2010高考理科数学试题及答案新课标 13页

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第（22）-（24） 题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上 的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号， 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。 5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 参考公式： 样本数据 nxxx ,, 21 的标准差 锥体体积公式 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        1 3V Sh 其中 x 为样本平均数 其中 S 为底面面积， h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。 k.Com] V Sh 24S R 34 3V R 其中 S 为底面面积， h 为高 其中 R 为球的半径 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合 {| | 2, }A x x R   }, { | 4, }B x x x Z   ,则 A B  (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数 2 3 (1 3 ) iz i   ， z 是 z 的共轭复数，则 z z = A. 1 4 B. 1 2 C.1 D.2 (3)曲线 2 xy x   在点（-1，-1）处的切线方程为 （A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 (4)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（ 2 ，- 2 ），角速度 为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 （5）已知命题 1p ：函数 2 2x xy   在 R 为增函数， 2p ：函数 2 2x xy   在 R 为减函数， 则在命题 1q ： 1 2p p ， 2q ： 1 2p p ， 3q ：  1 2p p  和 4q ：  1 2p p  中，真命 题是 （A） 1q ， 3q （B） 2q ， 3q （C） 1q ， 4q （D） 2q ， 4q （6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需 再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为 （A）100 （B）200 （C）300 （D）400 （7）如果执行右面的框图，输入 5N  ，则输出的数等于 （A） 5 4 （B） 4 5 （C） 6 5 （D） 5 6 （8）设偶函数 ( )f x 满足 3( ) 8( 0)f x x x   ，则{ | ( 2) 0}x f x    (A) { | 2 4}x x x  或 (B) { | 0 4}x x x 或 (C) { | 0 6}x x x 或 (D) { | 2 2}x x x  或 （9）若 4cos 5    ， 是第三象限的角，则 1 tan 2 1 tan 2      (A) 1 2  (B) 1 2 (C) 2 (D) -2 （10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为 (A) 2a (B) 27 3 a (C) 211 3 a (D) 25 a （11）已知函数 | lg |,0 10, ( ) 1 6, 10.2 x x f x x x       若 , ,a b c 互不相等，且 ( ) ( ) ( ),f a f b f c  则 abc 的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24) （12）已知双曲线 E 的中心为原点， (3,0)P 是 E 的焦点，过 F 的直线l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 ( 12, 15)N   ,则 E 的方程式为 (A) 2 2 13 6 x y  (B) 2 2 14 5 x y  (C) 2 2 16 3 x y  (D) 2 2 15 4 x y  第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）设 ( )y f x 为区间[0,1] 上的连续函数，且恒有 0 ( ) 1f x  ，可以用随机模拟方法 近似计算积分 1 0 ( )f x dx ，先产生两组（每组 N 个）区间[0,1] 上的均匀随机数 1 2, , Nx x x… 和 1 2, , Ny y y… ， 由 此 得 到 N 个 点 1 1( , )( 1,2, )x y i N …, ， 再 数 出 其 中 满 足 1 1( )( 1,2, )y f x i N  …, 的点数 1N ，那么由随机模拟方案可得积分 1 0 ( )f x dx 的近似值 为 。 （14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种） （15）过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B（2,1），则圆 C 的方程为____ (16)在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD= 1 2 DC，  ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面 积为3 3 ，则  BAC=_______ 三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 （17）（本小题满分 12 分） 设数列 na 满足 2 1 1 12, 3 2 n n na a a      （1） 求数列 na 的通项公式； （2） 令 n nb na ，求数列的前 n 项和 nS (18)（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形， AB CD,AC  BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ， E 为 AD 中点 （1） 证明：PE  BC （2） 若  APB=  ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 (19)(本小题 12 分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老 年人，结果如下： 是否需要志愿 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2） 能否有 99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的 老年人的比例？说明理由 附： （20）（本小题满分 12 分） 设 1 2,F F 分别是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     的左、右焦点，过 1F 斜率为 1 的直线i 与 E 相交于 ,A B 两点，且 2 2, ,AF AB BF 成等差数列。 （1）求 E 的离心率； （2） 设点 (0, 1)p  满足 PA PB ，求 E 的方程 （21）（本小题满分 12 分） 设函数 2( ) 1xf x e x ax    。 （1） 若 0a  ，求 ( )f x 的单调区间； （2） 若当 0x  时 ( ) 0f x  ，求 a 的取值范围 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，已经圆上的弧 ，过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： （Ⅰ）∠ACE=∠BCD； （Ⅱ）BC2=BF×CD。 （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 C1 x 1 t cos siny t       （t 为参数），C2 x cos siny      （ 为参数）， （Ⅰ）当 = 3  时，求 C1 与 C2 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 ，P 为 OA 中点，当 变化时，求 P 点的轨迹的 参数方程，并指出它是什么曲线。 （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5，不等式选项 设函数 ( ) 2 4 1f x x l   （Ⅰ）画出函数 ( )y f x 的图像 （Ⅱ）若不等式 ( )f x ≤ ax 的解集非空，求 a 的取值范围。 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 （1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B （7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B 二、填空题 （13） 1N N （14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） （15） 2 2( 3) 2x y   （16）60° 三、解答题 （17）解： （Ⅰ）由已知，当 n≥1 时， 1 1 1 2 1 1[( ) ( ) ( )]n n n n na a a a a a a a          2 1 2 33(2 2 2) 2n n      2( 1) 12 n  。 而  EMBED Equation.DSMT4 1 2,a  所以数列{ na }的通项公式为 2 12 n na  。 （Ⅱ）由 2 12 n n nb na n    知 3 5 2 11 2 2 2 3 2 2 n nS n          ① 从而 2 3 5 7 2 12 1 2 2 2 3 2 2 n nS n           ② ①-②得 2 3 5 2 1 2 1(1 2 ) 2 2 2 2 2n n nS n          。 即 2 11[(3 1)2 2]9 n nS n    （18）解： 以 H 为原点， , ,HA HB HP 分别为 , ,x y z 轴，线段 HA 的长为单位长， 建立空间直角坐 标系如图， 则 (1,0,0), (0,1,0)A B （Ⅰ）设 ( ,0,0), (0,0, )( 0, 0)C m P n m n  则 1(0, ,0), ( , ,0).2 2 mD m E 可得 1( , , ), ( , 1,0).2 2 mPE n BC m    因为 0 02 2 m mPE BC     所以 PE BC （Ⅱ）由已知条件可得 3 3, 1,3 3m n C   故 ( ,0,0) 3 1 3(0, ,0), ( , ,0), (0,0,1)3 2 6D E P  设 ( , , )n x y x 为平面 PEH 的法向量 则 , , n HE o n HP o      即 1 3 02 6 0 x y z     因此可以取 (1, 3,0)n  ， 由 (1,0, 1)PA   ， 可得 2cos , 4PA n  所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 2 4 （19）解： （1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要 帮助的老年人的比例的估算值为 70 14%500  （2） 2 2 500 (40 270 30 160) 9.967200 300 70 430K        。 由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该 地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区 老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽 样方法更好． （20.）解： （I）由椭圆定义知 2 2 4AF BF AB a   ，又 2 22 AB AF BF  ， 得 4 3AB a l 的方程为 y x c  ，其中 2 2c a b  。 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 A、B 两点坐标满足方程组 2 2 2 2 1 y x c x y a b     化简的   2 2 2 2 2 2 22 0a b x a cx a c b     则  2 2 22 1 2 1 22 2 2 2 2 , a c ba cx x x xa b a b     因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB   2 2 1 1 2 1 22 2 4x x x x x x      得 2 2 2 4 4 ,3 aba a b   故 2 22a b 所以 E 的离心率 2 2 2 2 c a be a a    （II）设 AB 的中点为  0 0,N x y ，由（I）知 2 1 2 0 2 2 2 2 3 x x a cx ca b      ， 0 0 3 cy x c   。 由 PA PB ，得 1PNk   ， 即 0 0 1 1y x    得 3c  ，从而 3 2, 3a b  故椭圆 E 的方程为 2 2 118 9 x y  。 （21）解： （1） 0a  时， ( ) 1xf x e x   ， '( ) 1xf x e  . 当 ( ,0)x  时， '( ) 0f x  ；当 (0, )x  时， '( ) 0f x  .故 ( )f x 在 ( ,0) 单调减 少，在 (0, ) 单调增加 （II） '( ) 1 2xf x e ax   由（I）知 1xe x  ，当且仅当 0x  时等号成立.故 '( ) 2 (1 2 )f x x ax a x    ， 从而当1 2 0a  ，即 1 2a  时， '( ) 0 ( 0)f x x  ，而 (0) 0f  ， 于是当 0x  时， ( ) 0f x  . 由 1 ( 0)xe x x   可得 1 ( 0)xe x x    .从而当 1 2a  时， '( ) 1 2 ( 1) ( 1)( 2 )x x x x xf x e a e e e e a        ， 故当 (0,ln 2 )x a 时， '( ) 0f x  ，而 (0) 0f  ，于是当 (0,ln 2 )x a 时， ( ) 0f x  . 综合得 a 的取值范围为 1( , ]2  . （22）解： （I）因为  AC BC , 所以 BCD ABC   . 又因为 EC 与圆相切于点 C ，故 ACE ABC   ， 所以 ACE BCD   . （II）因为 ,ECB CDB EBC BCD      , 所以 BDC ∽ ECB ，故 BC CD BE BC  ， 即 2BC BE CD  . (23)解： （Ⅰ）当 3   时， 1C 的普通方程为 3( 1)y x  ， 2C 的普通方程为 2 2 1x y  。联立 方程组 2 2 3( 1) 1 y x x y      ，解得 1C 与 2C 的交点为（1,0） 1 3 2 2      ， 。 （Ⅱ） 1C 的普通方程为 sin cos sin 0x y     。 A 点坐标为 2sin cos sin   ， 故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为：   21 sin2 1 sin cos2 x y          为参数 P 点轨迹的普通方程为 2 21 1 4 16x y      。 故 P 点轨迹是圆心为 1 04      ， ，半径为 1 4 的圆。 （24） 解： （Ⅰ）由于 2 5 2( ) 2 3 x xf x x       ， ，x 2 则函数 ( )y f x 的图像如图所示。 （Ⅱ）由函数 ( )y f x 与函数 y ax 的图像可知，当且仅当 1 2a  或 2a   时，函数 ( )y f x 与函数 y ax 的图像有交点。故不等式 ( )f x ax 的解集非空时， a 的取值范围 为   12 2       ， ， 。