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- 2021-05-13 发布
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数列专题，后附高考真题（2010-2017）加解析
一.高考地位与考纲
全国卷会对数列部分的考查要求有所下降，只需要掌握基本的求和与通项关系，学会简
单的裂项相消法和错位相减法求解数列求和即可。
纵观全国新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷的数列试题，我们却发现，新课标卷的数列题更加注重基础，
强调双基，讲究解题的通性通法。尤其在选择、填空更加突出，常常以“找常数”、“找邻
居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点.
从 2011 年至 2017 年，全国新课标Ⅰ卷理科试题共考查了 10 道数列题，其中 6 道都是
标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前 n 项和、某一项
的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。而文科试题共考查了 11 道数列题，
其中 7 道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关
基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。
1．从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。
2．从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n
项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决
相应的问题”。
3．从文理试卷角度看，尊重差异，文理有别，体现了《普通高中数学课程标准（实
验）》的基本理念之一“不同的学生在数学上得到不同的发展”。以全国新课标Ⅰ卷为例，近
五年理科的数列试题难度整体上要比文科的难度大一些。如 2012 年文科第 12 题“数列 满
足 ，求的前 60 项和”是一道选择题，但在理科试卷里这道题就命成了一道填空题，对考生
的要求自然提高了。
具体来看，全国新课标卷的数列试题呈现以下特点：
●小题主要考查等差、等比数列的基本概念和性质以及它们的交叉运用，突出了“小、巧、
活”的特点，难度多属中等偏易。
●大题则以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，
内涵丰富的能力型试题，考查综合素质，难度多属中等以上，有时甚至是压轴题，难度较大。
（一）全国新课标卷对数列基本知识的考查侧重点
1．考查数列的基本运算，主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式。设出基
本量，根据知三求二，列方程求解。高考题在这方面尤其喜欢考查等差与等比彼此交汇的题
目， 还有就是 与 的关系问题（考生容易忽视 n=1 的情况）也是考查的热点。
2．考查数列的基本性质，数列板块中有很多常用的基本性质，“巧用性质、减少运算量”
在等差、等比数列的客观题计算中非常重要。
（二）全国新课标卷对数列基本思想方法的考查侧重点
1．分类讨论思想：等比数列的前 n 项和公比 分类， 或 ；数列的前 n 项和
； 等等.
2．函数思想：数列关于 n 的函数。 ，
3．数形结合 等差的通项及前 n 项和都可以视为关于 n 的直线和抛物线方程。
4．转化思想：非差、比数列转化为差、比数列。
5．特殊化思想 已知函数 ， ，可求某一项。
6．类比思想 等差、等比数列有相同的特征，有类似的性质。
（三）全国新课标卷对数列内容的常考题型
1.选择、填空题常考题型有知三求二，借助方程组求解基本量，有时也会用到“整体求
解”的技巧；有些客观题如能灵活运用数列的性质求解则可以大大简化运算；此外数表、框
图有时也是数列客观题考查的载体。
2．解答题通常会涉及数列的求和，主要考查裂项相消法和错位相减法，难度中等。个
别解答题有涉及数列不等式的证明，此类题难度较大，综合性较强，不过其难度要小于近年
广东卷的数列压轴题。
二、高考趋势
年份 题号 题型 考查内容 思想方法 分值
理：17 解答题 等比数列求通项、求前 n 项和 方程组思想 12
分
文：6 选择题 等差数列的基本公式 方程组思想 5 分
2011 年
文：17 解答题 等比数列求通项、求前 n 项和 方程组思想 10
分
理：5 选择题 等比数列的性质 方程组思想 5 分
理：16 填空题 数列的周期性 利用周期性求和 5 分
文：12 选择题 数列的周期性 利用周期性求和 5 分
2012 年
文：14 填空题 等比数列前 n 项和 方程思想 5 分
理：7 选择题 等差数列前 n 项和 方程思想 5 分
理：12 选择题 与三角形的综合应用判断数列
的增（减）性
特殊、比较 5 分
理：14 填空题 由 an 与 Sn 关系求 an 比差法 5 分
文：6 选择题 等比数列通项、前 n 项和 方程思想 5 分
2013 年
文：17 解答题 等差数列通项、前 n 项和 方程组、列项相消 12
分
理：17 解答题 由 an 与 Sn 关系判定及证明 比差法 12
分
2014 年 文：17 解答题 等差数列通项 前 n 项和
及一元二次的解法，
乘公比错位相消
方程组
12
分
理:17 解答题 由 an 与 Sn 关系求通项；前 n 项
和
换元法，裂项相消
法
12
分
2015 年 文:7 选择题 等差数列：基本量求某一项； 方程思想 5
q 1=q 1≠q
11,1 asn == 1,2 −−=≥ nnn ssan
)(nfan = )(nfsn =
)(nfan = )(nfsn =
分
文:13 填空题 等比数列：基本量求项数 方程思想 5
分
理：15 填空题 等比数列：求很多项相乘积的最
大值
列方程求解 5
分
2016
文：17 解答题 等差数列与等比数列综合，求等
差数列通向公式与等比数列的
前 n 项和
12
分
理：14 填空题 等差数列：求公差 方程思想 5
分
2017
文：17 解答题 等比数列：求通项公式与前 n 项
和
列方程组法 12
分
从统计信息可以看出，近 7 年高考，每年都对数列问题进行了考查，因此一定要给予足够
的重视。
三．同步解读
数列是按照一定次序排列的一列数，在函数的意义下，数列是定义域为自然数 N+的函
数 ，当自变量 n 从 1 从 n 开始取自然数时，所对应的一列函数值
...... ，通常用 代替 ，于是数列的一般形式为 ..... ...，
简记为{ }，其中是的第 n 项
第一部分：数列概念表示方法问题
数列概念：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
要点诠释：
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，
那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
数列的项：
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项，第 2 项，…；
排在第 位的数称为这个数列的第 项.其中数列的第 1 项也叫作首项.
)(nf )1(f )2(f )3(f
)4(f )(nf na )(nf 1a 2a 3a 4a na
na
n n
要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，
而项数是指这个数在数列中的位置序号.
类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：
（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；
（2）可重复性：数列中的数可以重复；
（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.
数列的一般形式：
数列的一般形式可以写成： ，或简记为 .其中 是数列的第
项.
要点诠释： 与 的含义完全不同， 表示一个数列， 表示数列的第 项.
1．在数列 1，1，2，3，5，8， ，21，34，55，…中， 等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】
试题分析：观察所给数列的项，可知该数列从第三项起，后一项是前两项的和，设该数列为
，则该数列的递推关系式为: ，所以 ，故选 C.
1．在数列 中， 等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【 解 析 】 记 第 一 个 数 为 a ， 第 二 个 数 为 b ， 此 题 的 数 列 排 列 形 式 为
a,b,a+b,b+(a+b),(a+b)+{b+（a+b）}......以此类推则得出 x=5+8，即 x=13.
2．.将正奇数按下表的规律填在 5 列的数表中，则第 20 行第 3 列的数字与第 20 行第 2 列数
字的和为________.
,,,,, 321 naaaa { }na na n
{ }na na { }na na n
x x
{ }na 1 1( 2)n n na a a n+ −= + ≥ 5 8 13x = + =
55,34,21,,8,5,3,2,1,1 x x
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… … … … …
【答案】312
【解析】
试题分析：前 19 行共有 个数，所求两数为第 78 和第 79 个奇数，因此和为
. 考点：新定义，数列的项.
根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6 是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6，…是无穷数列
根据数列项的大小分：
递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
数列的通项公式
如果数列 的第 项 与 之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个
公式就叫做这个数列的通项公式.
19 4 76× =
(2 78 1) (2 79 1) 312× − + × − =
{ }na n na n ( )na f n=
如数列： 的通项公式为 （ ）；
的通项公式为 （ ）；
的通项公式为 （ ）；
要点诠释：
⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。
如数列：1，0，1，0，1，0，…
它的通项公式可以是 ，也可以是 .
⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项
的一般表示．
数列 的前 n 项和
数列 的前 项和：指数列 的前 项逐个相加之和，通常用 表示，即
；
与 的关系
当 时 ；
当 时，
故
求值
2．数列 的前 项和为 ，若 ，则{ }na n nS ( )
1
1na n n
= + 5 _______S =
0,1,2,3,... 1na n= − *n N∈
1,1,1,1,... 1na = *n N∈
1 1 11, , , ,...2 3 4
1
na n
= *n N∈
2
)1(1 1+−+=
n
na |2
1cos| π+= nan
n
{ }na
{ }na n { }na n nS
1 2 ...n nS a a a= + + +
na nS
1n = 1 1a S=
2n ≥ 1 2 1 1 2 1 1( ... ) ( ... )n n n n n na a a a a a a a S S− − −= + + + + + − + + + = −
1
*
1
, 1
, 2n
n n
S n
a
S S n n N−
== − ≥ ∈ 且
【答案】
1．已知数列的通项公式为 其前 n 项的和 ，则项数 n＝_____。
【答案】6
【解析】
考点：数列的求和。
分析：先将数列的通项变形，再求和，利用已知条件建立方程，即可求得数列的项数 n。
解答：
∵数列{an}的通项公式是
∴an=1-1/2n，
∴Sn=（1-1/2）+（1-1/4）+（1-1/8）+…+（1-1/2n）
=n-（1/2+1/4+1/8+…+1/2n）
=n-1+1/2n
由 Sn=321/64= n-1+1/2n
∴可得出 n=6。
点评：本题考查了数列的通项，考查数列的求和，解题时掌握公式是关键，属于基础题。
求通向公式
2．数列 3，5，9，17，33，…的通项公式 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为数列 3，5，9，17，33，…前几项可知，每一项都是满足 ，因此带
入答案验证可知，排除 A,,C,D 选 B
3．已知数列 的前 项和 ，其中 ，…，那么 _____________；
通项公式 _____________。
na
n2 12 +n 12 −n 12 +n
5
6
,2
12
n
n
na
−=
64
321=nS
,2
12
n
n
na
−=
n2 1+
{ }na n 12 −= nSn 3,2,1=n =5a
=na
【答案】9；
【解析】此题考察数列的通项
思 路 分 析 ： 因 为 ， 故 ； 当 时 ，
；当 时， ，综上，通项
公式 .
点评：对于数列 ，若 是前 项和时，则当 时， .
4．已知数列 2009，2010，1，-2009，-2010，…,这个数列的特点是从第二项起，每一项都
等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2010 项之和 等于________________。
【答案】0
【解析】解：根据题意：2009，2010，1，-2009，-2010，-1
每 6 个数为一周期，一周期内 6 个数的和为 0
而 2010=6×335
则 S2010=0×335=0
5．列三角形数表
假设第 行的第二个数为
（1）依次写出第六行的所有数字；
（2）归纳出 的关系式并求出 的通项公式；
答案】（1）6，16，25，25，16，6
（2） （3）见解析
( )
( )
≥−
=
212
10
nn
n
12 −= nSn 5 5 4 25 1 16 1 9a S S= − = − − + = 1n =
1 1 1 1 0a S= = − = 2n ≥ ( )22
1 1 1 1 2 1n n na S S n n n−= − = − − − + = −
=na
( )
( )
≥−
=
212
10
nn
n
{ }na nS n 2n ≥ 1n n na S S −= −
2010S
n ),2( *Nnnan ∈≥
nn aa 与1+ na
)2(12
1
2
1 2 ≥+−= nnnan
【解析】本试题主要是考查了杨辉三角中系数关系的运用。
（1）利用前几行的数字得到第六行的所有 6 个数字分别是 6，16，25，25，16
（2）依题意 ， ，利用数列的累加法的思想得到其通项公式的求
解。
，那么利用裂项求和得到结论。
解：（1）第六行的所有 6 个数字分别是 6，16，25，25，16，6；…… 2 分
（2）依题意 ， ……………4 分
……………………6 分
，
所以 ；……………7 分
当 n=2 时， ,也满足上述等式
所以
根据前 n 项和求通项公式
3．已知数列 的前 项和公式 ，求通项 .
（1） ， (2) .
【思路点拨】
先由 时， ，求出 ；再由当 时， ，求出 ，并验证
是否符合所求出的 .
【解析】
(1) 当 时， ，
)2(1 ≥+=+ nnaa nn 22 =a
)1
1
1(22
2
2
22 nnnnnnbn −−=−<+−=
)2(1 ≥+=+ nnaa nn 22 =a
)3(11 ≥−=− − nnaa nn
223 =− aa
)(......)()( 134232 −−++−+−+= nnn aaaaaaaa
( 2)( 1)2 2 3 ...... ( 1) 2 2
n nn
− += + + + + − = +
)3(12
1
2
1 2 ≥+−= nnnan
2122
122
1 2
2 =+×−×=a
)2(12
1
2
1 2 ≥+−= nnnan
{ }na n nS na
22 1nS n n= − + 2log ( 1)nS n= +
2n ≥ 1n n na S S −= − na 1n = 1 1a S= 1a 1a
na
2n ≥ 2 2
1 (2 1) [2( 1) ( 1) 1] 4 3n n na S S n n n n n−= − = − + − − − − + = −
当 时， ，
∴
(2)当 时， ，
当 时， ，
∴ ( )为所求.
【总结升华】已知 求出 依据的是 的定义： ，分段求解，然
后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.
