2019届高考数学一轮复习 第4讲 函数及其表示学案（无答案）文 7页

第四讲 函数及其表示 学习 目标 ‎1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．‎ ‎2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．‎ ‎3．了解简单的分段函数，并能简单应用． ‎ 学习 疑问 ‎ ‎ 学习 建议 ‎ ‎ ‎【相关知识点回顾】‎ ‎【预学能掌握的内容】1.函数与映射的概念 函数 映射 两集合A，B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射 ‎2.函数 ‎(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．‎ ‎(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．‎ ‎(3)函数的表示法：解析法、图像法、列表法．‎ ‎(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．‎ ‎3.分段函数 7‎ 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．‎ 夯实双基:‎ ‎1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．‎ ‎(1)f(x)＝＋是一个函数．‎ ‎(2)A＝R，B＝R，f：x→y＝，表示从集合A到集合B的映射(也是函数)‎ ‎(3)函数f(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．‎ ‎(4)y＝2x(x∈{1，2})的值域是2，4.‎ ‎(5)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．‎ ‎(6)f(x)＝则f(－x)＝ ‎2．已知f(x＋1)＝x2－1，则f(x)＝________．‎ ‎3.函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．‎ ‎4．(2016·北京改编)设函数f(x)＝且f(－2)＝2，则f(f(－1))＝________．‎ 7‎ ‎【探究点一】函数与映射的概念 ‎〖典例解析〗‎ 例1.(1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？‎ ‎①A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.‎ ‎②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x.‎ ‎③A＝N，B＝Q，f：x→y＝.‎ ‎④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆．‎ ‎(2)已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：‎ ‎①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的个数是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎〖概括小结〗映射与函数的含义 ‎(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．‎ ‎(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．‎ ‎(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余．‎ ‎〖课堂检测〗　‎ ‎(1)下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是______．‎ 7‎ ‎(2)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是(　　)‎ A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝ 例2.以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？‎ ‎(1)f1：y＝；f2：y＝1；f3：y＝x0.‎ ‎(2)f1：y＝；f2：y＝()2；f3：y＝　 ‎(3)f1：y＝ ‎ 判断两个函数是否相同的方法 ‎(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．‎ ‎(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．‎ 下列四组函数中，表示同一函数的是________．‎ ‎①f(x)＝x－1与g(x)＝ ‎②f(x)＝lgx2与g(x)＝2lgx 7‎ ‎③f(x)＝x＋2，x∈R与g(x)＝x＋2，x∈Z ‎④f(u)＝与f(v)＝ ‎⑤y＝f(x)与y＝f(x＋1)‎ ‎【探究点二】函数的解析式 ‎〖典例解析〗‎ 例3.求下列函数的解析式：‎ ‎(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；‎ ‎(2)已知f(x2＋)＝x4＋，求f(x)的解析式；‎ ‎(3)已知f(x)是一次函数且‎3f(x＋1)－‎2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；‎ ‎(4)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足‎2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式．‎ ‎〖概括小结〗函数解析式的求法 ‎(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．‎ ‎(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．‎ ‎(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．‎ ‎(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．‎ ‎〖课堂检测〗(1)已知f(＋1)＝，求f(x)的解析式．‎ ‎(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝‎2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，当－1≤x≤0时，求f(x)解析式．‎ ‎(3)已知f(x)＋‎2f()＝x(x≠0)，求f(x)．‎ ‎【探究点三】分段函数与复合函数 ‎〖典例解析〗例4.(1)已知函数f(x)＝g(x)＝x＋1，则：①g[f(x)]＝________；②f[g(x)]＝________．‎ ‎(2)(2017·邯郸摸底)已知函数f(x)＝ 7‎ 则使得f(x)≤5成立的x的取值范围是________．‎ ‎〖概括小结〗分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化．‎ ‎〖课堂检测〗(1)(2015·陕西改编)设f(x)＝则f(f(－2))＝________．‎ ‎(2)已知f(x)＝若f(f(－1))＝，则a＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C．1 D．2‎ 7‎ ‎【层次一】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x1，x2，都有f(x1)＋f(x2)＝‎2f()f()，f(π)＝－1，则f(0)＝________．‎ ‎【层次二】已知偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈R恒有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2x1x2＋1，则函数f(x)的解析式为________．‎ ‎ ‎ 常用结论记心中，快速解题特轻松：‎ ‎1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！‎ ‎2．函数问题定义域优先！‎ ‎3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！‎ ‎4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．‎ 本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素，分段函数，函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)，一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面，也要教给学生把握复习的尺度，教学大纲是高考命题的依据，而教材是贯彻大纲的载体，研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．‎ ‎ ‎ ‎【思维导图】（学生自我绘制）‎ 7‎