知二次函数的图像交 x 轴于（1，0）和（5，0）两点，则该图像的对称轴方程为 （A） 1x  （B） 2x  （C） 3x  （D） 4x  （17）已知 P 为曲线 3y x 上的一点，且 P 点的横坐标为 1，则该曲线在点 P 处的切线方程是 （A）3 2 0x y   （B）3 4 0x y   （C）3 2 0x y   （D）3 2 0x y    2 1 13 3, (1,1), 1 3( 1) 3 2 0x xk y x P y x x y            点的坐标： （20）直线 3 2y x  的倾斜角的度数为 60  180 < 0 , tan 3 2 3, arctan 3 60y x                2007 年 （1）函数 lg -1y x （ ）的定义域为 （A）R （B） 0x x  （C） 2x x  （D） 1x x  （5） 2xy  的图像过点 （A） 1( 3, )8  （B） 1( 3, )6  （C） ( 3, 8)  （D） ( 3, )   （6）二次函数 2 4 5y x x   图像的对称轴方程为 （A） 2x  （B） 1x  （C） 0x  （D） 1x   （7）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是 （A） 2 1( ) 1f x x   （B） 2( )f x x x  （C） ( ) cos 3 xf x  （D） 2( )f x x  2 2 2 ( ) ( )(B) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x xf x x x x x f x                （10）已知二次函数 2y x px q   的图像过原点和点 ( 4 0) ， ，则该二次函数的最小值为 （A）－8 （B）－4 （C）0 （D）12 2 2 min 0(0,0) ( 4,0) 4 ( 2) 4 416 4 0 4 q y x x x yp p                   函数图像过 和 （18）函数 2y x x  在点 (1,2) 处的切线方程为 3 1y x  1 1(2 1) 3, 2 ( 1) 3 1x xk y x y k x y x               （21）设 21( )2 4 xf x x  ，则 ( )f x  2 2x x 2 21( ) (2 ) 2 24f x x x x x       2008 年 （5）二次函数 2 2 2y x x   图像的对称轴方程为 （A） 1x   （B） 0x  （C） 1x  （D） 2x  （6）下列函数中为奇函数的是 （A） 3logy x （B） 3xy  （C） 23y x （D） 3siny x （7）下列函数中，函数值恒大于零的是 （A） 2y x （B） 2xy  （C） 2logy x （D） cosy x （8）曲线 2 1y x  与直线 y kx 只有一个公共点，则 k= （A） 2 或 2 （B）0 或 4 （C） 1 或 1 （D）3 或 7 （9）函数 lg 3-y x x  的定义域是 （A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（ ∞，3] [由 lg x 得 >0x ，由 3- x 得 3x  ，     0 3 = 0< 3x x x x x x   故选（C）] （13）过函数 6y x  上的一点 P 作 x 轴的垂线 PQ，Q 为垂足，O 为坐标原点，则 OPQ 的面积为 （A）6 （B）3 （C）12 （D）1 [设 Q 点的坐标为 x ，则 Q 1 1 6 32 2OPS yx xx     ] 五、数列 2001 年 (11) 在等差数列 na 中， 85 a ，前 5 项之和为 10，前 10 项之和等于（ ） (A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70 注： 1 5 5 5 5 5( ) 5( 4 ) 5(8 4 8)S = = = =102 2 2 a a a d a d     ， =3d 10 6 5 5 5 10 5 5 5 5( ) 5( 5 + ) 5(2 6 ) 5(2 8 6 3)S =S =S =S =10 =952 2 2 2 a a a d a d a d          (23) (本小题 11 分) 设数列 na ， nb 满足 11 a ， 01 b 且 nn nn n n ba ba b a 2 32 1 1          ,......3,2,1n 。 (i)求证 nn ba 3 和 nn ba 3 都是等比数列并求其公比； (ii)求 na ， nb 的通项公式。 证(i)     1 1 -1 -1 1 2 7 29 2 3 0 1 4 4 3 2 n n n n n n a a b b a b       ：，，， ， ， ：，，， ，  nn ba 3 :1 2 3 7 4 3 29 15 3 3n na b    ， ， ， ， ，  nn ba 3 :1 2 3 7 4 3 29 15 3 3n na b    ， ， ， ， ， 可见  nn ba 3 与 nn ba 3 的各项都不为 0.       1 13 =2 3 3 2 3 = 2+ 3 3 2 3 = 2+ 3 3n n n n n n n n n na b a b a b a b a b           1 13= = 2+ 3 3 n n n n a bq a b    ， 所以， nn ba 3 是等比数列且其公比为 =2+ 3q       1 13 =2 3 3 2 3 = 2 3 3 2 3 = 2 3 3n n n n n n n n n na b a b a b a b a b          1 13 =2 3 3 n n n n a b a b     所以， 3n na b 是等比数列且其公比为 =2 3q  (ii) 由 1 1 n na a q  得 2y x 2y x x y 2 2 2 2 2 2 1 2 1 12 2 1, 2 2 y x y x y x y xyy x y x x k yx y x                          的切线 就与 只有一个公共点， n 1 n 1 3 =(2 3) 3 =(2 3) n n n n a b a b        ， 得： n 1 n 1 n 1 n 1 1= (2 3) (2 3)2 3= (2 3) (2 3)6 n n a b                   2002 年 （12） 设等比数列 }{ na 的公比 2q ，且 2 4 8a a  ，则 71 aa  等于（ ） （A）8 B．16 （C）32 （D）64 3 2 22 1 7 4 2 4• 8 2 32aa a a q a a qq     （ ） （ 24 ）（ 本 小 题 12 分 ） 数 列 }{ na 和 数 列 }{ nx 的 通 项 公 式 分 别 是 22 1212 2   nn nan ， 2 1 2( 1) 1n nx n a a a     。 （Ⅰ）求证{ }nx 是等比数列； （Ⅱ）记 nn xxxS  21 ，求 nS 的表达式。 证（Ⅰ）因 >0na ， 2( 1) 1 >n     ，故 }{ nx 为正数列。当 n>2 时 2 2 2 1 2 22 2 21 1 2 1 2 2 22 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 1= = = 2 1 2 21 1 1 ( 1) 1 1= 2 = 22 21 nn n n n n a a a n nx nax n nn a a a n n n n n nn                             可见 }{ nx 的公比是常数 2 ，故 }{ nx 是等比数列。 （Ⅱ）由 1 35 2 1 25x     ， 1 2n n xq x    得： 31 1 2 3 2 3 3 2 (1 ) 2(1 2 ) 2( 2 1)( 2 1) ( 2 1) ( 2 2)1 1 2 2 2 2 2 ( 2) ( 2) 2 2 2 n n n n n n n n n n a qS x x x q                          2003 年 （23）已知数列 na 的前 n 项和 2 3n nS a  . （Ⅰ）求 na 的通项公式， （Ⅱ）设 2 n n n nab  ，求数列 nb 的前 n 项和. 解（Ⅰ）当 1n  时， 1 1 12 3a S a   ，故 1 3a  ， 当 2n  时， -1 1 12 3 (2 3) 2 2n n n n n n na S S a a a a         ， 故 12n na a  ， 1 1 1 2 2n n n n a aq a a       ，所以， 1 1 1 3 2n n na a q     （Ⅱ） 13 2 3 22 2 n n n n n na n nb     ， ∵ 1 3 2 3( 1) 1 2 n n n b nq b n n     ，∴ nb 不是等比数列 ∵ 1 3( 1)3 3 2 2 2n n nnd b b       ， ∴ nb 是等差数列  nb 的前 n 项和： 1 3 3( )( ) 32 2 ( 1)2 2 4 n n n nb b n nS n      2004 年 （7）设 na 为等差数列， 5 9a  ， 15 39a  ，则 10a  （A） （B） （C） （D） 10 1 5 15 1 10 10 5 15 10 5 15 19 , 2 18 2 , ( ) 242a a d a a a d a a a a a a a              是 的等差中项，和 （23）（本小题满分 12 分） 设 na 为等差数列且公差 d 为正数， 2 3 4 15a a a   ， 2a ， 3 1a  ， 4a 成 等比数列，求 1a 和 d . 解 由 2 3 4 33 15a a a a    ，得 3 5a  ， 2 4 10a a  ① 由 2a ， 3 1a  ， 4a 成等比数列，得 2 2 2 4 3( 1) (5 1) 16a a a     ② 由 2 4 2 4 10 16 a a a a       ① ② ，得 1 2 2 2 3 2 8( , ) a a a    大于 舍去 ， 3 2 1 2 5 2 3 2 3 1 d a a a a d            2005 年 （13）在等差数列 na 中， 3 1a  ， 8 11a  ，则 13a  （A） （B） （C） （D）22 8 3 13 3 8 3 13 8 13 3 13 8 3 (8 3) 1 5 11, 2, (13 3) 1 10 1 10 2 21 2 = =2 =2 11 1=21 a a d d d a a d d a a a a a a a a a                      或者这样解： 是 的等差中项和 ， + ， （22）（本小题满分 12 分） 已知等比数列 na 的各项都是正数， 1 2a  ，前 3 项和为 14。求： （Ⅰ）数列 na 的通项公式； （Ⅱ）设 2logn nb a ，求数列 nb 的前 20 项之和。 解（Ⅰ） 3 3 2 1 3 (1 ) 2(1 ) 2(1 )(1 ) 141 1 1 a q q q q qS q q q           ， 得 2 6q q  ， 1 2 , 2 3( ) q q    不合题意 舍去 ，所以， 1 1 1 2 2 2n n n na a q      （Ⅱ） 2 2log log 2n n nb a n   ， 数列 nb 的前 20 项的和为 20 (1 20) 201 2 3 20 2102S         2006 年 （6）在等差数列 na 中， 3 1a  ， 5 7a   ，则 7a  （A）11 （B）13 （C）15 （D）17  5 3 7 5(7 3) 1 2 7, 4, 2 7 2 ( 4)= 15a a d d d a a d                 （22）（本小题 12 分） 已知等比数列 na 中， 3 16a  ，公比 1 2q  。求： （Ⅰ）数列 na 的通项公式； （Ⅱ）数列 na 的前 7 项的和。 解（Ⅰ） 2 3 1a a q ， 2 1 1 =162a     ， 1=64a ， 1 1 7 6 1 7 1 164 2 2 2 22 n n n n n na a q               （Ⅱ） 7 7 1 7 164 1 2(1 ) 1 1128 1 =128 1 12711 2 1281 2 na qS q                               2007 年 （13）设等比数列 na 的各项都为正数， 1 1a  ， 3 9a  ，则公比 q  （A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3 （23）（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 (2 1)nS n n  , （Ⅰ）求该数列的通项公式； （Ⅱ）判断 39na  是该数列的第几项. 解（Ⅰ） 当 2n  时，  -1 (2 1) ( 1) 2( 1) 1 4 1n n na S S n n n n n          当 1n  时， 1 1 1 (2 1 1) 3a S      ，满足 4 1na n  ， 所以， 4 1na n  （Ⅱ） 4 1 39na n   ，得 10n  . 2008 年 （15）在等比数列 na 中, 2 =6a ， 4 =24a ， 6 =a （A）8 （B）24 （C）96 2 2 2 4 2 6 4 6 2 24 966 aa a a a a         （D）384 （22）已知等差数列 na 中， 1 9a  ， 3 8 0a a  （Ⅰ）求等差数列的通项公式 （Ⅱ）当 n 为何值时，数列 na 的前 n 项和 nS 取得最大值，并求该最大值 解（Ⅰ）设该等差数列的公差为 d ，则 3 1 2a a d  ， 8 1 7a a d  ， 3 8 1 1 12 7 2 9 0a a a d a d a d        将 1 9a  代入 12 9 0a d  得： 2d   ， 该等差数列的通项公式为 1 ( -1) 9 ( -1) ( 2) 11 2na a n d n n        （Ⅱ）数列 na 的前 n 项之和 21( ) (9 11 2 ) 102 2 n n n a a n nS n n      10 2 0nS n   令 ， 5n  ， 2 max 5(10 ) 25n nS n n    六、导数 2001 年 (22) (本小题 11 分) 某种图书定价为每本 a 元时，售出总量为 b 本。如果售价上涨 x %，预计售出总量 将减少 0.5x %，问 x 为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为 (1 )100 xa  元/本，售量为 0.5(1 )100 xb  本。设此时销售总金额为 y ，则： 20.5 0.5 0.5= (1 ) (1 )= (1 )100 100 100 10000 x x x xy a b ab    , 令 0.5= ( )=0100 10000 xy ab  ，得 50x  所以， 50x  时，销售总金额最大。 