4．已知数列 的前 项和 ，其中 ，…，那么 _____________；
通项公式 _____________。
【答案】9；
【解析】此题考察数列的通项
思 路 分 析 ： 因 为 ， 故 ； 当 时 ，
；当 时， ，综上，通项公
式 .
点评：对于数列 ，若 是前 项和时，则当 时， .
1.已知数列 的前 项和 ，求通项 .
【答案】当 时，
，
当 时， ，
1n = 2
1 1 2 1 1 1 2 4 1 3a S= = × − + = ≠ × −
*
2 , ( 1)
4 3,( 2 )n
na
n n n N
== − ≥ ∈ 且
2n ≥ 1 2 2 2
1log ( 1) log logn n n
na S S n n n−
+= − = + − =
1n = 1 1 2 2
1 1log (1 1) 1 log 1a S
+= = + = =
2
1logn
na n
+= n N ∗∈
nS na nS 1 2 ...n nS a a a= + + +
{ }na n 12 −= nSn 3,2,1=n =5a
=na
( )
( )
≥−
=
212
10
nn
n
12 −= nSn 5 5 4 25 1 16 1 9a S S= − = − − + = 1n =
1 1 1 1 0a S= = − = 2n ≥ ( )22
1 1 1 1 2 1n n na S S n n n−= − = − − − + = −
=na
( )
( )
≥−
=
212
10
nn
n
{ }na nS n 2n ≥ 1n n na S S −= −
{ }na n 2 3n
nS = − na
2n ≥
1 1 1 1
1 (2 3) (2 3) 2 2 2 (2 1) 2n n n n n n
n n na S S − − − −
−= − = − − − = − = − =
1n = 1 1 1
1 1 2 3 1 2 1a S −= = − = − ≠ =
∴
2.已知数列 的前 项积 ，求通项
【答案】当 时， ，
当 时， ，
∴ .
通项公式法（解析式法）：
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就
可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
列表法
相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第二
项，……，用 表示第 项，……，依次写出得数列 ．
1 2 … …
… …
图象法：
数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．
具体方法：以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角
坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都
在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由
小到大变化而变化的趋势．
1 *
1, ( 1)
2 ,( 2 )n n
na
n n N−
− == ≥ ∈ 且
{ }na n 2nS n= + na
2n ≥
1
2
1
n
n
n
S na S n−
+= = +
1n = 1 1
1 21 2 3 1 1a S
+= = + = ≠ +
*
3, ( 1)
2 ,( 2 )1
n
n
a n n n Nn
== + ≥ ∈ + 且
1a 2a
na n { }na
n
1a 2a na
n na ( , )nn a
y
递推公式法
递推公式：如果已知数列 的第 1 项（或前几项），且任一项 与它的前一项
（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。如：
数列：-3，1，5，9，13，…，
可用递推公式： 表示。
数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，
可用递推公式： 表示。
4． 数列 的一个通项公式是
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【解析】解：因为数列 的每一项为分子为 1，分母是项数与项数加一
的积，因此通项公式即为
1．已知数列 中， ，则 ( )
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
试题分析：依题意可知，从第三项起，后一项是前两项的差，所以有 ， ，
， ， ， ， ， ，……，从中可以看到，该数列
是以 6 为周期的周期数列，从而 ，故选 B.
考点：1.数列的概念及其表示；2.数列的周期性.
2．写出下列各数列的通项公式，使其前 4 项分别是:
{ }na na 1−na
1 13, 4( 2)n na a a n−= − = + ≥
1 2 1 23, 5, ( 3)n n na a a a a n− −= = = + ≥
,43
1,32
1,21
1
×××
)1(
1
−nn )1(
1
+nn )2)(1(
1
++ nn
,43
1,32
1,21
1
×××
)1(
1
+nn
{ }na 1 2 2 13, 6, n n na a a a a+ += = = − 2009a =
6− 3−
1 3a = 2 6a =
3 3a = 4 3a = − 5 6a = − 6 3a = − 7 3a = 8 6a =
2009 334 6 5 5 6a a a× += = = −
(1) , - , , - ,……；
(2) , , , ,……;
(3) 5, 55, 555, 5555, ……;
(4) 3,5,3,5,…….
答 案 (1) ; (2) ; (3) ;
(4) an=4+(-1)n
（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。
数 列 可 以 看 成 以 正 整 数 集 （ 或 它 的 有 限 子 集 ） 为 定 义 域 的 函 数
，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数
,如果 （ ）有意义，那么我们可以得到一个数列 ，
， ，…， ，…；
（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就
可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
（3）数列的图象是落在 轴右侧的一群孤立的点
数列 的图象是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标的一系列孤立的点
，这些点都落在函数 的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在
轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.
5．已知数列 中 ,判断数列 的单调性，并给以证明.
2
1
5
4
10
9
17
16
3
2
15
4
35
6
63
8
2
1
2( 1) 1
n
n
na n
+= − ⋅ +
2
(2 1)(2 1)n
na n n
= − +
5(10 1)
9
n
na
−=
N ∗ {1,2,3,..., }n
( )na f n=
( )y f x= ( )f i 1,2,3,..., ,...i n= (1)f
(2)f (3)f ( )f n
y
( )na f n= n na
( , )nn a ( )y f x= y
{ }na 3 2
3n
na n
−= + { }na
【思路点拨】选择数列中任意相邻两项作差比较即可.
【解析】∵ ，
∴ （ ）
∴数列 是递增数列.
【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.
1 数列 中： , （ ）
（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；
（2）判断它的单调性.
【答案】
（1） , , , , ,∴ ；
（2）方法一：∵ ，
∴ 数列 是递减数列.
方法二：∵函数 在 上单调递减，
∴数列 是递减数列.
2 数列 中： （ ， 且 为常数），判断数列 的单调性.
【答案】∵ ，
当 时 ， ∴数列 是递减数列；
当 时 ， ∴数列 是递增数列.
3．已知{an}是递增数列，且对任意 n∈N*都有 an＝n2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是
( )．
3( 3) 11 1133 3n
na n n
+ −= = −+ +
1
11 11 11(3 ) (3 ) 04 3 ( 3)( 4)n na a n n n n+ − = − − − = >+ + + +
*n N∈
{ }na
{ }na 1 1a = 1
2
2
n
n
n
aa a+ = +
*n N∈
1 1a = 2
2
3a = 3
1 2
2 4a = = 4
2
5a = 5
1 2
3 6a = = 2
1na n
= +
1
2 2 2 02 1 ( 2)( 1)n na a n n n n+ − = − = − <+ + + +
{ }na
2( ) 1f x x
= + [1, )x∈ +∞
{ }na
{ }na 1( )2
n
na a= ⋅ *n N∈ 0a ≠ a { }na
1
1
1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2
n n n
n n
aa a a a+
+ − = ⋅ − ⋅ = − ⋅
0a > 1 0n na a+ − < { }na
0a < 1 0n na a+ − > { }na
A. B．(0，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞)
【答案】D
【解析】由 an＋1>an 知 2n＋1＋λ>0，∴λ>－2n－1(n∈N*)，∴λ>－3.
【巩固练习】
一、选择题
1.数列 1,2,4,8,16,32，……的一个通项公式是
A. B. C. D.
2.已知数列 ……， 则 0.96 是该数列的（ ）
A.第 20 项 B.第 22 项 C.第 24 项 D.第 26 项
3．已知数列的通项公式： 则 a2·a3 等于( )
A．70 B．28
C．20 D．8
4．已知 an＝n2＋n，那么( )
A．0 是数列中的项 B．20 是数列中的项
C．3 是数列中的项 D．930 不是数列中的项
5．设数列 ， ， ， ，…则 是这个数列的( )
A．第 6 项 B．第 7 项
C．第 8 项 D．第 9 项
二、填空题
6.已知数列 的前 n 项和 Sn=3+2n, 则 an=__________.
7.已知数列 前 n 项和 Sn=5n2-n, 则 a6+a7+a8+a9+a10=_________.
8. 已 知 数 列 中 ， , . 那 么 数 列 的 前 5 项 依 次 为
_________.
9.数列{an}的通项公式 an=n2+n+1; 则 273 是这个数列的第_______项.
10．写出下列各数列的通项公式，使其前 4 项分别是:
(1) , - , , - ,……；
,
7 − +∞ 2
2 1na n= − 12n
na −= 2n
na = 12n
na +=
1 2 3 4, , , ,2 3 4 5 … 1
n
n +
3 1 ( )
2 2 ( )n
n na
n n
+= −
为奇数
为偶数
2 5 2 2 11 2 5
{ }na
{ }na
{ }na 1 1a = 1
42 2n
n
a a+ = − + { }na
2
1
5
4
10
9
17
16
(2) , , , ,……;
(3) 5, 55, 555, 5555, ……;
(4) 3,5,3,5,…….
三、解答题
11．已知数列{an}的通项公式为 an=n2+λn, 若数列{an}为递增数列，试求最小的整数λ.
12．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足关系式 lg(Sn-1)=n， 求 an.
13．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝ ＋(2n－1) ( )；
(2) ＝3, ＝3 －2 ( ).
14．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值．
15.已知数列 的通项公式为 且为递减数列，求 m 的取值范围
3
2
15
4
35
6
63
8
1a 1+na na *n N∈
1a 1+na na *n N∈
{ }na 2 2( 2 )( 2 )na m m n n= − −
【答案与解析】
1.答案：B 解析：容易观察，从第二项开始，每一项都是前一项的 2 倍，故，
故选 B.
2. 答 案 ： C 解 析 ： 易 知 数 列 的 通 项 公 式 ， 把 0.96 化 为 通 项 的 形 式
，故 n=24
3. 答案： C 解析： a2＝2×2－2＝2a3＝3×3＋1＝10
a2·a3＝20.故选 C.
4. 答案： B 解析： 令 n2＋n＝0，得 n＝0 或 n＝－1，∵n∉N*，故 A 错．
令 n2＋n＝20，即 n2＋n－20＝0，∴n＝4 或 n＝－5(舍)，
∴a4＝20.故 B 正确．
令 n2＋n＝3，即 n2＋n－3＝0.
∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C 错．
令 n2＋n＝930，即(n＋31)(n－30)＝0，
∴n＝30 或 n＝－31(舍)，∴a30＝930，故 D 错．
5. 答案： B 解析： 该数列通项公式为 .
令 ，得 n＝7.
6.答案： ;
解析：利用 可求 ，另 n=1 时， ∴
7.答案： 370; 解析：a6+a7+a8+a9+a10=S10- S5,可求 a6+a7+a8+a9+a10=370
8. 答 1, , , , ; 解 析 ： ∵ , . ∴
，同理可求其它项.
9. 答案：16.解析：令 ；求得
10．答案(1) ; (2) ;
(3) ; (4) an=4+(-1)n
12 ,n
na −=
1n
na n
= +
96 240.96 100 25 1
n
n
= = = +
3 1na n= −
3 1 2 5n − =
1
5( 1)
2 ( 2)n n
na
n−
== ≥
1( 1)n n na S S n−= − ≥ 12n
na −= 1 5,a =
1
5( 1)
2 ( 2)n n
na
n−
== ≥
3
2
2
1
5
2
3
1
1 1a = 1
42 2n
n
a a+ = − +
2
1
4 22 2 3a a
= − =+
2 1 273n n+ + = 16n =
2
1
2( 1) 1
n
n
na n
+= − ⋅ +
2
(2 1)(2 1)n
na n n
= − +
5(10 1)
9
n
na
−=
11．解析:依题意有:an+1-an>0, 即[(n+1)2+λ(n+1)]-(n2+λn)>0.
解得 λ>-(2n+1), .
∵-(2n+1)( )的最大值为-3，
∴ 满足条件的最小整数λ=-2.
12．答案： 解析：
时， ，所以
13．解析:(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ；
(2) , , ,
, ∴ .
14.解析： (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1 = − = − = ×时，
1n = 1 11na S= =
1
11,( 1)
9 10 ,( 2)n n
na
n−
== × ≥
1a 2a 3a 4a 5a 2( 1)na n= −
0
1 3 1 2 3a = = + × 1
2 7 1 2 3a = = + × 2
3 19 1 2 3a = = + ×
3
4 55 1 2 3a = = + × 4
5 163 1 2 3a = = + × 11 2 3n
na −= + ×
2
2 5 95 4 2 4na n n n = − + = − −
5 2.52n = =
1
1
n n
n n
a a
a a
+
−
≤
≤
2 2
2 2
5 4 ( 1) 5( 1) 4
5 4 ( 1) 5( 1) 4
n n n n
n n n n
− + ≤ + − + + − + ≤ − − − +
1n na a+ <
2 2
1 ( 2 )[( 1) 2( 1) 2 ]n na a m m n n n n+ − = − + − + − +
解得
第二部分：等差数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个
数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。
文字语言形式
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个
数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。
要点诠释：
⑴公差 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数 （即公差）；
符号语言形式
对于数列 ,若 ( ， , 为常数)或 ( ，
为常数)，则此数列是等差数列，其中常数 叫做等差数列的公差。
要点诠释：定义中要求“同一个常数 ”，必须与 无关。
等差中项
如果 , , 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项，即 .
要点诠释：
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数 a，b 的等差中项存在且唯
一.
②三个数 , , 成等差数列的充要条件是 .
2 2
*
2 2
2
( 2 )(3 3 1) 0
1 73 3 1 3( ) 5 02 4
2 0
m m n n
n N
n n n
m m
= − + − <
∈
∴ + − = + − ≥ >
∴ − <
0 2m< <
d
d
d
d
{ }na 1n na a d−− = n N +∈ 2n ≥ d 1n na a d+ − = n N +∈
d d
d n
a A b A a b 2
baA
+=
a A b 2
baA
+=
等差数列的通项公式：首相为 ，公差为 的等差数列 的通项公式为：
（ ）
推导过程：
（1）归纳法：
根据等差数列定义 可得： ，
∴ ，
，
，
……
当 n=1 时，上式也成立
∴归纳得出等差数列的通项公式为： （ ）。
（2）叠加法：
根据等差数列定义 ，有：
，
，
，
…
把这 个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得 ，
∴ .
(3)迭代法：
1a d { }na
1 ( 1)na a n d= + − *n N∈
1n na a d−− = 1n na a d−= +
2 1 1 (2 1)a a d a d= + = + −
3 2 1 1 1( ) 2 (3 1)a a d a d d a d a d= + = + + = + = + −
4 3 1 1 1( 2 ) 3 (4 1)a a d a d d a d a d= + = + + = + = + −
dnaan )1(1 −+=
dnaan )1(1 −+= n N +∈
1n na a d−− =
2 1a a d− =
3 2a a d− =
4 3a a d− =
1n na a d−− =
1n − 1 ( 1)na a n d− = −
1 ( 1)na a n d= + −
∴ .
要点诠释：
①通项公式由首项 和公差 完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数
列就唯一确定了。
②通项公式中共涉及 、 、 、 四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便
可求出第四个量。
等差数列通项公式的推广
已知等差数列 中，第 项为 ，公差为 ，则：
证明：∵ ，
∴
∴
由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式
可以看成是 时的特殊情况。
要点：等差数列的性质
等差数列 中，公差为 ，则
①若 ，且 ,则 ，
特别地，当 时 .
②下标成公差为 的等差数列的项 , , ,…组成的新数列仍为等差数列，公
差为 .
③若数列 也为等差数列，则 ， ，（k,b 为非零常数）也是等差数
列.
④ 仍是等差数列.
⑤数列 （ 为非零常数）也是等差数列.
dnadddaddadaa
n
nnn )1()()( 1
2
221 −+=++++==++=+=
−
−−
1 ( 1)na a n d= + −
1a d
1a n d na
{ }na m ma d
( )n ma a n m d= + −
1 ( 1)na a n d= + − 1 ( 1)ma a m d= + −
1 1[ ( 1) ] [ ( 1) ] ( )n ma a a n d a m d n m d− = + − − + − = −
( )n ma a n m d= + −
1 ( 1)na a n d= + − 1m =
{ }na d
, , ,m n p q N +∈ m n p q+ = + m n p qa a a a+ = +
2m n p+ = 2m n pa a a+ =
m ka k ma + 2k ma +
md
{ }nb { }n na b± { }nka b±
1 2 3 4 5 6 7 8 9, , ,a a a a a a a a a+ + + + + + … …
{ }+na bλ λ，b
1、等差数列{an}中， ，a2＋a5＝4，an＝33，则 n 等于( )
A．48 B．49
C．50 D．51
解析： ∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4 又∵ ，∴
∴
∴n＝50.故选 C.
2、已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则 a6－a7＋a8 等于( )
A．20 B．48
C．60 D．72
答案： A
解析： ∵a6＋a8＝2a7， 又 a3＋a11＝2a7＝40.∴a7＝20. ∴a6－a7＋a8＝2a7－a7＝a7＝20，故选 A.
3、 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则 a6＝________.
解析： 由已知得 ，解得 ， 所以 a6＝a1＋5d＝13.
1、数列{an}的通项公式 an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为 2 的递增等差数列 B．是公差为 5 的递增等差数列
C．是首项为 7 的递减等差数列 D．是公差为 2 的递减等差数列
答案： A 解析： ∵an－an－1＝(2n＋5)－[2(n－1)＋5]＝2(n≥2)，
∴{an}是公差为 2 的递增等差数列．
2、已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0)，且 a3＋a6＋a10＋a13＝32，若 am＝8，则 m 等于
( )
A．4 B．6
C．8 D．12
答案： C 解析： 因为 a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以 a8＝8，即 m＝8.
3、已知数列{an}是等差数列，令 ，求证：{bn}也是等差数列.
证明： 设{an}公差为 d，则
=(an+2+an+1)·d-(an+1+an)·d
=d·[(an+2+an+1)-(an+1+an)]
1
1
3a =
1
1
3a = 2
3d = 1
1 2( 1) ( 1) 333 3na a n d n= + − = + − =
1
1 1
2 7
4 6
a d
a d a d
+ =
+ = + +
1 3
2
a
d
=
=
22
1 nnn aab −= +
)( 22
1
2
1
2
21 nnnnnn aaaabb −−−=− ++++
=d·(an+2-an) =d·2d =2d2 ∵2d2 是与 n 无关常数 ∴{bn}是等差数列.
等差数列的前 项和公式
公式一：
证明：倒序相加法
①
②
①+②：
∵
∴
由此得：
公式二：
证明：将 代入 可得：
要点诠释：
①倒序相加是数列求和的重要方法之一。
②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及 、 、 、 、 五个量，已知
其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。
要点：等差数列的前 项和的有关性质
等差数列 中，公差为 ，则
①连续 项的和依然成等差数列，即 , , ，…成等差数列，且公差为
.
n
2
)( 1 n
n
aanS
+=
nnn aaaaaS +++++= −1321
1221 aaaaaS nnnn +++++= −−
1 2 1 3 2 12 ( ) ( ) ( ) ( )n n n n nS a a a a a a a a− −= + + + + + + + +
1 2 1 3 2 1n n n na a a a a a a a− −+ = + = + = = +
)(2 1 nn aanS +=
2
)( 1 n
n
aanS
+=
2
)1(
1
dnnnaSn
−+=
dnaan )1(1 −+=
2
)( 1 n
n
aanS
+=
2
)1(
1
dnnnaSn
−+=
1a n d na nS
n
{ }na d
k kS 2k kS S− 3 2k kS S−
2k d
②若项数为 2n，则 ， ，
③若项数为 2n-1，则 ， ， ， ，
1、已知等差数列 ……,则它的前多少项和是 54？
【解析】
设题中的等差数列为 中，前 n 项和为 ，则
设 根据等差数列的前 n 项和公式，
得
求得 （舍去）
因此等差数列 ……,的前 9 项和是 54.
2、 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 ，则 等于( )
A. B.
C. D.
答案： A 解析： 设 S3＝m，∵ ， ∴S6＝3m，∴S6－S3＝2m，
由等差数列依次每 k 项之和仍为等差数列， 得 S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，
∴S6＝3m，S12＝10m， ∴ ，故选 A.
1、等差数列 中，若 , 则 =_________.
2 1( )n n nS n a a += + S S nd− =偶 奇
1
n
n
S a
S a +
=奇
偶
2 1 (2 1)n nS n a− = − nS na=奇 ( 1) nS n a= −偶 nS S a− =奇 偶
1
S n
S n
= −
奇
偶
10, 6, 2,2,− − − …
}{ na nS 1 10, 6 ( 10) 4a d= − = − − − =
54,nS =
( 1)10 4 54.2
n nn
−− + × =
1 29, 3n n= = −
10, 6, 2,2,− − − …
3
6
1
3
S
S
= 6
12
S
S
3
10
1
3
1
8
1
9
3
6
1
3
S
S
=
6
12
3
10
S
S
=
}{ na 4 9a = 7S
【答案】由 ，得 .
2、已知两等差数列 、 的前 项和分别为 、 ，且 ，则 = .
【答案】 .
3、等差数列 前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求它的前 3m 项和.
方法一：利用等差数列的前 n 项和公式 求解。
由已知得 ，解得 ，.
∴ 。
方法二：利用等差数列前 n 项和公式 及性质 ,则
求解。
由已知得
由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4), 得 S3m=210.
等差数列 的通项公式是关于 n 的一次函数(或常数函数)
等差数列 中， ，令 ,则：
1 2 1
2 1
(2 1)( ) (2 1)2
n
n n
n a aS n a−
−
− += = − 7 47 7 9 63S a= = × =
}{ na { }nb n nS nT 4 3
5 2
n
n
S n
T n
+= −
10
10
a
b
10 19
10 19
4 19 3 79
5 19 2 93
a S
b T
× += = =× −
}{ na
dnnnaSn 2
)1(
1
−+=
=−+=
=−+=
1002
)12(22
302
)1(
12
1
dmmmaS
dmmmaS
m
m
221
40,2010
m
d
mma =+=
3 1
3 (3 1)3 2102m
m mS ma d
−= + =
2
)( 1 n
n
aanS
+= m n p q+ = +
m n p qa a a a+ = +
−=−
=+
=+
=+
)4.........(
)3........(2)(3
)2.(..........100)(
)1....(..........60)(
223
331
21
1
mmmm
mm
m
m
aaaa
Saam
aam
aam
{ }na
{ }na 1 1( 1) ( )na a n d dn a d= + − = + − 1a d b− =
（ , 是常数且 为公差）
（1）当 时， 为常数函数， 为常数列；它的图象是在直线 上均
匀排列的一群孤立的点。
（2）当 时， 是 的一次函数；它的图象是在直线 上均匀
排列的一群孤立的点。
①当 时，一次函数单调增， 为递增数列；
②当 ＜0 时，一次函数单调减， 为递减数列。
等差数列 的前 项和公式是关于 n 的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）
由 ，令 ， ，则：
（ , 为常数）
（1）当 即 时， ， 是关于 的一个一次函数；它的图象是
在直线 上的一群孤立的点。
（2）当 即 时， 是关于 的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在
抛物线 上的一群孤立的点。
①当 时 有最小值
②当 时， 有最大值
要点诠释：
1.公差不为 0 的等差数列 的通项公式是关于 n 的一次函数。
2. （ , 是常数）是数列 成等差数列的充要条件。
3.公差不为 0 的等差数列 的前 项和公式是关于 n 的一个常数项为零的二次函数。
4. (其中 , 为常数)是数列 成等差数列的充要条件.
na dn b= + d b d
0d = na b= { }na y b=
0d ≠ na dn b= + n y dx b= +
0d > { }na
d { }na
{ }na n
ndanddnnnaSn )2(22
)1(
1
2
1 −+=−+=
2
dA = 1 2
dB a= −
2
nS An Bn= + A B
0d = 0A = 1nS Bn na= = nS n
1y a x=
0d ≠ 0A ≠ nS n
2y Ax Bx= +
0d > nS
0d < nS
{ }na
na pn q= + p q { }na
{ }na n
2
nS An Bn= + A B { }na
1、已知数列 是等差数列， , ，试问 为何值时，数列的前 项和最
大？为什么？
方法一：∵ , ∴ 即 ,
∵ ， ∴ ，
又
，
∵ ，∴ 当 , 有最大值为 .
方法二：要使 最大， 必须使 且 ，
即
解得 ， ∵ ， ∴ 时， 最大为
设等差数列 的前 项和为 , 已知 , , .
（1）求公差 的取值范围；
（2）指出 ， ，…， 中哪一个值最大，并说明理由.
}{ na 1 0a > 9 17S S= n n
9 17S S= 1 19 36 17 136a d a d+ = + 18 100a d= −
1 0a > 025
2
1 <−= ad
2 21 1
1 1 1 1
( 1) ( 1) 2 169( ) ( 26 ) ( 13)2 2 25 25 25 25n
a an n n nS na d na a n n n a
− −= + = + − = − − = − − +
1 0a > 13n = nS 125
169 a
nS n 0na ≥ 1 0na + ≤
>
≤++−=
≥+−=−+=
+
0
025
27)1(25
2
025
27
25
2)1(
1
111
111
a
anaa
anadnaa
n
n
2
27
2
25 ≤≤ n n N +∈ 13n = nS
1113 25
169
2
121313 adaS =×+=
}{ na n nS 3 12a = 12 0S > 13 0S <
d
1S 2S 12S
（1）依题意，有 ，即 ，
解得 .
（2）法一:由 ，可知 .
设存在自然数 ,使得 就是 ， ，…， 中的最大值，只需 , ,
由 ，
故 是 ， ，…， 中的最大值.
法二:
∵ , ∴ 最小时， 最大，
∵ , ∴ ，
∴ 时， 最小，故 是 ， ，…， 中的最大值.
【巩固练习】
四、选择题
1．已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
2．已知等差数列{an}的前三项依次为 a－1， ,3，则该数列中第一次出现负值的
项为( )
A．第 9 项 B．第 10 项
C．第 11 项 D．第 12 项
12 1
13 1
3 1
12 (12 1)12 02
13 (13 1)13 02
2 12
S a d
S a d
a a d
× − = + >
× − = + <
= + =
1
1
1
2 11 0
6 0
12 2
a d
a d
a d
+ >
+ <
= −
24 37 d− < < −
0d < 1 2 3 12 13...a a a a a> > > > >
n nS 1S 2S 12S 0na ≥ 1 0na + ≤
1 12
12 6 7
6 7 6
1 13 7 7
13 7
12( ) 6( ) 0 0 02
13( ) 0 013 02
a aS a a a a a
a a a aS a
+ = = + > + > > ⇒ ⇒ + < < = = <
6S 1S 2S 12S
2 2
1
( 1) 1 24 24[ (5 )] (5 )2 2 2 8n
n n d dS na d n d d
−= + = − − − − −
0d < 21 24[ (5 )]2n d
− − nS
24 37 d− < < − 1 246 (5 ) 6.52 d
< − <
6n = 21 24[ (5 )]2n d
− − 6S 1S 2S 12S
17
2 a−
3.已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则 a6－a7＋a8 等于( )
A．20 B．48
C．60 D．72
4. 等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，
那么新的等差数列的公差是( )
A. B．
C． D．－1
5. 若等差数列{an}的前 5 项和 S5＝25，且 a2＝3，则 a7＝( )
A．12 B．13
C．14 D．15
6. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且 ，则使得
为整数的正整数 n 的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案： D
解析： 因为 .