2002 年 （7） 函数 21 32y x x   的最小值是 （A） 5 2 （B） 7 2 （C） 3 （D） 4 2 min 1 1 1 72 1, , 2 32 2 2 2y x x y                （ ） （ ） （22）（本小题 12 分） 计划建造一个深为 4m ，容积为 31600m 的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造 价为 20 元，池底每平方米的造价为 40 元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为 x 、 y ，池壁与池底造价的造价之和为u ，则 1600 4004xy   ， 400y x 2 2 400 40040 20 4(2 2 ) 40 400 160( ) 16000 160( ) 160(1 ) 4001 0 20( 20 )u = u xy x y x y x u =x x x xx                  令 0，得 舍去 ， ， min 20 400 40016000 160 ( ) 16000 160 (20 ) 22400( )20xu x x              元 答：池壁与池底的最低造价之和为 22400 元 2003 年 （10）函数 3 22 1y x x   在 1x  处的导数为 （A）5 （B）2 （C）3 （D）4 2 1 1(6 2 ) 4x xy x x       2004 年 （15） 3( ) 3f x x  ，则 (3)=f  （A）27  2 3(3) 3 27xf x    （B）18 （C）16 （D）12 2005 年 （17）函数 ( 1)y x x  在 2x  处的导数值为 5 2 2(2 1) 5x xy x       （21）求函数 3 3y x x  在区间[0,2]的最大值和最小值（本小题满分 12 分） 解 令 2 23 3 3( 1) 3( 1)( 1) 0y x x x x         ，得 1 1x  ， 2 1x   （不在区间[0,2]内，舍去） 3 3 0 1 20, 1 3 1 2, 2 3 2 2x x xy y y            可知函数 3 3y x x  在区间[0,2]的最大值为 2，最小值为2. 2006 年 （17）已知 P 为曲线 3y x 上的一点，且 P 点的横坐标为 1，则该曲线在点 P 处的切线方程是 （A）3 2 0x y   （B）3 4 0x y   （C）3 2 0x y   （D）3 2 0x y    2 1 13 3, (1,1), 1 3( 1) 3 2 0x xk y x P y x x y            点的坐标： 2007 年 （12）已知抛物线 2 4y x 上一点 P 到该抛物线的准线的距离为 5，则过点 P 和原点的直线的斜率为 （A） 4 4 5 5 或 （B） 5 5 4 4 或 （C）1 1或 （D） 3 3或 2 2 12 4 = , 5 4 4 12 yy px y x p x p x y k x                 由 和 得 2 （18）函数 2y x x  在点（1，2）处的切线方程为 3 1y x  ［ 1 1(2 1) 3x xk y x     ， 2 ( 1)y k x   ，即 3 1y x  ］ 2008 年 （8）曲线 2 1y x  与直线 y kx 只有一个公共点，则 k  （A） 2 或 2 （B）0 或 4 （C） 1 或 1 （D）3 或 7 （25）已知函数 4 2 5f x x mx  （ ） ，且 2 24f  （ ） （Ⅰ）求 m 的值 （Ⅱ）求 f x（ ）在区间 2 2 ， 上的最大值和最小值 解（Ⅰ） 34 2f x x mx  （ ） ， 32 4 2 2 2 24f m     （ ） ， 2m   （Ⅱ）令 3 34 2 =4 4 0f x x mx x x    （ ） ，得： 1 0x  ， 2 1x   ， 3 1x  =5f（0） ， 1 =1 2 5=4f   （ ） ， =1 2 5=4f  （1） ， =16 8 5=13f  （-2） ， =16 8 5=13f  （2） 所以， f x（ ）在区间 2 2 ， 上的最大值为 13，最小值为 4. 七、平面向量 2001 年 (18)过点 (2,1) 且垂直于向量 ( 1,2) a 的直线方程为 2 0x y  。 1( 1,2) 2 1 ( 2)2k k y k x            所在直线的斜率 与 垂直的直线的斜率 所求直线， ，a a 2002 年 （17）已知向量 (3,4)a  ，向量b  与 a 方向相反，并且| | 10b  ，则 b  等于 ( 6, 8)b    。 解 设 ( , )b x y ，因向量 b  与 a 方向相反（一种平行），故 3 4 x y ，即 4 3x y ① ， 2 2• 3 4 | || | cos180 3 4 10 50a b x y a b             ② 将①与②组成方程组： 4 3 3 4 = 50 x y x y     ① ② ，解得： 6 8 x y     ，故 ( 6, 8)b    也可这样简单分析求解： 因| | 5a  ，| | 10b  ，| |b  是| |a 的二倍，b  与 a 方向相反，故 2 = 2 (3,4)=( 6, 8)b a       2003 年 (13)已知向量 a 、 b 满足| | =4a ，| | =3b ， =30  a,b ，则 =a b （A） 3 （B） 6 3 = cos =4 3cos30 =6 3       a b a b a,b （C）6 （D）12 2004 年 （14）如果向量 (3, 2) a ， ( 1,2) b ，则 (2 ) ( )a + b a - b 等于 （A）28 （B）20 （C）24 （D）10 2 =2(3, 2)=(6, 4), 2 =(6, 4)+( 1,2)=(5, 2) =(3, 2) ( 1,2)=(4, 4) (2 ) ( )=(5, 2) (4, 4)=28                  ，a a + b a b a + b a b 2005 年 （14）已知向量 a,b 满足 3a ， 4b ，且 a 和 b 的夹角为120 ，则  a b （A） 6 3 （B） 6 3 （C） （D）6 2y x 2y x x y 2 2 2 2 2 2 1 2 1 12 2 1, 2 2 y x y x y x y xyy x y x x k yx y x                           的切线 就与 只有一个公共点， 2006 年 （3）若平面向量 (3, )xa ， (4, 3) b ， a b ，则 x 的值等于 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3 4 ( 3 ) 0, 4x x     2007 年 （3）已知平面向量 AB=(2, 4) ， AC=( 1,2) ，则 BC=  （A） (3, 6) （B） (1, 2) （C） ( 3,6)  ( 1,2) (2, 4)=( 3,6)    （D） ( 2, 8)  2008 年 （18）若向量 2x（ ，）a ， 2 3 （ ，）b ， //a b ，则 x  4 3  2 4, 2 2 3 x x      八、三角的概念 2001 年 (5) 设角的终边通过点 512P （ ，），则  sincot  等于（ ） (A) 13 7 (B) 13 7 (C) 156 79 (D) 156 79 2 2 5 12 12 5 12 79cot = , sin = = , cot sin = =12 13 12 13 156( 5) 12                （5） 已知 5 1cossin   ， 7sin cos 5   ，则 tan 等于（ ） （A） 3 4 （B） 4 3 （C）1 （D）－1 1 8 8sin cos 2sin = 2sin 455 5, , tan = = =7 6 2cos 6 3sin cos 2cos = 55 5                       得 得 ① ①+② ： ② ①-② ： 2003 年 （4）已知 < <2    ，则 2 4sin sin =  （A） sin co  （B） sin co  （C）sin 2 （D） sin 2 2 4 2 2 2 2 2 4 sin cos (sin cos >0 )sin sin = sin 1 sin = sin cos = sin cos = sin cos ,(sin cos <0) < < , sin >0 , cos <0, sin cos <0, sin sin = sin cos2                                        ， 时（ ） 时 ∵ ∴ ∴ 2007 年 （11）设 1sin = 2  ， 为第二象限角，则 cos = （A） 3 2  =150 cos150 =           （B） 2 2  （C） 1 2 （D） 3 2 九、三角函数变换 2002 年 （3） 若 ]2,[ x ， 2 3cos x ，则 x 等于（ ） （A） 6 7 （B） 3 4 （C） 3 5 （D） 6 11     [ ,2 ]2 150 ( )3 7arccos( )= 210 2102 180 62 210 ( ) xx n x x x x n x                        在第二象限时 在第三象限时 2003 年 （19）函数 cos3 sin3y x x  的最大值是 2 2 2 2 max sin6 1cos 3 sin 3 2cos3 sin3 1 sin6 , = 1 sin6 , 2xy x x x x x y x y y             2004 年 （9）sin cos =12 12   （A） 1 2 （B） 1 4 1 1sin2 6 4      原式 （C） 3 2 （D） 3 4 （17）函数 5sin 12cosy x x  的最小值为13 5 12 513( sin cos ) 13(sin cos cos sin )=sin cos =13 13 13y x x x x x           （ ）， 2005 年 （10）设 (0, )2   ， 3cos =5 ，则sin2 = （A） 8 25 （B） 9 25 （C） 12 25 （D） 24 25 2 2 3 3 24(0, ), sin > , sin2 =2sin cos =2 1 cos cos =2 1 =2 5 5 25                   ∵ ∴ 0 2006 年 （）在 ABC 中， C=30  ，则 cosAcosB sinAsinB 的值等于 （A） 1 2 （B） 3 2 （C） 1 2  （D） 3 2  2 2 =cosAcos(150 A) sinAsin(150 A) =cosA(cos150 cosA sin150 sinA) sinA( sin150 cosA cos150 sinA) 3 =cos Acos150 sin Acos150 =cos150 = 2                            原式 2007 年 （19）sin (45 )cos cos(45 )sin       的值为 sin (45 )cos cos(45 )sin =sin (45 )=sin 45               十、三角函数的图像和性质 2001 年 (14)函数 xxy 3sin33cos  的最小正周期和最大值分别是（ ） (A) 2 13  ， (B) 2 23  ， (C) 2 2， (D) 2 1， 1 3cos3 3sin3 =2 ( cos3 sin3 )=2(sin cos3 cos sin3 )= 2cos(3 )2 2 2 2 1 3sin cos cos(3 )= 13 2 2 y x x x x x x x T x                            当 时 函数取得最大值， ， ， ， 2 2005 年 （4）函数 sin 2 xy  的最小正周期是 （A）8 （B）4 2 41/ 2T       （C） 2 （D） （20）（本小题满分 11 分） （Ⅰ）把下表中 x 的角度值化为弧度值，计算 tan -siny x x 的值填入表中： x 的角度值 0 9 18 27 36 45 x 的弧度值 10  tan -siny x x (精确到 0.0001) （Ⅱ）参照上表中的数据，在下面的直角坐标系中画出函数 tan -siny x x 在区间 0 4      ， 上的图像 解（Ⅰ） x 的角度值 0 9 18 27 36 45 x 的弧度值 0 20  10  3 20  5  4  tan -siny x x (精确到 0.0001) 0 0.0019 0.0159 0.0553 0.1388 0.2929 （Ⅱ） 2006 年 20  10  3 20  4  5  /x rad y 0 0.1 0.2 0.3 20  10  3 20  4  5  /x rad y 0 0.1 0.2 0.3 （18）函数 sin 2y x 的最小正周期是  2007 年 (4)函数 1sin 3y x 的最小正周期为 （A） 3  （B） 2 （C） 6 （D）8 2008 年 （2）函数 y cos 3 x 的最小正周期是 （A） 6 （B） 3 （C） 2 （D） 3  十一、解三角形 2001 年 (20) (本小题 11 分) 在 ABC 中，已知 45A ， 30B ， AB=23.26 ，求 AC （用小数表示，结 果保留到小数点后一位）。 解 AB AC=sinC sinB ， 23.26 AC=sin(180 45 30 ) sin30     ， 23.26sin30AC= 12.0sin75    2002 年 （20)（本小题 11 分） 在 ABC 中，已知 60A   ，且 2BC AB ，求sinC （精确到 0.001）。 解 AB BC=sinC sin60 AB AB 3 3sinC= sin60 = = 0.612BC 22AB 2 2  2003 年 （22）（本小题 12 分） 如图，某观测点 B 在 A 地南偏西10 方向，由 A 地出发有一条走向为南偏东12 的公路，由观测点 B 发现公路上距观测点 10km 的 C 点有一汽车沿公路向 A 驶去，到达 D 点时，测得 90DBC   ， 10BD km ，问汽车还要行驶多少 km 才可到达 A 地（计算结果保留两 位小数） 解 10 12 22BAD      ∵ 90DBC   ， BC BD ， ∴ BCD 是等边直角三角形， 45BDC   45 22 23ABD BDC BAD          10sin sin 23 10.43( )sin sin 22 BDAD ABD kmBAD      答：为这辆汽车还要行驶10.43km 才可到达 A 地 2004 年 （21）（本小题满分 12 分） 已知锐角 ABC 的边长 AB=10，BC=8，面积 S=32.求 AC 的长（用小数表示， 结果保留小数点后两位） A B C 60 2AB A 东 D C B 北 10 12 10km 10km A B C 2 2 2 2 2 2 1 1 S= AB BC sinB= 10 8sinB=322 2 4 4 3sinB= cosB= 1 sin B= 1 =5 5 5 3 AC =AB BC 2AB BCcosB=10 8 2 10 8 =685 AC= 68 8.25                     2 得： ， ， 解 2006 年 （23）（本小题 12 分） 已知在 ABC 中， BAC=60  ，边长 AB=5 ， AC=6 . （Ⅰ）求 BC 的长 （Ⅱ）求 AB AC  值 2 2 2 2 BC= AB AC 2AB ACcos BAC = 5 6 2 5 6cos 60 = 31           （Ⅰ）解 （Ⅱ） AB AC= AB AC cos BAC=5 6 cos60 =15         2007 年 （22）（本小题满分 12 分） 已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（2，1）、B（1，0）、C（3，0），求 （Ⅰ） B 的正弦值； （Ⅱ） ABC 的面积. 