又因为 ，
所以 ，
要使 为整数，则 必为整数，
于是 n 可取 0,1,2,3,5,11，
因为 n 为正整数，因此 n 取 1,2,3,5,11，共 5 个数．故应选 D.
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则 a6＝________.
8．若 x≠y，数列 x，a 1，a2，y 和 x，b 1，b2，b3，y 各自成等差数列，则 ＝
________.
9.把 20 分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为
2∶3，则这四个数从小到大依次为____________.
11. 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则 a6＝________.
三、解答题
3
4
3
4
−
6
7
−
7 45
3
n
n
A n
B n
+= +
n
n
a
b
7 45
3
n
n
A n
B n
+= +
2 1
2 1
72 1 45 7 19
2 1 3 1
n n
n n
A an n
B n n b
−
−
− + += = =− + +
7 19 1271 1
n
n
a n
b n n
+= = ++ +
n
n
a
b
12
1n +
1 2
1 2
a a
b b
−
−
12.在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求 a2+a8.
13．已知数列{an}是等差数列，令 ，求证：{bn}也是等差数列.
14．已知数列{a n}是公差为 d 的等差数列，它的前 n 项和为 S n ，S 4 ＝2S 2 ＋4，
.
(1)求公差 d；
(2)若 a1＝ ，求数列{bn}中的最大项和最小项；
(3)若对任意的 n∈N*，都有 bn≤b8 成立，求 a1 的取值范围．
15．已知数列{bn}的前 n 项和 Sn＝9－6n2.若 bn＝2n－1an，求数列{an}的通项公式．
16．用 Sm→n 表示数列{an}从第 m 项到第 n 项(共 n－m＋1 项)之和．
(1)在递增数列{an}中，an 与 an＋1 是关于 x 的方程 x2－4nx＋4n2－1＝0(n 为正整数)的两
个根，求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列；
(2)对(1)中的数列{an}，判断数列 S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k 是否为等差数列．
【答案与解析】
1．答案： C 解析： ∵S 偶－S 奇＝5d，∴5d＝15，∴d＝3.
22
1 nnn aab −= +
1 n
n
n
ab a
+=
5
2
−
2. 答案： B 解析： 因为 a－1， ,3 是等差数列{an}的前三项，
所以 ，∴a＝5，a1＝4，a2＝ ，
∴ . 令 an<0，则 ，∴n>9，故选 B.
3. 答案： A 解析： ∵a6＋a8＝2a7，
又 a3＋a11＝2a7＝40.∴a7＝20.∴a6－a7＋a8＝2a7－a7＝a7＝20，故选 A.
4. 答案： B 解析： 设数列{an}的公差为 d，则在每相邻两项之间插入一个数后得到的等
差数列公差为 .
又由 ，得 .
5. 答案： B 解析： ∴a1＋a5＝10，又∵a1＋a5＝2a3
∴a3＝5，a2＝3，∴d＝2∴a7＝a3＋(7－3)d＝5＋4×2＝13.故选 B.
6. 答案： D 解析： 因为 .
又因为 ，所以 ，
要使 为整数，则 必为整数，于是 n 可取 0,1,2,3,5,11，
因为 n 为正整数，因此 n 取 1,2,3,5,11，共 5 个数．故应选 D.
7. 答案： 13 解析： 由已知得 ，解得 ，所以 a6＝a1＋5d＝
13.
8. 8. 答案： 解析： 由于 ， ，则 .
9. 答案 2，4，6，8；解析：设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d.
10. 解析：由 Sn＝n2－9n，得此数列为等差数列，计算得 an＝2n－10，由 5<2k－10<8，得
7.51－a1 时，f(x)>1.
∵对任意的 n∈N*，都有 bn≤b8，
∴7<1－a1<8，∴－7 a b a b
a b 0ab ≤ a b
a b a b 2
a bc
+=
a b a b
0ab > a G b 2G b G ab G aba G
⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
2G ab= a G b
{ }na q 1q > 1n nb a= +
1,2,n =
{ }nb { }53, 23,19,37,82− −
6q =
{ }na { }54, 24,18,36,81− −
1q > 2 54 9
24 4q
−= =−
3
2q = 6 9q =
{ }na 1 1
22 , , 1,2,3,3 1
n
n
n
aa a na+= = =+
1{ 1}
na
−
1
2 ,1
n
n
n
aa a+ = + 1
11 1 1 1 .2 2 2
n
n n n
a
a a a+
+= = + ⋅
1
1 1 11 ( 1),2n na a+
− = − 1
1
2 1 2, 13 3a a
= ∴ − =
1{ 1}
na
− 1
2
1
2
1、如果 成等比数列，那么（ ） B
A. B.
C. D.
2、已知数列 中 判断数列 是等比数列，并说
明理由
【答案】 是等比数列
∵ ∴ ，
∴数列 是首项为 2，公比为-2 的等比数列
等比数列的通项公式
首相为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为：
推导过程：
（1）归纳法：
根据等比数列的定义 可得 ：
∴ ；
；
；
……
当 n=1 时，上式也成立
∴归纳得出：
（2）叠乘法：
1, , , , 9a b c− −
3, 9b ac= = 3, 9b ac= − =
3, 9b ac= = − 3, 9b ac= − = −
{ }na 1 11, 2 3 0( 2).n na a a n−= + + = ≥ { 1}na +
{ 1}na +
1 11, 2 3 0( 2).n na a a n−= + + = ≥ 11 2( 1)n na a −+ = − +
{ 1}na +
1a q { }na
1
1 1( * 0)n
na a q n N a q−= ⋅ ∈ ⋅ ≠，
1
n
n
a qa −
= 1 ( 2)n na a q n−= ≥
2 1
2 1 1a a q a q −= =
2 3 1
3 2 1 1 1( )a a q a q q a q a q −= = = =
2 3 4 1
4 3 1 1 1( )a a q a q q a q a q −= = = =
1
1 1 ( 2)n
n na a q a q n−
−= = = ≥
1
1 1( * 0)n
na a q n N a q−= ⋅ ∈ ⋅ ≠，
根据等比数列的定义 可得：
，
，
，
……
，
把以上 个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得： ，即
又 a1 也符合上式
∴ .
(3)迭代法：
∴ .
要点诠释：
①通项公式由首项 和公比 完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数
列就唯一确定了.
②通项公式中共涉及 、 、 、 四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便
可求出第四个量.
等比数列的通项公式的推广
已知等比数列 中，第 项为 ，公比为 ，则：
证明：∵ ，
1
n
n
a qa −
=
2
1
a qa
=
3
2
a qa
=
4
3
a qa
=
1
n
n
a qa −
=
1n − 1
1
nna qa
−=
1
1 ( 2)n
na a q n−= ≥
1
1 1( * 0)n
na a q n N a q−= ⋅ ∈ ⋅ ≠，
2 2 1
1 2 2 1
n n
n n na a q a q a q a q− −
− −= = = = ⋅ =
1
1 1( * 0)n
na a q n N a q−= ⋅ ∈ ⋅ ≠，
1a q
1a n q na
{ }na m ma q
n m
n ma a q −= ⋅
1
1
n
na a q −= ⋅ 1
1
m
ma a q −= ⋅
∴
∴
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式
可以看成是 时的特殊情况。
1、等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则 a10 的值为( )
A．3×10－5 B．3×29
C．128 D．3×2－5 或 3×29
【解析】 ∵ ，a4＝a3q， ∴ ，a4＝12q.
∴ .即 2q2－5q＋2＝0， ∴ 或 q＝2.
或 a10＝12×27＝3×29.故选 D.
2、已知等比数列 ，若 ， ，求 .
【解析】 或 ；
法一：∵ ，∴ ，∴
从而 解之得 ， 或 ，
当 时， ；当 时， 。
故 或 。
法二：由等比数列的定义知 ，
代入已知得
将 代入（1）得 ，
1
1
1
1
n
n mn
m
m
a a q qa a q
−
−
−
⋅= =⋅
n m
n ma a q −= ⋅
1
1 1( * 0)n
na a q n N a q−= ⋅ ∈ ⋅ ≠， 1m =
3
2
aa q
= 2
12a q
=
12 12 30qq
+ = 1
2q =
7
7 5
10 3
112 3 22a a q − = ⋅ = × = ×
{ }na 1 2 3 7a a a+ + = 1 2 3 8a a a = na
12n
na −= 32 n
na −=
2
1 3 2a a a= 3
1 2 3 2 8a a a a= = 2 2a =
1 3
1 3
5,4
a a
a a
+ =
= 1 1a = 3 4a = 1 4a = 3 1a =
1 1a = 2q = 1 4a = 1
2q =
12n
na −= 32 n
na −=
2 1a a q= 2
3 1a a q=
2
1 1 1
2
1 1 1
7
8
a a q a q
a a q a q
+ + = ⋅ ⋅ =
2
1
3 3
1
(1 ) 7,
8
a q q
a q
+ + =⇒ =
2
1
1
(1 ) 7, (1)
2 (2)
a q q
a q
+ + =⇒ =
1
2a q
= 22 5 2 0q q− + =
解得 或
由（2）得 或 ，以下同方法一
1、{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求 a6。
法一：设公比为 q，则 768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96；
法二：a52=a1a9 a5=±48 q=±2，∴a6=±96。
2、{an}为等比数列，an＞0，且 a1a89=16，求 a44a45a46 的值。
∵ ，又 an＞0，∴a45=4
∴ 。
3.已知等比数列{an}满足 a1=2，a1+a3+a5=14，则 + + =（ ）a
A． B． C． D．
等比数列的前 项和公式
推导过程：
（1）利用等比性质
由等比数列的定义，有
根据等比性质，有
2q = 1
2q =
1 1
2
a
q
=
=
1 4
1
2
a
q
= =
⇒ ⇒
2
1 89 45 16a a a= =
3
44 45 46 45 64a a a a= =
n
1
11
( 1)
(1 ) ( 1)1 1
n
n n
na q
S a a qa q qq q
=
= −− = ≠ − −
qa
a
a
a
a
a
n
n ====
−12
3
1
2
qaS
aS
aaa
aaa
nn
n
n
n =−
−=+++
+++
−
1
121
32
⇒ 1(1 ) n nq S a a q− = −
∴当 时， 或 .
（2）错位相减法
等比数列 的前 n 项和 ，
①当 时， ， ；
②当 时，由 得：
∴ 或 .
即
要点诠释：
①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比
数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.
②在求等比数列前 项和时，要注意区分 和 .
③当 时，等比数列的两个求和公式，共涉及 、 、 、 、 五个量，已知
其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
1、求等比数列 的前 6 项和。
【解析】∵ ， ，
∴
1≠q q
qaaS n
n −
−=
1
1
q
qaS
n
n −
−=
1
)1(1
{ }na 1 2 3n nS a a a a= + + + +
1q = 1na a= 1 2 3 1n nS a a a a na= + + + + =
1≠q 1
1
n
na a q −=
2 2 1
1 1 1 1 1
n n
nS a a q a q a q a q− −= + + + + +
2 3 1
1 1 1 1 1
n n
nqS a q a q a q a q a q−= + + + + +
1 1 1 1(1 ) 1n n
n nq S a a q a a q a q∴ − = − = − = −（ ）
q
qaaS n
n −
−=
1
1
q
qaS
n
n −
−=
1
)1(1
1
11
( 1)
(1 ) ( 1)1 1
n
n n
na q
S a a qa q qq q
=
= −− = ≠ − −
n 1q = 1≠q
1≠q 1a n q na nS
1 11, , ,3 9
1 1a = 1
3q = 6n =
6
6
6
11 1 3 3 1 36411 2 3 2431 3
S
× − = = × − = −
1、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.
【解析】若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.
【答案】
因 a1≠0，得 S3+S6≠2S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q≠1.
由 得， ，
整理得 q3(2q6-q3-1)=0，
由 q≠0，得 2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，
因 q3≠1，故 ，所以 。
2、在等比数列 中， ， ， ，求 和 。
【答案】 或 2， ；
∵ ，∴
解方程组 ，得 或
①将 代入 ，得 ，
由 ，解得 ；
②将 代入 ，得 ，
由 ，解得 。
∴ 或 2， 。
3 4
2q = −
3 6 92S S S+ =
3 6 9
1 1 1(1 ) (1 ) 2 (1 )
1 1 1
a q a q a q
q q q
− − −+ =− − −
3 1
2q = −
3 4
2q = −
{ }na 1 66na a+ = 2 1 128na a −⋅ = 126nS = n q
1
2q = 6n =
2 1 1n na a a a−⋅ = ⋅ 1 128na a =
1
1
128
66
n
n
a a
a a
=
+ =
1 64
2n
a
a
=
=
1 2
64n
a
a
=
=
1 64
2n
a
a
=
=
1
1
n
n
a a qS q
−= −
1
2q =
1
1
n
na a q −= 6n =
1 2
64n
a
a
=
=
1
1
n
n
a a qS q
−= − 2q =
1
1
n
na a q −= 6n =
1
2q = 6n =
设等比数列 的公比为
①若 ，且 ,则 ，
特别地，当 时 .
②下标成等差数列且公差为 的项 , , ,…组成的新数列仍为等比数列，公
比为 .
③若 ， 是项数相同的等比数列，则 、 、 （ 是常数且
）、 、 ( , 是常数)、 、 也是等比数列；
④连续 项和（不为零）仍是等比数列.即 , , ，…成等比数列。
1、在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为
________。
【解析】
法一：设这个等比数列为 ，其公比为 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ 。
法二：设这个等比数列为 ，公比为 ，则 ， ，
加入的三项分别为 ， ， ，
由题意 ， ， 也成等比数列，∴ ，故 ，
∴
2、等比数列中 Sn＝48，S2n＝60，则 S3n 等于________．
【解析】 ∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 构成等比数列．
又 Sn＝48，S2n＝60，∴S3n－S2n＝S3n－60
{ }na q
, , ,m n p q N +∈ m n p q+ = + m n p qa a a a⋅ = ⋅
2m n p+ = 2
m n pa a a⋅ =
m ka k ma + 2k ma +
mq
{ }na { }nb { }2na { }2 1na − { }nka k
0k ≠ 1{ }
na { }m
na m N +∈ m { }nn ba ⋅ { }n
n
a
b
k kS 2k kS S− 3 2k kS S−
8
3
27
2
{ }na q
1
8
3a = 4 4
5 1
27 8
2 3a a q q= = = ⋅ 4 81
16q = 2 9
4q =
2 3 3 6
2 3 4 1 1 1 1a a a a q a q a q a q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
3 3
38 9 6 2163 4
= ⋅ = =
{ }na q 1
8
3a = 5
27
2a =
2a 3a 4a
1a 3a 5a 2
3
8 27 363 2a = × = 3 6a =
2 3
2 3 4 3 3 3 216a a a a a a⋅ ⋅ = ⋅ = =
∴122＝48(S3n－60)
∴S3n＝63.
1、等比数列 中，公比 q=2, S4=1,则 S8=___________.
S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1×(1+2
4)=17
2、等比数列 中，若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_____________.
令 b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),
易知：b1, b2, b3 成等比数列，∴b3= = =4,即 a5+a6=4.
3、等比数列 中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值。
∵{an}是等比数列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8,
∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.
等比数列 中， ，若设 ,则：
（1）当 时， ，等比数列 是非零常数列。它的图象是在直线 上均
匀排列的一群孤立的点.
（2）当 时，等比数列 的通项公式 是关于 的指数型函数；
它的图象是分布在曲线 （ ）上的一些孤立的点.
①当 且 时，等比数列 是递增数列；
②当 且 时，等比数列 是递减数列；
③当 且 时，等比数列 是递减数列；
{ }na
{ }na
1
2
2
b
b
324
362
{ }na
{ }na 1 1
1
n n
n
aa a q qq
−= ⋅ = ⋅ 1ac q
= n
na c q= ⋅
1q = na c= { }na y c=
0 1q q> ≠且 { }na n
na c q= ⋅ n
1 xay qq
= ⋅ 0 1q q> ≠且
1q > 1 0a > { }na
1q > 1 0a < { }na
0 1q< < 1 0a > { }na
④当 且 时，等比数列 是递增数列。
（3）当 时，等比数列 是摆动数列。
要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为 1 的等比数列.
1．已知等比数列{an}满足 log2a3+log2a10=1，且 a5a6a8a9=16，则数列{an}的公比为
（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
2．在等比数列{an}中，a3，a15 是方程 x2﹣6x+8=0 的根，则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．±4
【巩固练习】
一、选择题
1．1． 和 的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，则公比 q＝( )
A． B．－2
C．2 D．
3．等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则 a10 的值为( )
A．3×10－5 B．3×29
C．128 D．3×2－5 或 3×29
4．等比数列{an}中，a2=9，a5=243，则{an}的前 4 项和为( )
A．81 B．120 C．168 D．192
5．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S4=10，S8=110，则 S16=( )
A．10000 B．11110 C．1110 D．111110
6．设等比数列{an}的公比为 q(q≠1)，则数列 a3，a6，a9，…，a3n，…的前 n 项和为( )
0 1q< < 1 0a < { }na
0q < { }na
2 3+ 2 3−
1
4
1
2
−
1
2
A. B.
C. D.
二、填空题
7．已知一个等比数列的第 9 项是 ，公比是－ ，则它的第 1 项等于 .
8．在等比数列 中，若 ，则公比 = ； = .
9.在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若 am＝a1·a2·a3·a4·a5，则 m＝________.
10．等比数列中 Sn＝48，S2n＝60，则 S3n 等于________．
三、解答题
11.在等比数列{an}中，已知：a1=2, S3=26,求 q 与 a3
12.已知：对任意自然数 n 都有 a1+a2+……+an=2n-1，求 +……+ .
13．有四个数，前三个成等比数列，且和为 19；后三个成等差数列，且和为 12.求这四
个数.
14．已知{an}为等比数列，若 a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=8，求 a1+a2+a3+…+a3m-2+a3m-1+a3m.
15．一个等比数列{an}共有 2n 项，其中偶数项的和是所有项和的 ，且 S3=64，求此等比
数列通项.
9
4
3
1
{ }na 1 4
1 , 42a a= = q 1 2 na a a+ + +
2
2
2
1 aa + 2
na
4
1
2
11
1
na q
q
−
−
3
1
3
1
1
na q
q
−
−
3 3
1
3
1
1
na q
q
−
−
3
3
3
1
1
na q
q
−
−
【答案与解析】
1. 【答案】 C【解析】 等比中项 .
2. 【答案】 D 【解析】 根据 an＝am·qn-m，得 a5＝a2·q3.
∴ .∴ .
3. 【答案】 D【解析】 ∵ ，a4＝a3q，∴ ，a4＝12q.
∴ .即 2q2－5q＋2＝0，∴ 或 q＝2.
或 a10＝12×27＝3×29.故选 D.
4．【答案】B【解析】设公比为 q，则 ，∴q=3，则前 4 项的和为：3+9+27+81=120，
故选 B.
5．5．【答案】B【解析】S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12，……是等比数列，首项为 S4=10，公
比 ，
所以 S16=10+100+1000+10000=11110，故选 B.
6. 【答案】 D【解析】 由于 .故选 D.
7．【答案】 =2916【解析】由 及 ，解得 =2916
8．【答案】2， .【解析】 ，解得 ，
9. 【答案】 11【解析】 am＝a1·a2·a3·a4·a5＝a15· q1＋2＋3＋4＝a15q10＝a1·q10∴m＝11.
10. 【答案】 63【解析】 ∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 构成等比数列．
又 Sn＝48，S2n＝60，∴S3n－S2n＝S3n－60∴122＝48(S3n－60)∴S3n＝63.
11.【解析】2(1+q+q2)=26, 解得 q=3 或 q=-4.当 q=3 时 a3=18；当 q=-4 时, a3=32.
3 5
2
27aq a
= =
110 10 1010q
−= =
1a 1a
1 12 2
n− − 3
4
1 42a q= × = 2q =
1
1 2
1 (1 2 ) 12 21 2 2
n
n
na a a −
× −
+ + + = = −−
2 3 2 3 1G = ± + ⋅ − = ±
3 1 1 1
4 2 8q = × = 1
2q =
3
2
aa q
= 2
12a q
=
12 12 30qq
+ = 1
2q =
7
7 5
10 3
112 3 22a a q − = ⋅ = × = ×
3
3
3 6 9 3 3
1
1
n
n
a qa a a a q
−+ + + + = −
8
9 1
4 ,9a a q= = 1
3q = −
12.【解析】依题意 Sn=2n-1,易求得 an=2n-1, a1=1 且公比为 2，可知 ， ，…… 成等比
数列，公比为 4.∴ + +……+ = = .
13．【解析】依题意设这四个数为 y, x-d, x,x+d，
∵后三个数和为 12，∴(x-d)+x+(x+d)=12，解得 x=4.
又前三个数成等比且和为 19，
∴ , 解得 或 ，
∴这四个数为 9，6，4，2 或 25，-10，4，18.
14.【解析】
∴ ，
由 A1=a1+a2+a3=2 a1(1+q+q2)=2，A 2=a4+a5+a6=a1q3(1+q+q2)，A 3=a1q6(1+q+q2)，A 1，
A2 ， A3 成 等 比 数 列 ， 且 首 项 为 A1 公 比 为 q3 ， 由 前 面 得 q3=±2 ， 则
或 .
15．【解析】 ∵S 偶= Sn,∴ = × ,∴ , ∴ ,
又 S3=64，∴ ，∴ , ∴ ×9×( )n-1= ×( )n-3.
第四部分：数列求和问题
公式法：
如果一个数列是等差或者等比数列，求其前 项和可直接利用等差数列或等比数列的前
项和公式求和；
倒序相加法：
等差数列前 n 项和的推导方法，即将 倒写 后再与 相加，从而达到（化多为少）求
和的目的，常用于组合数列求和.
裂项相消法：
2
1a 2
2a 2
na
2
1a 2
2a 2
na 14
14
−
−n
)14(3
1 −n
=+−+
=−
1944
4)4( 2
dy
yd
−=
=
2
9
d
y
=
=
14
25
d
y
2
1 2 3 12 (1 ) 2a a a a q q+ + = ⇒ + + =
6 2
7 8 9 18 (1 ) 8a a a a q q q+ + = ⇒ + + = 6 34 2q q= ⇒ = ±
⇒
3
1
3 3
(1 ) 2(2 1)1
m
m
m
A qS q
−= = −−
2[1 ( 2) ]
3
m− −
4
1
2
2
1
1
)1(
q
qqa n
−
−
4
1
q
qa n
−
−
1
)1( 2
1 1
4
q q
+ = 1
3q =
31[1 ( ) ]3 6411 3
a⋅ −
=
− 1
64 913a = × 64
13na =
3
1
13
64
3
1
n
n
nS nS
把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达
到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前 n 项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.
例如对通项公式为 的数列求和.
常见的拆项公式：
① ；
②若 为等差数列，且公差 d 不为 0，首项也不为 0，则 ；
③若 的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，
则 .
④ ； .
分解求和与并项求和法：
把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成
两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项
公式为 an=2n+3n 的数列求和.
错位相减法：
如果一个数列 的通项是由一个非常数列的等差数列 与等比数列 的对应
项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为
（其中 是公差 d≠0 的等差数列， 是公比 q≠1 的等比数列）（也称为“差比数列”）的
数列求前 项和 .例如对通项公式为 的数列求和.
一般步骤：
，则
所以有
要点诠释：
①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前 项和的两边都乘
1
( 1)na n n
= +
)11(1
)(
1
knnkknn +−=+ •
{ }na
1 1
1 1 1 1( )
n n n na a d a a• + +
= −
{ }na
)11(1
))((
1
CAnBAnBCCAnBAnan +−+−=++=
nn
nn
−+=
++ 1
1
1 )(11 nknknkn
−+=
++
{ }na { }nb { }nc
nnn cba ⋅=
{ }nb { }nc
n nS (2 1) 2n
na n= − ⋅
nnnnn cbcbcbcbS ++…++= −− 112211
1 2 1 1n n n n nqS b c b c b c− += +……+ +
13211 )()1( +−……+++=− nnnn cbdccccbSq
n
以等比数列的公比 q 后，再错位相减求出其前 项和；
②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比 q 是否有可能等于 1，若
q=1，错位相减法会不成立.
掌握一些常见数列的前 n 项和公式
1. ；
2.
3. ；
要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便.
例 1、公式法：直接利用或者转化后利用等差或等比数列求和公式
设数列 的通项为 则 =
【解析】由 得 取 则
.
1、已知 是首项为 1 的等比数列， 是 的前 n 项和，且 则数列 的前
5 项和为
【解析】由题意知，显然
∵ ∴
n
2
)1(321
+=++++ nnn
21 3 5 (2 1)n n+ + + + − =
6
)12)(1(321 2222 ++=++++ nnnn
{ }na *2 7( ),na n n N= − ∈ 1 2 15| | | | +| |a a a+ +… …
0,na > 7 ,2n ≥ 4,n ≥
1 2 15| | | | +| |a a a+ +… …
1 2 3 4 5 15= ( ) ( + ) (1 3 5) (1 3 5 +23a a a a a a− + + + + + = + + + + + +… … … … ）
1=9+ 1+232
×（ ） 12=153
{ }na nS { }na 3 69 ,S S= 1
na
1q ≠
1 2 3 1 2 3 4 5 6,9( )a a a a a a a a a+ + = + + + + + 1 2 3 4 5 6,8( )a a a a a a+ + = + +
3
1 2 3 1 2 38( ) ( )a a a a a a q+ + = + +
∴
∴
例 2、错位相减法
设 ，求数列： , , ,…, ,…的前 项和 .
【思路点拨】
原数列不是等差等比数列，但字母部分： , , ,…, ,…是等比数列，系数部分 ， ， ，…， ，…是等
差数列，对数列中任一项若除以 ，则与前项同类项，系数大 1，若乘以 ，它与它的后项是关于 的同类项，且系数小 1，
联系等比数列求和方法，错项相减法（注意当等比数列公比不为 1 的时候）
【解析】
当 时，
当 时， …… ①
则 …… ②
由①-②可得： ，
∴ .