解（Ⅰ） B=45  ， 2sin B=sin 45 = 2   （Ⅱ） ABC 的面积 ABC 1S = 2 1=12   2008 年 （20）在 ABC 中，若 1sinA= 3 ， C=150  ， BC=4 ，则 AB= sin 4sin150, 61sin sin sin 3 BC AB BC CABA C A              （23）如图，塔 PO 与地平线 AO 垂直，在 A 点测得塔顶 P 的仰角 45PAO   ，沿 AO 方向前进至 B 点， 测得仰角 60PBO   ，A、B 相距 44m ，求塔高 PO 。（精确到 0.1m ） 解 由已知条件得： 30BPO   ， AO PO ， 3tan tan30 3BO PO BPO PO PO    3 443AB AO BO PO BO PO PO       44 104.1( ) 31 3 PO m   十二、直线 2001 年 A 60 C B 5 6 A B C 1 2 3 1 0 x y P OBA C B A (18)过点 2 1（ ，）且垂直于向量 ( 1,2) a 的直线方程 。  ( , ) (2 ,1 ) (2 ,1 )( 1,2)=0 2 0x y x y x y x y        设在所求直线上取点 得向量 则， ， ，即： ，b a b 2002 年 （4）点 P(3,2) 关于 y 轴的对称点的坐标为（ ） （A） )2,3(  （B） ( 3,2) （C） )2,0( （D） )2,3(  （18）在 x 轴上截距为 3 且垂直于直线 02  yx 的直线方程为 。 2( 2)1 12 0 , 22 k y xx y k k             的斜率 所求直线的斜率为 所求直线的方程：， 2003 年 （16）点 P(1 2)， 到直线 2 1y x  的距离为 0 0 2 2 2 2 2 1 ( 1) 2 1 5 52 ( 1) Ax By Cd A B                  2004 年 （4）到两定点 ( 1,1)A  和 (3,5)B 距离相等的点的轨迹方程为 . （A） 4 0x y   （B） 5 0x y   （C） 5 0x y   （D） 2 0x y   2 2 2 2( 1) ( 1) ( 3) ( 5) 4 0x y x y x y           ， （12）通过点 (3,1) 且与直线 1x y  垂直的直线方程是 . （A） 2 0x y   （B）3 8 0x y   （C） 3 2 0x y   （D） 2 0x y   （20）（本小题满分 11 分） 设函数 ( )y f x 为一次函数， (1)=8f ， ( 2)= 1f   ，求 (11)f 解 依题意设 ( )y f x kx b   ，得 (1) 8 ( 2) 2 1 f k b f k b          ，得 3 5 k b   ， ( ) 3 5f x x  ， (11)=38f 2005 年 （16）过点 21（ ，）且与直线 1y x  垂直的直线方程为 3y x   2006 年 （8）设一次函数的图像过点 (1,1) ）和 ( 2,1) ，则该函数的解析式为 （A） 1 2 3 3y x  （B） 1 2 3 3y x  （C） 2 1y x  （D） 2y x  （20）直线 3 2y x  的倾斜角的度数为 60  arctan 3 60    2008 年 （14）过点 (1,1) 且与直线 2 1 0x y   垂直的直线方程为 （A） 2 1 0x y   （B） 2 3 0x y   （C） 2 3 0x y   （D） 2 1 0x y   ［直线 2 1 0x y   的斜率为 1 2k   ，所求直线的斜率为 2k  ，由点斜式方程可知应选（A）］ （19）若 是直线 2y x   的倾斜角，则 = 3 4  3tan 1, 0, arctan( 1) 145 = 4               十三、圆 2006 年 （24）（本小题 12 分） 已知 o 的圆心位于坐标原点, o 与 x 轴的正半轴交于 A，与 y 轴的正半轴交于 B， AB =2 2 （Ⅰ）求 o 的方程； （Ⅱ）设 P 为 o 上的一点，且 OP//AB ，求点 P 的坐标。 解（Ⅰ）依题设得 222 = ABr ，  22 2 2AB= 22 2r   ， 故 o 的方程： 2 2 4x y  （Ⅱ）因为 A(2,0) ， B(0,2) ，所以 AB 的斜率为 1 。 过 o 且平行于 AB 的直线方程为 y x  . 由 2 2 4 y x x y      得： 1 1 2 2 x y     ， 2 2 2 2 x y     所以，点 P 的坐标为 ( 2, 2) 或 ( 2, 2) 2008 年 （24）已知一个圆的圆心为双曲线 2 2 14 12 x y  的右焦点，并且此圆过原点. （Ⅰ）求该圆的方程； （Ⅱ）求直线 3y x 被该圆截得的弦长. 解（Ⅰ） 2 2 4 12 4c a b     ， 双曲线 2 2 14 12 x y  的右焦点坐为 4 0（ ，）， 圆心坐标 O 4 0（ ，），圆半径为 4r  。 圆的方程为 2 24 16x y  （ ） （Ⅱ）因直线 3y x 的倾角为 60 ， 故 OA=OBcos AOB=2 4cos60 =4   所以，直线 3y x 被该圆截得的弦长为 4 十四、圆锥曲线 2001 年 (3) 已知抛物线 22  axxy 的对称轴方程为 1x  ,则这条抛物线的顶点坐标为（ ） (A) )3,1(  (B) )1,1(  (C) )0,1( (D) )3,1(  2 0 0 0 01, 2, 2 1 ( 2) 1 2 32 ax a y x ax                  (8) 点 P 为椭圆 225925 22  yx 上一点， 1F 和 2F 是焦点，则 21 PFPF  的值为（ ） (A) 6 (B) 5 (C) 10 (D) 3  2 2 1 225 9 225 5, 2 2 5 10x y a PF PF a          (9) 过双曲线 1936 22  yx 的左焦点 1F 的直线与这双曲线交于 A,B 两点，且 3AB ， 2F 是右焦点，则 22 BFAF  的值为（ ） (A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27 O A B 2 2 14 12 x y  2 24 16x y  （ ） 3y x x y 1P x B A y 2P ， (24) (本小题 11 分) 已知椭圆 12 2 2 2  b y a x 和点 P( ,0)a ，设该椭圆有一关于 x 轴对称的内接正三角形， 使得 P 为其一个顶点。求该正三角形的边长。 解 设椭圆的关于 x 轴对称的内接正三角形为 PAB ，  A ,x y ，则： 3a x y   ，  2 2 3a x y   ，  2 2 3 a xy  ， 2 2 2 2 ( ) 13 x a x a b   ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3( 2 ) 3 , 1 2 3 0b x ba ax x b x ax a ba a                  2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 22 2 3 3 32 4 4 1 3 32 2 33 32 1 2 b a a b a ba a a b a baa x aax a bb a b x a a a                             由于 a x a   ，所以， 2 2 2 2 3 3 a bx aa b   因 - 3a x y  ， - 3 a xy  ， AB=2 y ，于是 PAB 的边长为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 2 3 2 3 3 4 3AB=2 2 1 1 = =3 3 33 3 3 3 a x a x a a b a a b a b aby a a b a b a b                   2002 年 （8） 平面上到两定点 )0,7(1 F ， )0,7(2F 距离之差的绝对值等于 10 的点的轨迹方程为（ ） （A） 22 1100 16 yx   （B） 22 1100 49 yx   （C） 22 125 24 yx   （D） 22 125 24 yx   2(C) (A) (B);2 10 5 25a a a    点的轨迹为双曲线，排除 排除 、， ， ， x y B A( , )x y P b b aa x y B A( , )x y P b b aa x y A B 1F 2F 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 AB AF BF =3 AF AF =2 =12 AF BF 3=24 AF BF =27 BF BF =2 =12 a a                 （23）（本小题 12 分） 设椭圆 )0(16 2 22    yx 的焦点在 x 轴上，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两 点，使得 OP 所在直线的斜率为 1， OP OQ ，若 POQ 的面积恰为 3 2 4  ，求该椭圆的焦距。 解 设 1 1( , )P x y 、 2 2Q( , )x y ，因 OP OQ ，故 POQ=90  .又因 OP 所在直线的斜率为 1，故 2 2 2 2 2 2 2 2 Q 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 3 2 2 2 4POS OP OQ x y x y x y x y            。 将 2 2 1 1 3 2 4x y   代入 )0(16 2 22    yx ，得： 3 2 3 2 1( 0)24 4     ，即 2 4 2 6=0   ， 解得： 1 2 2 2 2 2 = 2 =3 2( = =18> =6, )b a      舍去 由  22 2 2=6 = = 2 =2a b ， 得该椭圆的焦距： 2 22 2 2 6 2 4c a b     2003 年 （14）焦点 ( 5 0) ， 、 (5 0)， 且过点 (3 0)， 的双曲线的标准方程为 （A） 2 2 116 9 y x  （B） 22 19 4 yx   （C） 22 19 16 yx   （D） 2 2 19 16 y x  2 2 2(A) (D) 5, 3, (B), (C)5 3 16, x c a b     焦点在 轴，排除 、 ； 排除 选 （15）椭圆 22 14 9 yx   与圆 2 2( 4) 2x y   的公共点的个数是 （A）4 （B）2 （C）1 （D）0 （24）已知抛物线 2 8y x 的焦点为 F，点 A、C 在抛物线上（AC 与 x 轴不垂直）. （Ⅰ）若点 B 在抛物线的准线上，且 A、B、C 三点的纵坐标成等差数列，求证 BF AC ； （Ⅱ）若直线 AC 过点 F，求证以 AC 为直径的圆与定圆 2 2( -3) 9x y  相内切. 证明：（Ⅰ）由 2 8y x 得抛物线准线方程 8/ 4 22 2 px       ， F(2,0) 设 2 1 1( , )8 yA y 、 2 2 2( , )8 yC y ，则 1 2( 2, )2 y yB  ， AC 的斜率 2 1 2 2 2 1 1 2 8 8 8 AC y yk y y y y    ， BF的斜率 1 2 1 2 0 2 2 ( 2) 8BF y y y yk      PQ x y 0.5 2.5 0.5 0.5 0.5 2.5 x y 2 2( 4) 2 ( 4,0), . >2 x x x y           椭圆与 轴的交点是2，圆 的圆 心是 与 轴的交点是4- 因4- 故椭圆与圆相离，没有交点. 2 2 ， ∵ 1 2 1 2 8 18AC BF y yk k y y           ， ∴ BF AC （Ⅱ）设 AC 的斜率为 k ，则 A、C、F 所在的直线的方程为 ( 2)y k x  设 1 1A( , )x y 、 2 2C( , )x y ，因 A、C 在抛物线上（AC 与 x 轴不垂直），故 k 满足下列方程组： 2 ( 2) 8 y k x y x    ① ② 将①代入②消去 y 得： 2 2 ( 2) 8k x x  ， 2 2 2 2(4 8) 0k x k x k    ， 因 2 4 24 12 64 64 0b ac k k       故 2 2 1 2 2 2 (4 8) 4 8kc kx x a k k         将 2yx k  代入②消去 x 得： 2 8 16 0y yk   ， 因 2 2 2 8 14 4 1 ( 16) 64( 64) 0b ac k k                故 1 2 8 8 1 ky y k      ， 1 2 16y y   ，因此，以 AC 为直径的圆的圆心为 2 2 2 4 4D( , )k kk  因 2 2 1csc 1 tan   ， 180   ，故 2 2 1 1csc 1 1tan k     ，得：  2 2 1 2 1 2 12 2 2 2 1 2 1 22 1 1csc 1 1 1 ( ) 4 AC y y y y y yk k k y y y yk                2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 1 1 1( ) 4 -16 8 8k k k k kk k k k          （ ） AC 为直径的圆的半径 2 2 142 AC kR k   ， 又定圆心为 E(3,0) ，半径 3r  ，可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 4( 3) ( ) 4 3k k k kDE R r DEkk k k k            又， 因此，这两个圆相内切 2004 年 （6）以椭圆的标准方程为 2 2 116 9 x y  的任一点（长轴两端除外）和两个焦点为顶点的三角形的周长等于 （A）12 （B）8 2 7  2a c （C）13 （D）18 （13）如果抛物线上的一点到其焦点的距离为 8，则这点到该抛物线准线的距离为 （A）4 （B）8 （C）16 （D）32 x y 2 8y x E D A C l B 2k 以 作图（ ） F （24）（本小题满分 12 分） 设 A、B 两点在椭圆 2 2 14 x y  上，点 1M 1, 2     是 A、B 的中点. （Ⅰ）求直线 AB 的方程 （Ⅱ）若椭圆上的点 C 的横坐标为 3 ，求 ABC 的面积 解（Ⅰ）所求直线过点 1M(1, )2 ，由直线的点斜式方程得所求直线的方程为 1( -1) 2y k x  ， A、B 两点既在直线 1( -1) 2y k x  ，又在椭圆 2 2 14 x y  ，即 A、B 两点的坐标满足方程组 2 2 14 1( -1) 2 x y y k x         ① ② ，将②代入①得： 2 2 21 1 1( ) 2 ( ) ( ) 1 04 2 2k x k k x k       ③ 此方程的判别式： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 14 2 ( ) 4( ) ( ) 12 4 2 1 1 14 ( ) 4 ( ) (1 4 ) ( )2 2 2 1 3(1 4 ) ( ) 32 4 1 1 3 3 1 53 3 03 6 4 36 6 6 b ac k k k k k k k k k k k k k k k k k                                                       因此它有两个不等的实数根 1x 、 2x . 