2、求和 （ ）.
【解析】
（1）当 时，
（2）当 时，
（3）当 且 时，
①
②，
0a ≠ a 22a 33a nna n nS
1a = ( 1)1 2 3 ... 2n
n nS n
+= + + + + =
1a ≠ 2 32 3 ... n
nS a a a na= + + + +
2 3 4 12 3 ... n
na S a a a na +⋅ = + + + +
2 3 1 1 1(1 )(1 ) 1
n
n n n n
n
a aa S a a a a a na naa
− + +−− = + + + + + − = −−
a
na
a
aaS
nn
n −−
−
−=
++
1)1(
1
2
1
2 3 11 2 3 4 ... n
nS x x x nx −= + + + + + x R∈
0x = 1nS =
1x =
2
)1(321
+=++++= nnnSn
0x ≠ 1x ≠
2 3 11 2 3 4 ... n
nS x x x nx −= + + + + +
2 3 42 3 4 ... n
nxS x x x x nx= + + + + +
12, 2n
nq a −= = 0 1 4
1 2 5
1 1 1 1 1 1 31+ +2 2 2 16a a a
+ + = + + =… … … …
a 2a 3a na 1 2 3 n
a a a
①-②得 ，
∴ .
3、求数列 的前 项和 .
【答案】
∴
例 3、裂项相消法
求数列 的前 n 项的和 .
【思路点拨】
观察数列特征： 中每项都是个分数，相邻两项之间有公因式，考查每项可作哪些变化，变化之后再来
看有无规律；或看邻项之间运算关系。∵ ，即每一项都可变为两个数的差，即
， ，…，且每项拆裂出作差的两数，被减数恰是前项裂出的减
数，它的减数呢又是它后项裂出的被减数，正好可以消去.
【解析】
∵ ，
∴
1
2 1 1(1 ) 1 ( 1)(1 ) 1 ... 1 1
n n n
n n n
n
x nx n xx S x x x nx nxx x
+
− − + − +− = + + + + − = − =− −
2
1
)1(
)1(1
x
xnnxS
nn
n −
+−+=
+
1 2 3 4, , , , , ,2 4 8 16 2n
n⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ n nS
1 2 3 4
2 4 8 16 2n n
nS = + + + +⋅⋅⋅+
1
1 1 2 3 4
2 4 8 16 32 2n n
nS += + + + +⋅⋅⋅+
1 1
1 1 1 1 1 1(1 ) 12 2 4 8 2 2 2 2n n n n n
n nS + +
− = + + +⋅⋅⋅+ − = − −
1
12 2 2n n n
nS −∴ = − −
)1(
1
43
1
32
1
21
1
+××× nn
，，，， nS
1
11
)1(
1
+−=+=
nnnnan
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 ( 1)nS n n
= + + + +× × × +
1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 1n n
= − + − + − + + − +
)1(
1
+=
nnan
1
11
)1(
1
+−=+=
nnnnan
2
1121
1 −=× 4
1
3
1
43
1,3
1
2
1
32
1 −=×−=×
4、求数列 ， ， ，…， ，…的前 n 项和 .
【答案】∵
∴
5、求和: （ ）
【答案】∵ ,
∴
例 4、分组转化法求和
1、已知数列 的首项 ，通项 （ ， 是常数），且
成等差数列.
1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 1
11 1
1
n n
n
n
n
= − + − + − + + − +
= − +
= +
1
1 2+
1
2 3+
1
3 2+
1
1n n+ + nS
1
1
++
=
nn
an nn −+= 1
1
1
23
1
32
1
21
1
++
++
+
+
+
+
+
=
nn
Sn
nn −+++−+−+−= 1322312
11 −+= n
)(21
1
321
1
21
11 +∈++++++++++ Nnn
)1
11(2)1(
2
2
)1(
1
21
1
+−=+=+=+++=
kkkkkkkak
)1(
2
43
2
32
2
21
2
+++×+×+×=
nnSn
1 1 1 1 1 1 1 12[( ) ( ) ( ) ( )]1 2 2 3 3 4 1
1 22(1 )1 1
n n
n
n n
= − + − + − + + − +
= − =+ +
*n N∈
{ }nx 1 3x = 2n
nx p n q= ⋅ + ⋅ *n N∈ ,p q
1 4 5, ,x x x
（1）求 的值；
（2）求数列 的前 n 项和 .
【解析】
（1） 解得
（2）
=
=
2、已知数列 的前 项和 ，求
， 的值.
【思路点拨】
该数列 的特征： ，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以 1
为首项 8 为公差的等差数列，偶数项构成以-5 为首项-8 为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分
组求和；还有规律： （ 为奇数），可以将相邻两
项组合在一起。
【解析】
方法一：由
∴
方法二：由
∴当 为奇数， 时， ，
当 为偶数， 时， ，
∴ ，
{ }na n 11 5 9 13 17 21 ... ( 1) (4 3)n
nS n−= − + − + − + + − −
15S 22S
1( 1) (4 3)n
na n−= − −
15
8(1 57) 7(5 53)[1 9 ... (4 15 3)] [5 13 ... (4 14 3)] 292 2S
+ += + + + × − − + + + × − = − =
22
11(1 81) 11(5 85)[1 9 ... (4 21 3)] [5 13 ... (4 22 3)] 442 2S
+ += + + + × − − + + + × − = − = −
1( 1) (4 3)n
na n−= − −
n 1 (4 3) (4 1) 4n na a n n++ = − − + = −
n 1 (4 3) (4 1) 4n na a n n++ = − − + + =
15 1 ( 5 9) ( 13 17) ( 21 25) ... ( 53 57) 1 7 4 29S = + − + + − + + − + + + − + = + × =
,p q
{ }nx nS
2 3
2(16 4 ) 2 32 5
p q
p q p q p p
+ =
+ = + + +
1
1
q
p
=
=
1 2 2
1 2 (2 1) (2 2) +(2 )n nS x x x n= + + + = + + + + +… … … …
1 2(2 2 +2 ) (1 2 3 +n)n+ + + + + +… … … …
1 ( 1)2 2 2
n n n+ +− +
{ }na 1( 1) (4 3)n
na n−= − −
1 2 3 4 5 6 1... 4n na a a a a a a a ++ = + = + = = + = − n
*n N∈
*n N∈
6、求和
【答案】
7、已知数列 中， ，求前 项和
【答案】∵ ，
∴
8、求 ， ， ， ，…， ，…的前 50 项之和 以及前 项之和
.
【答案】
（1）设 ，则数列 为等差数列，且 是 的前 25 项之
和 ，
所以 .
（2）当 为偶数即 时，
.
当 为奇数即 时，
.
【巩固练习】
一、选择题
1．已知函数 。且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋
a100 等于( )
2 3(2 1) (2 1) (2 1) ... (2 1)n
nS = + + + + + + + +
2 3 1(2 2 2 ... 2 ) 2 2n n
nS n n+= + + + + + = + −
{ }na 1 2 1
1 4, 4 2 2 ... 2 ( 2)n
na a n−= = + + + + ≥ n nS
1 2 1(1 2 2 ... 2 ) 3 (2 1) 3 2 2n n n
na −= + + + + + = − + = +
2 3 1(2 2 2 ... 2 ) 2 2 2 2n n
nS n n+= + + + + + = + −
21− 22 23− 24 2( 1)n n•− 50S n
nS
2 2(2 1) (2 ) 4 1kb k k k= − − + = − { }kb 50S { }kb
25T
50 25
25[3 (4 25 1)] 12752S T
+ × −= = =
n
(3 4 1)
2n k
k kS T
+ −= = 1(2 1) ( 1)2k k n n= + = +
n
2 2 21 ( 1)(2 1) ( 1)2 2n k
n nS T n k k n n n n
+= − = + − = − − = −
*2 ( )n k k N= ∈
*2 1( )n k k N= + ∈
2
2( ) n nf n
n n
= −
当 为奇数时
当 为偶数时
A．0 B．100 C．－100 D．10200
2．如果数列{an}满足 a1＝2，a2＝1，且 (n≥2)，则这个数列的第 10
项等于( )
A. B.
C. D.
3．数列{an}中， ，其前 n 项和为 ，则在平面直角坐标系中，直线(n＋
1)x＋y＋n＝0 在 y 轴上的截距为( )
A．－10 B．－9
C．10 D．9
4．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a7＞0，a8＜0，则下列结论正确的是( )
A．S7＜S8 B．S15＜S16
C．S13＞0 D．S15＞0
5．数列{an}是等差数列，若 ，且它的前 n 项和 Sn 有最大值，那么当 Sn 取得最
小正值时，n＝( )
A．11 B．17
C．19 D．21
二、填空题
6. 已知数列 中 ，求前 项和 = .
7．求数列 ， ，…， ，…的前 项和 = .
8．已知函数 f(x)＝3x2－2x，数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数 f(x)
的图象上， ，Tn 是数列{bn}的前 n 项和，则使得 对所有 n∈N*都成立的
最小正整数 m 等于________．
9．设函数 f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn-1，若已知 ，且数列{an}满足 f(1)＝
n2an(n∈N*)，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝________.
10．已知函数 f(x)＝log2x，若数列{an}的各项使得 2，f(a1)，f(a2)，…，f(an)，2n＋4 成
等差数列，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝________.
三、解答题
11. 求数列 ， ， ，…， ，…的前 项和 .
1 1
1 1
n n n n
n n
a a a a
a a
− +
− +
− −=
10
1
2 9
1
2
1
10
1
5
1
( 1)na n n
= +
9
10
11
10
1a
a
< −
{ }na 2 2n
na = + n nS
1
1 4×
1
4 7×
1
(3 2)(3 1)n n− + n nS
1
3
n
n n
b a a +
=
20n
mT <
1(0) 2f =
1
2
3
4
5
8
2 1
2n
n −
n nS
12.已知数列 ， ， ，…， ，求此数列前 项和 .
13．求 的和.
14. 设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n-1.
（Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
15.等比数列 的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 求数列 的前 n 项和.
【答案与解析】
1. 【答案】B
【解析】由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－
(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.
2. 【答案】D【解析】∵ ，∴ ，
，∴ 是首项为 ，公差为 的等差数列，∴ ，∴ .
3. 【答案】B【解析】数列{an}的前 n 项和为
{ }na 2
1 2 3 2 62 3 1, 9 .a a a a a+ = =
{ }na
3 1 3 2 3log log ...... log ,n nb a a a= + + + 1
nb
1 3a 25a 1(2 1) nn a −− n nS
212222 )1(...)4(3)2(1 nS n
n
−−++−++−+=
1 1
1 1n n
n n
a a
a a− +
− = −
1 1
2n n
n n
a a
a a− +
+ =
1 1
2 1 1
n n na a a− +
= + 1
na
1
2
1
2
1 1
2n
na
= 10
1
5a =
，所以 n＝9，于
是直线(n＋1)x＋y＋n＝0 即为 10x＋y＋9＝0，所以其在 y 轴上的截距为－9.
4. 【答案】C
【解析】因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{an}是递
减的，且 S7 最大即 Sn≤S7 对一切 n∈N*恒成立．可见选项 A 错误；易知 a16＜a15＜0，S16＝S15＋a16＜S15，
选项 B 错误； ，选项 D 错误；.
5. 【答案】C 【解析】由题意可知，数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值，所以公差小于零，故 a11＜a10，又
因为 ，所以 a10＞0，a11＜－a10，由等差数列的性质有 a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞
0，所以 Sn 取得最小正值时 n＝19.
6.【答案】 【解析】
7．【答案】 【解析】
8. 【答案】10【解析】由 Sn＝3n2－2n，得 an＝6n－5，
又∵ ，
∴ ，
要使 对所有 n∈N*成立，只需 ，∴m≥10，故符合条件的正整数 m＝
10.
9. 【答案】 【解析】由 得 .由 f(1)＝n2an 得 a1＋a2＋…＋an＝Sn＝n2an，①
所以当 n≥2 时，
Sn－1＝(n－1)2an－1②，
①－②得 an＝n2an－n2an－1－an－1＋2nan－1，(n2－1)an＝(n2－2n＋1)an－1，于是(n＋1)an
＝(n－1)an－1，
即 .
因此 ，
而 ，
1 1 1 1 1 1 1 111 2 2 3 ( 1) 2 2 3 1n n n n
+ + + = − + − + + −× × + +
1 91 1 10n
= − =+
15 1 15 8
15 ( ) 15 02S a a a= + = <
11
10
1a
a
< −
12 2 2n n+ + −
1 2 1 2 1(2 2) (2 2) ... (2 2) (2 2 ... 2 ) 2 2 2 2n n n
nS n n+= + + + + + + = + + + + = + −
3 1
n
n +
1 1 1
1 4 4 7 (3 2)(3 1)nS n n
= + + +× × − +
1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )]3 4 4 7 3 2 3 1n n
= − + − + + −− + 13)13
11(3
1
+=+−=
n
n
n
1
3 1 1 1( )2 6 5 6 1n
n n
b a a n n+
= = −− +
1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) (1 )2 7 7 13 6 5 6 1 2 6 1 2nT n n n
= − + + + + − = − < − + +
1 1(1 )2 6 1 20
m
n
− <+
1
20 2
m ≥
1
n
n +
1(0) 2f = 1
1
2a =
1
1
1
n
n
a n
a n−
−= +
32 4
1
1 2 3 1
1 1 2 3 1 1
2 3 4 5 1 ( 1)
n
n
n
a aa a na a a a a a n n n−
−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =+ +
1 1 1
( 1) 1na n n n n
= = −+ +
所以 .
10. 【答案】
【解析】设等差数列的公差为 d，则由题意，得 2n＋4＝2＋(n＋1)d，解得 d＝2，于是 log2a1＝4，log2a2
＝6，log2a3＝8，…，从而 a1＝24，a2＝26，a3＝28，….易知数列{an}是等比数列，其公比 ，所
以 ．
11. 【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
故 .
12. 【解析】 ， ①
当 时，
当 时， .
当 且 时， ②
由①-②得：
∴ .
13．【解析】当 n 为奇数时，
1 1 1 1 11 2 2 3 1 1n
nS n n n
= − + − + + − =+ +
16 (4 1)3
n −
2
1
4aq a
= =
42 4 1 16 (4 1)4 1 3
n
n
nS
⋅ −= = −−
2
1 2 13 2 2n n n
nS −
−= − −
1 3 5 7 2 1
2 4 8 16 2n n
nS
−= + + + + +
1
1 1 3 5 2 3 2 1
2 4 8 16 2 2n n n
n nS +
− −= + + + + +
1 1 1
1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 112 2 4 8 16 2 2 2 2 2n n n n n n
n nS S + − +
− −− = + + + + + − = + − −
2
1 2 13 2 2n n n
nS −
−= − −
12 )12(531 −−++++= n
n anaaS
0a = 1nS =
1a = 2[1 (2 1)]1 3 5 (2 1) 2n
n nS n n
+ −= + + + + − = =
0a ≠ 1a ≠ nn
n ananaaaSa •−• −+−++++= )12()32(53 132
2 3 1
1
(1 ) 1 (2 2 2 2 ) (2 1)
2 (1 )1 (2 1)1
n n
n
n
n
a S a a a a n a
a a n aa
−• •
−
•
− = + + + + + − −
−= + − −−
2
2( ) 1 (2 1)
(1 ) 1
n n
n
a a n aS a a
•− − −= +− −
2 2 2 2 2 2 2...(1 2 ) (3 4 ) [( 2) ( 1) ]nS n n n= − + − + + − − − +
2[3 7 11 ... (2 3)]n n= − + + + + − +
21 3 (2 3)
2 2
n n n
− + −= − ⋅ +
2
2
n n+=
当 n 为偶数时，
.
14．【解析】
解：(1)由已知得，当 n≥1 时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n-1＋22n-3＋…＋2)＋2＝22(n+1)-1，
而 a1＝2，所以数列{an}的通项公式为 an＝22n-1.
(2)由 bn＝nan＝n·22n-1 知
Sn＝1·2＋2·2 3＋3·25＋…＋n·22n-1 ①
从而 22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n+1 ②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n-1－n·22n+1.
即 Sn＝ [(3n－1)22n+1＋2]．
15. 【解析】（Ⅰ）设数列 的公比为 q，由 得 所以 .
由条件可知 ,故 .由 得 ，所以 .
故数列 的通项式为 = .
（Ⅱ ）
.
故
,
.
所以数列 的前 n 项和为
.
四、真题分析
数列的知识点、考点如下：
一、转化成解方程组。
二、求 .
2
3 2 69a a a= 3 2
3 49a a= 2 1
9q =
1
3q = 1 22 3 1a a+ = 1
1
3a =
3 1 3 2 3 nlog log ... lognb a a a= + + +
(1 2 ... )
( 1)
2
n
n n
= − + + +
+= −
1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n
= − = − −+ +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2... 2((1 ) ( ) ... ( ))2 2 3 1 1n
n
b b b n n n
+ + + =− − + − + + − =−+ +
1{ }
nb
2
1
n
n
− +
2 2 2 2 2 2...(1 2 ) (3 4 ) [( 1) ]nS n n= − + − + + − −
[3 7 11 ... (2 1)]n= − + + + + − 3 (2 1)
2 2
n n+ −= − ⋅
2
2
n n+= −
1
9
{ }na
0na > 1 12 3 1a a q+ =
{ }na na 1( )3
n
na
1、观察法求 ； 2、公式法求 ；3、知 求 ； 4、递推公式求 .
三、求和。
1、公式法求和；2、分组重组求和；3、裂项相消求和；4、错位相消求和；5、倒序求和.
四、放缩法及利用单调性.
附：近 8 年来高考数列题（全国卷）
●2017 年
理科
文科
●2016 年
na na nS na na
文科 17 题
理科：
●2015 年
课标Ⅰ 理科(17) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0，
(Ⅰ)求{an}的通项公式：(Ⅱ)设 ，求数列 }的前 n 项和.
【试题分析】（Ⅰ）当 时， ，因为 ，所以 =3，
当 时 ， = = ， 即
，因为 ，所以 =2，
所以数列{ }是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 = ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， = ，
所以数列{ }前 n 项和为 = =
.
【考点分析】数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法。
文科 7、已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则
（ ）（A） （B） （C） （D）
1n = 2
1 1 1 12 4 3 4 +3a a S a+ = + = 0na > 1a
2n ≥ 2 2
1 1n n n na a a a− −+ − − 14 3 4 3n nS S −+ − − 4 na
1 1 1( )( ) 2( )n n n n n na a a a a a− − −+ − = + 0na > 1n na a −−
na na 2 1n +
nb 1 1 1 1( )(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n n n n
= −+ + + +
nb 1 2 nb b b+ + +
1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]2 3 5 5 7 2 1 2 3n n
− + − + + −+ +
1 1
6 4 6n
− +
{ }na nS { }na n 8 44S S= 10a =
17
2
19
2 10 12
【试题分析】∵公差 ， ，∴ ，解得 = ，∴
，故选 B.
【考点分析】：等差数列通项公式及前 n 项和公式，难度属简单。
文科 13、数列 中 为 的前 n 项和，若 ，则 .
【试题分析】∵ ，∴数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
∴ ，∴ ，∴n=6.
【考点分析】：等比数列定义及前 n 项和公式，难度属简单。
● 2014 年
课标 1 理科 17.已知数列{ }的前 项和为 ， =1， ， ，其中
为常数.(Ⅰ)证明： ；
（Ⅱ）是否存在 ，使得{ }为等差数列？并说明理由.
（17）解：（I）由题设，
两式相减得
由于 ，所以 ……6 分
（II）由题设， ， ，可得
由（I）知，
令 ，解得 故 ，由此可得
是首项为 1，公差为 4 的等差数列， ；
是首项为 3，公差为 4 的等差数列， .
所以 ， .
因此存在 ，使得数列 为等差数列. ……12 分
【考点分析】考查等比数列的判定和证明，对参数运算和推理论证能力有一定要求。难度中
等。
1d = 8 44S S= 1 1
1 18 8 7 4(4 4 3)2 2a a+ × × = + × × 1a 1
2
10 1
1 199 92 2a a d= + = + =
{ }na 1 12, 2 ,n n na a a S+= = { }na 126nS = n =
1 12, 2n na a a+= = { }na
2(1 2 ) 1261 2
n
nS
−= =− 2 64n =
na n nS 1a 0na ≠ 1 1n n na a Sλ+ = − λ
2n na a λ+ − =
λ na
1 1 2 11, 1.n n n n n na a S a a Sλ λ+ + + += − = −
1 2 1( ) .n n na a a aλ+ + +− =
1 0na + ≠ 2 .n na a λ+ − =
1 1a = 1 2 1 1a a Sλ= − 2 1.a λ= −
3 1.a λ= +
2 1 32a a a= + 4.λ = 2 4n na a+ − =
{ }2 1na − 2 1 4 3na n− = −
{ }2na 2 4 1na n= −
2 1na n= − 1 2n na a− − =
4λ = { }na
课标 1 文科(17) 已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根。
（I）求 的通项公式；
（II）求数列 的前 项和.
【答案】（I）方程 的两根为 2,3，由题意得
设数列 的公差为 d，则 故 从而
所以 的通项公式为 ……6 分
（II）设 的前 n 项和为 由（I）知 则
两式相减得
所以 ……12 分
【考点分析】考查等差数列的通项及一元二次的解法。涉及乘公比错位相消求前 N 项和。
难度中等偏下。
2014 年
课标 2（17）（理科）已知数列 满足 ， ．
（Ⅰ）证明 是等比数列，并求 的通项公式；
（Ⅱ）证明 ．
【试题分析】（Ⅰ）证明：∵ ，
{ }na 2a 4a 2 5 6 0x x− + =
{ }na
2
n
n
a n
2 5 6 0x x− + = 2 42, 3.a a= =
{ }na 4 2 2 ,a a d− = 1 ,2d = 1
3 ,2a =
{ }na 1 12na n= +
2
n
n
a ,ns 1
2 ,2 2
n
n n
a n
+
+=
2 3 1
3 4 1 2... ,2 2 2 2n n n
n ns +
+ += + + + +
3 4 1 2
1 3 4 1 2... .2 2 2 2 2n n n
n ns + +
+ += + + + +
3 1 2
1 3 1 1 2( ... )2 4 2 2 2n n n
ns + +
+= + + + −
1 2
3 1 1 2(1 ) .4 4 2 2n n
n
− +
+= + − −
1
42 .2n n
ns +
+= −
{ }na 1 1a = 1 3 1n na a+ = +
1{ }2na + { }na
1 2
1 1 1 3
2na a a
+ +⋅⋅⋅+ <
1 3 1n na a+ = +
∴ ， 不等于 0，即：
又 ， ∴ 是 以 为 首 项 ， 3 为 公 比 的 等 比 数 列 ． ∴
，即
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，∴
∴
故：
【考点分析】本题考查等比数列的递推关系求解，涉及放缩法证明不等式，对转化、分析、
解决能力要求较高。难度中等偏上。
5（文科）等差数列 的公差为 2，若 ， ， 成等比数列，则 的前 n 项 =（ ）
A B C D
【试题分析】∵ ， ， 成等比数列，
即
（16）（文科）数列 满足 ， =2，则 =_________.
【试题分析】考查数学列的递推关系。由 ，令 n=7，得 ，由
， 出 现 周 期 性 ， 从 开 始 依 次 是 2 ， 0.5 ，
-1,2,0.5，-1,2,0.5，所以 =0.5
1a
1a
1
1 13( )2 2n na a+ + = + 1
1 3
2 2a + =
1
1
2 31( )2
n
n
a
a
+ +
=
+
1
1 3
2 2a + = 1{ }2na + 3
2
11 3 32 2
n
na −+ = ⋅ 3 1
2
n
na
−=
3 1
2
n
na
−= 1
1 2 1 ( )3 1 3n n
n
na −= ≤ ∈− N*
2
1 2
11 ( )1 1 1 1 1 1 3 1 331 [1 ( ) ]13 3 3 2 3 21 3
n
n
n
na a a
−
+ +⋅⋅⋅+ ≤ + + +⋅⋅⋅+ = = − <
−
1 2
1 1 1 3
2na a a
+ +⋅⋅⋅+ <
{ }na 2a 4a 8a { }na nS
( )1n n + ( )1n n − ( )1
2
n n + ( )1
2
n n −
2a 4a 8a
，82
2
4 aaa =∴ ),6()2( 22
2
2 daada +=+
...6.2,4 212 AASaa 选正确经验证，仅解得 =∴==
}{ na
n
n aa −=+ 1
1
1 8a
28 =a
2
1a,21
1
7
7
==− 得
a
，求得 1-a 67 =a 2a5 =得 8a
●2013 理科 课标Ⅰ
理科 7.设等差数列 的前 项和为 ，则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】 C.
【考点分析】本题考查等差数列的通项和前 N 项和公式。难度属中等偏下。
12．(2013 课标全国Ⅰ，理 12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an，bn，cn，△AnBnCn 的面积为
Sn，n＝1,2,3，….若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝ ，cn＋1＝ ，则
( )．
A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为
递增数列
【答案】 B
理科 14．若数列{an}的前 n 项和 ，则{an}的通项公式是 an＝_______.
【答案】 = .
文科 6．设首项为 ，公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】 D
【考点分析】本题考查等比数列的通项和前 N 项和公式的关系。
文科 17．已知等差数列 的前 项和 满足 ， 。
（Ⅰ）求 的通项公式；（Ⅱ）求数列 的前 项和。
【答案】17．（1）设｛a ｝的公差为d，则S = 。
由已知可得
（2）由（I）知
从而数列 .