由 1 2 bx x a    得：  2 1 2 22 12 ( ) 4 22 21 1 4 4 k k k k x x kk         ，解得 1 2k   将 1k= 2  代入 1( -1) 2y k x  得直线 AB 的方程： 1 12y x   （Ⅱ）将 1 2k   代入方程③，解得 1 2 0 2 x x    ，又得 1 2 1 0 y x    ， 即 A、B 两点的坐标为 A（0，1），B（2，0），于是 2 2AB = (0 2) +(1 0) = 5  由于椭圆上的点 C 的横坐标为 3 ，故点 C 的坐标为 C（ 3 ， 1 2  ） 点 C 到直线 AB 的距离为： 0 0 2 2 2 2 13 2 2Ax +By C 1 32d= = = 5A +B 1 +2      或 0 0 2 2 2 2 13 2 2Ax +By C 3 32d= = = 5A +B 1 +2      所以， ABC 的面积为： ABC 1 1 1 3 1 3S = AB d= 5 =2 2 25    或 ABC 1 1 3 3 3 3S = AB d= 5 =2 2 25    A B 1C 2C 1 12y x   x y 2 2 14 x y  0.5 0.5 0.5 0.5 2005 年 （5）中心在原点，一个焦点在 (0,4) 且过点 (3,0) 的椭圆方程是 （A） 2 2 19 25 x y  24 3 25 y c b a        焦点在 轴上 ， ， （B） 2 2 19 16 x y  （C） 2 2 125 41 x y  （D） 2 2 19 4 x y  （8）双曲线 2 2 128 8 x y  的焦距是 （A） 4 5 （B） 2 5 （C）12  2 2 28 8 12c    （D）6 （24）（本小题满分 12 分） 如图，设 1A 、 2A 是椭圆 1C ： 2 2 14 3 x y  长轴的两个端点， l 是 1C 的右准线，双曲线 2C ： 2 2 14 3 x y  （Ⅰ）求l 的方程； （Ⅱ）设 P 为l 与 2C 的一个交点，直线 PA1 与 1C 的另一个交 点为 Q，直线 PA2 与 1C 的另一个交点为 R.求 QR 解（Ⅰ）椭圆的半焦距 2 2 4 3 1c a b     ，右准线l 的方程 2 4 41 ax c    （Ⅱ）由 P 为l 与 2C 的一个交点的设定，得 P(4,3) 或 P (4, 3)  。由于 2C 是对称曲线，故可在此两点 中的任意一点取作图求 QR ，现以 P (4,3) 进行计算。 由题设和直线的两点式方程得 PA1 的方程为 1 22y x （ ），PA2 的方程为 3 22y x （ ） 解 2 2 1 22 14 3 y x x y       （ ） 得 Q 3（1，）2 ，解 2 2 3 22 14 3 y x x y       （ ） 得 3R 1 2 （ ， ）， 3 3QR = ( )=32 2   2006 年 （15）设椭圆的标准方程为 2 2 116 12 x y  ，则该椭圆的离心率为 （A） 1 2 16 12 1 216 ce a        （B） 3 3 （C） 3 2 （D） 7 2 2007 年 （12）已知抛物线 2 4y x 上一点 P 到该抛物线的准线的距离为 5，则过点 P 和原点的直线的斜率为 （A） 4 5 或 4 5  （B） 5 5 4 4 或 （C）1 1或 （D） 3 3或 2 2 12 4 = , 5 4 4 12 yy px y x p x p x y k x                 由 和 得 2 （14）已知椭圆的长轴长为 8，则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为 x y Q R 1A 2A l 2C P P （A）8 （B）6 （C）4  8/ 2 4d a   （D）2 （24）（本小题 12 分）已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 3，并且过点 3 8（ ，），求： （Ⅰ）双曲线的标准方程 （Ⅱ）双曲线焦点坐标和准线方程 解（Ⅰ）由已知得双曲线的标准方程为 2 2 2 2 1x y a b   ， 3 3c c aa  ， ， 故 2 2 2 2 2 23 8b c a a a a    （ ） ， 2 2 2 2 18 x y a a   将点 3 8（ ，）代入 2 2 2 2 18 x y a a   ， 得： 2 21 8 3a b c  ， ， 故双曲线的标准方程为 2 2 18 yx   （Ⅱ）双曲线焦点坐标： 3 0（ ，）， 3 0（ ，）双曲线准线方程： 2 1 3 ax c    十五、排列与组合 2001 年 (12) 有 5 部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中 2 部手机来自同一厂家，则此 2 部手机恰好相邻 的排法总数为（ ） (A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60 解法一 分步法 ①将同一厂家的 2 部手机看成“一”部手机，从“四”部手机任选“四”部的排列数为 4 4P ； ②被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列，排列数为 2 2P 。 根据分步计数原理，总排列数为 4 2 4 2P P =48( )种 解法二 分类法 将同一厂家的 2 部手机看成手机“1 ”. ①手机“1 ”排在 1 位，有 3 3P 种排法（1 2 3 4，，，、1 2 4 3，，，1 3 2 4，，，、1 3 4 2，，，、1 4 2 3，，，、1 4 3 2，，，）； ②手机“1 ”排在 2 位，有 3 3P 种排法； ③手机“1 ”排在 3 位，有 3 3P 种排法； ④手机“1 ”排在 4 位，有 3 3P 种排法； 上述排法共 24 种，每种排法中手机“1 ”各有二种排法，故总排列数为： 24 2=48( ) 种 2002 年 （11） 用 0，1，2，3 可组成没有重复数字的四位数共有（ ） （A）6 个 （B）12 个 （C）18 个 （D）24 个 解法一 ①从 0，1，2，3 这四个数字中取出四个数字的总排列数为 4 4P ； ②将 0 排在首位的排列数为 3 3P ，而 0 不能排在首位； 总排列数 4 4P 减去 0 排在首位的排列数 3 4P 即为所求。因此，用 0，1，2，3 可组成没有重 复数字的四位数的个数为 4 3 4 3P P =4 3 2 1 3 2 1=18       个（ ） 解法二 第一步：从 1，2，3 这三个数字中任取一个排在第一位，有 1 3P 种取法； 第二步：从剩下的三个数字中任取一个排在第二位，有 1 3P 种取法； 第三步：从剩下的二个数字中任取一个排在第三位，有 1 2P 种取法； 第四步：从剩下的一个数字中任取一个排在第四位，有 1 1P 种取法. x y 右准线左准线 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有 1 1 1 1 3 3 2 1P P P P 个 。 1 1 1 1 3 3 2 1P P P P =3 3 2 1=18   个（ ）. 解法三 第一步：从 1，2，3 这三个数字中任取一个排在第一位，有 1 3P 种取法； 第二步：把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位，有 3 3P 种取法； 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有 1 3 3 3P P 个 。 1 3 3 3P P =3 3 2 1=18   个（ ） 解法四 第一类：把 0 固定在个位上，1，2，3 排在千位、百位、十位的排法有 3 3P ； 第二类：把 0 固定在十位上，1，2，3 排在千位、百位、个位的排法有 3 3P ； 第三类：把 0 固定在百位上，1，2，3 排在千位、十位、个位的排法有 3 3P ； 根据分类计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数共有： 3 3 3 3 3 3 3 3P P P =3P =3 3 2 1=18     个（ ） 2003 年 （7）用 0，1，2，3，4 组成的没有重复数字的不同 3 位数共有 （A）64 个 （B）16 个 （C）48 个 （D）12 个 解法一 ①从 0，1，2，3，4 这五个数字中取出三个数字的总排列数为 3 5P ； ②将 0 排在首位的排列数为 2 4P ，而 0 不能排在首位； 总排列数 3 5P 减去 0 排在首位的排列数 2 4P 即为所求。