【考点分析】本题考查等差数列的通项和前 N 项和公式，考查等差数列的基本量，涉及列
na 1( 2)n−−
{ }na n 1 1, 2, 0, 3n m m mS S S S− += − = = m =
2
n nc a+
2
n nb a+
2 1
3 3n nS a= +
1 2
3 { }na n nS
2 1n nS a= − 3 2n nS a= − 4 3n nS a= − 3 2n nS a= −
{ }na n nS 3 0S = 5 5S = −
{ }na
2 1 2 1
1{ }
n na a− +
n
n n 1
( 1)
2
n nna d
−+
1
1
1
3 3 0, 1, 1.5 10 5,
a d a da d
+ = = = − + = −
解得
{ }n =2- .na a n故 的通项公式为
2 1 2 1
1 1 1 1 1( ),(3 2 )(1 2 ) 2 2 3 2 1n na a n n n n− +
= = −− − − −
2 1 2 1
1
n n
na a− +
的前 项和为 1 1 1 1 1 1 1- + - + + )2 -1 1 1 3 2 3 2 1 1 2
n
n n n
− =− − −（
项相消求和。难度中等偏下。
课标 2
理 3．等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 ( )
A B C D
理 16 ． 等 差 数 列 的 前 项 和 为 ， 已 知 ， 则 的 最 小 值 为
________．
【考点分析】本题考查等差数列的前 N 项和的应用，涉及用导数求函数最值。难度中等。
文科：17．已知等差数列 的公差不为零，a1=25，且 a1，a11，a13 成等比数列。
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 。
●2012 年
理科
【 2012 高 考 真 题 新 课 标 理 5 】 已 知 为 等 比 数 列 ， ， ， 则
（ ）
【答案】D
【考点分析】本题考查等比数列的通项及性质。涉及转化思想，难度属中等偏下。
【 试 题 分 析 】 因为 为等比数列，所以 ，又 ，所以
或 . 若 ， 解 得 ，
；若 ，解得 ，仍有 ，综上
{ }na n nS 123 10aaS += 95 =a =1a
3
1
3
1−
9
1
9
1−
{ }na n nS 10 150, 25S S= = nnS
{ }na 5 6 8a a = −
1 10a a+ =
{ }na
{ }na
1 4 7 3 2na a a a −+ + + +
4 7 2a a+ =
( )A 7 ( )B 5 ( )C −5 ( )D −7
}{ na 87465 −== aaaa 274 =+ aa
24 74 −== aa ， 42 74 =−= aa ， 24 74 −== aa ， 18 101 =−= aa ，
7101 −=+ aa 42 74 =−= aa ， 18 110 =−= aa ， 7101 −=+ aa
选 D.
【2012 高考真题新课标理 16】数列 满足 ，则 的前 项和
为
【答案】1830
【试题分析】由 得，
，
即 ，也有 ，两式相
加得 ，设 为整数，
则 ，
于是
【考点分析】本题考查等差数列的前 N 项和公式及对（-1）n 处理。涉及转化思想，对推理
运算能力要求较高，难度属较难。
文科（12）数列{ }满足 ，则{ }的前 60 项和为
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
【考点分析】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题.
【试题分析】【法 1】有题设知
=1，① =3 ② =5 ③ =7， =9，
=11， =13， =15， =17， =19， ，
……
∴②－①得 =2，③+②得 =8，同理可得 =2， =24，
=2， =40，…，
∴ ， ， ， … ， 是 各 项 均 为 2 的 常 数 列 ， ， ，
，…是首项为 8，公差为 16 的等差数列，
∴{ }的前 60 项和为 =1830.
【法 2】可证明：
文科(14)等比数列{ }的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0 ，则公比 =_______
na 1 ( 1) 2 1n
n na a n+ + − = − na
2 1a a− 3 2a a+ 4 3a a− 5 4a a+ 6 5a a−
7 6a a+ 8 7a a− 9 8a a+ 10 9a a− 11 10a a+ 12 11 21a a− =
1 3a a+ 4 2a a+ 5 7a a+ 6 8a a+ 9 11a a+
10 12a a+
1 3a a+ 5 7a a+ 9 11a a+ 2 4a a+ 6 8a a+
10 12a a+
na 115 2 15 8 16 15 142
× + × + × × ×
1 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 2 4 16 16n n n n n n n n n nb a a a a a a a a b+ + + + + − − −= + + + = + + + + = +
1 1 2 3 4 15
15 1410 10 15 16 18302b a a a a S
×= + + + = ⇒ = × + × =
na q
{ }na 1 ( 1) 2 1n
n na a n+ + − = − { }na 60
12)1(1 −=−++ naa n
n
n
12]12)1[()1(12)1( 1
12 ++−+−−=++−= −
++ nnanaa n
nn
n
n
n
12)12()1( ++−−+−= nna n
n
1212)1(2 ++−−=++ nnaa n
nn ）（ 3212)1(13 +++−−=+ ++ nnaa n
nn ）（
44)1(2321 ++−−=+++ +++ naaaa n
nnnn k
10`164)14(4)1(2 14
44342414 +=+++−−=+++ +
++++ kkaaaa k
kkkk
1830)10`16()(
14
0
44342414
14
0
60 =+=+++= ∑∑
=
++++
=
kaaaaS
K
kkkk
K
【试题分析】当 =1 时， = ， = ，由 S3+3S2=0 得， =0，∴ =0 与{ }是
等比数列矛盾，故 ≠1，由 S3+3S2=0 得， ，解得 =－2.
【考点分析】本题主要考查等比数列通项公式和前 n 项和公式，简单题.
大纲卷.
理科【2012 高考全国卷大纲理 5】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5=5，S5=15，则数
列 的前 100 项和为( )(A) (B) (C) (D)
【 试 题 分 析 】 由 , 得 ， 所 以 ， 所 以
， 又
，选 A.
文科 6．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则
A． B． C． D．
【试题分析】由 可知，当 时得
当 时，有 ① ②
①－②可得 即 ，故该数列是从第二项起以 为首项，以 为公
比的等比数列，故数列通项公式为 ，
故当 时，
当 时， ，故选答案 B
【考点分析】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。
文科 18． 已知数列 中， ，前 项和 ．
q 3S 13a 2S 12a 19a 1a na
q
3 2
1 1(1 ) 3 (1 ) 01 1
a q a q
q q
− −+ =− − q
{ }na n nS 1 1a = 12n nS a += nS =
12n−
13
2
n−
12
3
n−
1
1
2n−
12n nS a += 1n = 2 1
1 1
2 2a S= =
2n ≥ 12n nS a += 1 2n nS a− =
12 2n n na a a+= − 1
3
2n na a+ = 1
2
3
2
2
1
1 3( )2 2
n n
a −
=
( 1)
( 2)
n
n
=
≥
2n ≥
1
1
1 3(1 ( ) ) 32 21 ( )3 21 2
n
n
nS
−
−
−
= + =
−
1n = 1 1
1
31 ( )2S −= =
{ }na 1 1a = n 2
3n n
nS a
+=
1
1
+nn aa
100
101
99
101
99
100
101
100
15,5 55 == Sa 1,11 == da nnan =−+= )1(1
1
11
)1(
11
1 +−=+=
+ nnnnaa nn
101
100
101
11101
1
100
1
3
1
2
1
2
1
1
111
10110021
=−=−++−+−=+ aaaa
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的通项公式．
【试题分析】（1）由 与 可得
，
故所求 的值分别为 。
（2）当 时， ① ②
①－②可得 即
故有
而 ，所以 的通项公式为
【考点分析】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用。
【点评】试题出题比较直接，没有什么隐含的条件，只要充分发挥利用通项公式和前 项和
的关系式变形就可以得到结论。
●2011 年理科
课标 1 理科（17）等比数列 的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 求数列 的前 n 项和.
【试题分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由 得 所以 。
由条件可知 a>0,故 。由 得 ，所以 。
故数列{an}的通项式为 an= 。
2 3,a a
{ }na
1 1a = 2
3n n
nS a
+=
2 2 1 2 2 1
2 2 3 33S a a a a a
+= = + ⇒ = =
3 3 1 2 3 3 1 2 3
3 2 2 4 63 3S a a a a a a a a
+= = + + ⇒ = + = ⇒ =
2 3,a a 3,6
2n ≥ 2
3n n
nS a
+= 1 1
1
3n n
nS a− −
+=
1 1
2 1
3 3n n n n
n nS S a a− −
+ +− = −
1 1
1
2 1 1 1 1
3 3 3 3 1
n
n n n n n
n
an n n n na a a a a a n− −
−
+ + − + += − ⇔ = ⇔ = −
2
1 2
1
1 2 1
1 3 11 2 1 2
n n
n
n n
a a a n n n na aa a a n n
−
− −
+ += × × × × = × × × × =− −
2
1
1 1 12 a
+ = = { }na
2
2n
n na
+=
n
{ }na 2
1 2 3 2 62 3 1, 9 .a a a a a+ = =
{ }na
3 1 3 2 3log log ...... log ,n nb a a a= + + + 1
nb
2
3 2 69a a a= 3 2
3 49a a= 2 1
9q =
1
3q = 1 22 3 1a a+ = 1 22 3 1a a q+ = 1
1
3a =
1
3n
（Ⅱ ）
故
所以数列 的前 n 项和为
课标 1 文科
(6)设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.
【试题分析】解法一
，解得 .
解法二: ，解得 .
课标 1 文科
(17)设等比数列 的前 n 项和为 .已知 求 和 .
【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于 a1 和公比 q 的方程，求出 a1 和
q，然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可。
【试题分析】设 的公比为 q,由题设得
…………………………………3 分
解得 或 ， …………………………………6 分
当 时， ；
当 时， ……………………………10 分
课标 2 理科
理科 4. 解：设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，
则 ( ) （A）8 （B）7 （C）6 （D）5
3 1 3 2 3 nlog log ... lognb a a a= + + +
(1 2 ... )
( 1)
2
n
n n
= − + + +
+= −
1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n
= − = − −+ +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2... 2((1 ) ( ) ... ( ))2 2 3 1 1n
n
b b b n n n
+ + + = − − + − + + − = −+ +
1{ }
nb
2
1
n
n
− +
nS { }na n 1 1a = 2d = 2 24k kS S+ − = k =
2
( 2)( 1) ( 1)[( 2) 1 2] [ 1 2] 4 4 242 2k k
k k k kS S k k k+
+ + −− = + × + × − × + × = + = 5k =
2 2 1 [1 ( 1) 2] (1 2) 4 4 24k k k kS S a a k k k+ + +− = + = + + × + + × = + = 5k =
{ }na nS 2 6,a = 1 36 30,a a+ = na nS
{ }na
1
1 1
6
6 30
a q
a a q
=
+ =
1 3
2
a
q
=
=
1 2
3
a
q
=
=
1 3, 2a q= = 13 2 , 3 (2 1)n n
n na S−= × = × −
1 2, 3a q= = 12 3 , 3 1n n
n na S−= × = −
nS { }na n 1 1a = 2d = 2 24k kS S+ − =
k =
【答案】D 文科第 6 题
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.
【试题分析】解法一
，解得 .
解法二: ，解得 .
【思路点拨】思路一：直接利用前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可。
思路二：利用 直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【试题分析】 = = =
故选 D。
课标 2 理科
(20)设数列 满足 且 .
求 的通项公式；
(Ⅱ)设 .
【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明，
考查考生分析问题、解决问题的能力.
【试题分析】(Ⅰ)由题设 ,即 是公差为 1 的等差数列.
又 ,故 .所以 ………5 分#
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得 ,
……………12 分
【点评】2011 年高考数学全国卷将数列题由去年的第 18 题后移,一改往年的将数列结合不
等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本
方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.
估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、
数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.
课标 2 文科
(17) 设等比数列 的前 n 项和为 ,已知 求 和 .
2
( 2)( 1) ( 1)[( 2) 1 2] [ 1 2] 4 4 242 2k k
k k k kS S k k k+
+ + −− = + × + × − × + × = + = 5k =
2 2 1 [1 ( 1) 2] (1 2) 4 4 24k k k kS S a a k k k+ + +− = + = + + × + + × = + = 5k =
2 2 1k k k kS S a a+ + +− = +
2k kS S+ − 2 1k ka a+ ++ 1 1( 2 1) ( 1 1)a k d a k d+ + − + + + − 12 (2 1)a k d+ +
2 1 (2 1) 2 4 4 24 5k k k= × + + × = + = ⇒ =
{ }na 1 0a =
1
1 1 11 1n na a+
− =− −
{ }na
1
1
1 , , 1
n
n
n n k n
k
ab b S
n
+
=
−= = <∑记S 证明：
1
1 1 11 1n na a+
− =− −
1
1 na−｛ ｝
1
1 =11 a−
1 =1 n
na−
11na n
= −
11 n
n
ab
n
+−= 1
1
n n
n n
+ −=
+
1 1
1n n
= −
+
1 1
1 1 1( ) 1 1
1 1
n n
n k
k k
S b
k k n= =
= = − = − <
+ +∑ ∑
{ }na nS 2 6,a = 1 36 30,a a+ = na nS
【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于 a1 和公比 q 的方程，求出 a1 和
q，然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可。
【试题分析】设 的公比为 q,由题设得
解得 或 ，
当 时，
当 时， .
●2010 年
（4）已知各项均为正数的等比数列{ }， =5， =10，则 =( ).
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化
等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
【试题分析】由等比数列的性质知
， 10,所以 ,
所以
（22）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知数列 中， .
（Ⅰ）设 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式 成立的 的取值范围 .
【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础
知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透
了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.
{ }nb
1 3n na a +< < c
{ }na 1
1 1
6
6 30
a q
a a q
=
+ =
1 3
2
a
q
=
=
1 2
3
a
q
=
=
1 3, 2a q= = 13 2 , 3 (2 1)n n
n na S−= × = × −
1 2, 3a q= = 12 3 , 3 1n n
n na S−= × = −
na 1 2 3a a a 7 8 9a a a 4 5 6a a a
5 2 4 2
3
1 2 3 1 3 2 2( ) 5a a a a a a a= = =
3
7 8 9 7 9 8 8( )a a a a a a a= = =
1
3
2 8 50a a =
1
3 3 36
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