因此，用 0，1，2，3 可组成没有重复数 字的四位数的个数为 3 2 5 4P P =5 4 3 4 3=48     个（ ） 解法二 第一步：.从 1，2，3，4 这四个数字中任取一个排在第一位，有 1 4P 种取法； 第二步：从剩下的四个数字（含 0）中任取一个排在第二位，有 1 4P 种取法； 第三步：从剩下的三个数字中任取一个排在第三位，有 1 3P 种取法； 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有 1 1 1 4 4 3P P P 个 。 1 1 1 4 4 3P P P =4 4 3=48  个（ ）. 解法三 第一步：从 1，2，3，4 这四个数字中任取一个排在第一位，有 1 4P 种取法； 第二步：从剩下的四个数字（含 0）中任取二个排在十位、个位，有 2 4P 种取法； 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有 1 2 4 4P P 个 。 1 2 4 4P P =4 4 3=48  个（ ） 解法四 第一类：把 0 固定在个位上，1，2，3，4 中任取二个排在百位、十位的排法有 2 4P ； 第二类：把 0 固定在十位上，1，2，3，4 中任取二个排在百位、个位的排法有 2 4P ； 第三类：0 不参加排列，1，2，3，4 中任取三个的排法有 3 4P ； 根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有： 2 3 4 42P P =2 4 3+4 3 2=48     个（ ） 解法五 列举法(麻烦且容易漏列，但直接明了) 第一类：1 排在百位的数是102 103 104 120 123 124 130 132 134 140 142 143， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 12 个； 第二类：2 排在百位，与 1 排在百位同理，2 排在百位的数也是 12 个； 第三类：3 排在百位，与 1 排在百位同理，2 排在百位的数也是 12 个； 第四类：4 排在百位，与 1 排在百位同理，2 排在百位的数也是 12 个； 根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：12 4=48 个。 2004 年 （8）十位同学互赠贺卡，每人给其他同学各寄出贺卡一张，那么他们共寄出贺卡的张数是 （A）50 （B）100 （C） 1010 （D）90（ 2 102C ） 2005 年 （11）从 4 本不同的书中任意选出 2 本，不同的选法共有 （A）12 种 （B）8 种 （C）6 种 （ 2 4C ） （D）4 种 2006 年 （11）4 个人排成一行，其中甲、乙两人总排在一起，则不同的排法有 （A）种 （B）种 （C）种 （ 3 2 3 2P P ） （D）种 2007 年 （16）在一次共有 20 人参加的老同学聚会上，如果每二人握手一次，那么这次聚会共握手多少次？ （A）400 （B）380 （C）240 （D）190 2 20C 2008 年 （12）某学生从 6 门课程中选修 3 门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有 （A）4 种 （B）8 种 （C）10 种 （D）20 种 （甲课程必选，从其他 5 门课程任选 2 门的组合数为 2 5 ( -1) ( - 1) 5 4 10! 2 m n m m P n n n mC P m     … ） 十六、概率与统计初步 2001 年 (15)任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是（ ） (A) 4 1 (B) 3 1 (C) 4 3 (D) 8 3 1 1 3 1 3 3(1) 0.5 (1 0.5) 3/8P C        2002 年 （15） 袋中装有 3 只黑球，2 只白球，一次取出 2 只球，恰好黑白各一只的概率是（ ） （A） 5 1 （B） 10 3 （C） 5 2 （D） 5 3 1 1 3 2 2 5 P P C       （19）设离散型随机变量 的概率分布列是  －2 0 1 2 p 0．3 0．2 0．1 0．4 则 的数学期望是 0.3 （ 0.2 0.3+0 0.2+1 0.1+2 0.4     ）。 2003 年 （12）从 3 个男生和 3 个女生中选出二个学生参加文艺汇演，选出的全是女生的概率是 （A） 1 5 2 3 2 6 C C       （B） 1 10 （C） 1 4 （D） 1 3 （18）某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的 10 场比赛，其得分情况如下 99， 104， 87， 88， 96， 94， 100， 92， 108， 110 则该篮球队得分的样本方差为 56.16 2004 年 （11）掷两枚硬币，它们的币值面都朝上的概率是 （A） 1 2 （B） 1 3 （C） 1 4 （D） 1 8 （19）从篮球队中随机选出 5 名队员，他们的身高分别为（单位 cm） 180， 188， 200， 195， 187 则身高的样本方差为 47.6 2005 年 （15）8 名选手在 8 条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有 2 名中国选手。按随机抽签的方式决定选手 的跑道，2 名中国选手在相邻的跑道上的概率为 （A） 1 2 （B） 1 4 7 7 8 8 2P P       （C） 1 8 （D） 1 16 （19）从一批袋装食品中抽取 5 袋分别称重，结果（单位：g）如下： 98.6，100.1，101.4，99.5，102.2 该样品的方差为 1.7 （ 2g ）（精确到 0.1 2g ） 列表求解如下： ix 98.6 100.1 101.4 99.5 102.2 x 1(98.6+100.1+101.4+99.5+102.2)=100.365 ix x 1.76 0.26 1.04 0.86 1.84  2 ix x 3.0976 0.0676 1.0816 0.7396 3.3856 2s 2 2 1 1 1( ) (3.0976 0.0676 1.0816 0.7396 3.3856) 1.7 n i i s x xn n         2006 年 （16）两个盒子内各有三个同样的小球，每个盒子内的小球分别标有 1，2，3 这三个数字，从两个盒子中 分别任意取出一个小球，则取出的两个球上所标示数字的和为 3 的概率是 （A） 1 9 （B） 2 9 ( 1 1 3 3P   ) （C） 1 3 （D） 2 3 （21）任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球 8 个，它们的外径分别是（单位 mm） 13.7 12.9 14.5 13.8 13.3 12.7 13.5 13.6 则该样本的方差为 0.2725 2007 年 （17）已知甲打中靶心的概率为 0.8，乙打中靶心的概率为 0.9，两人各打靶一次，则两人都打不中的概率为 （A）0.01 （B）0.02  (1 0.8)(1 0.9)  （C）0.28 （D）0.72 （20）经验表明，某种药物的固定剂量会使人心率增加，现有 8 个病人服用同一剂量的这种药物，心率增 加的次数分别为 13 15 14 10 8 12 13 11 则该样本的方差为 4.5 2008 年 （16）5 个人排成一行，则甲排在中间的概率是 （A） 1 2 （B） 2 5 （C） 1 5 （D） 1 10 （21）用一仪器对一物体的长度重复测量 5 次，得结果(单位:cm)如下: 1004 1001 998 999 1003 则该样本的样本方差为 5.2 cm2