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  • 2021-05-13 发布

高考广东理科数学试题及答案word解析版

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)【2014年广东,理1,5分】已知集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】,故选B.‎ ‎(2)【2014年广东,理2,5分】已知复数满足,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选A. ‎ ‎(3)【2014年广东,理3,5分】若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和,则( )‎ ‎(A)8 (B)7 (C)6 (D)5‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出可行域,易知在点与处目标函数分别取得最大值,与最小值,,故选C.‎ ‎(4)【2014年广东,理4,5分】若实数满足,则曲线与曲线的( )‎ ‎ (A)离心率相等 (B)虚半轴长相等 (C)实半轴长相等 (D)焦距相等 ‎【答案】D ‎【解析】,,,从而两曲线均为双曲线,又,两双曲线的焦距相等,故选D.‎ ‎(5)【2014年广东,理5,5分】已知向量,则下列向量中与成夹角的是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】,即这两向量的夹角余弦值为,从而夹角为,故选A.‎ ‎(6)【2014年广东,理6,5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )‎ ‎(A)200,20 (B)100,20 (C)200,10 (D)100,10‎ ‎【答案】A ‎【解析】样本容量为,抽取的高中生近视人数为:,故选A.‎ ‎(7)【2014年广东,理7,5分】若空间中四条两两不同的直线,满足,,则下列结论一定正确的是( )‎ ‎(A) (B) (C)既不垂直也不平行 (D)的位置关系不确定 ‎【答案】D ‎【解析】平面中的四条直线,,空间中的四条直线,位置关系不确定,故选D.‎ ‎(8)【2014年广东,理8,5分】设集合,那么集合中满足条件 ‎“”的元素个数为( )‎ ‎(A)60 (B)90 (C)120 (D)130‎ ‎【答案】D ‎【解析】可取,和为1的元素个数为:;和为2的元素个数为:;和为3的元素个数为:,故满足条件的元素总的个数为,故选D.‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎(一)必做题(9~13)‎ ‎(9)【2014年广东,理9,5分】不等式的解集为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】数轴上到1与距离之和为5的数为和2,故该不等式的解集为:.‎ ‎(10)【2014年广东,理10,5分】曲线在点处的切线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,所求切线方程为,即.‎ ‎(11)【2014年广东,理11】,5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使6为取出的7个数中的中位数,则取出的数中必有3个不大于6,另外3个不小于6,故所求概率为.‎ ‎(12)【2014年广东,理12,5分】在中,角所对应的边分别为,已知,‎ 则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】解法一:由射影定理知,从而,.‎ ‎ 解法二:由上弦定理得:,即,,即,.‎ ‎ 解法三:由余弦定理得:,即,,即.‎ ‎(13)【2014年广东,理13,5分】若等比数列的各项均为正数,且,则 .‎ ‎【答案】50‎ ‎【解析】,,设,则,‎ ‎,.‎ ‎(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎(14)【2014年广东,理14,5分】(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线和的方程分别为和,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线和的交点的直角坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】即,故其直角坐标方程为:,的直角坐标系方程为:,与的交点的直角坐标为.‎ ‎(15)【2014年广东,理15,5分】(几何证明选讲选做题)如图3,在平行四边形中,点在上且,与交于点,则 .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】显然,.‎ ‎ 三、解答题:本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(16)【2014年广东,理16,12分】已知函数,且. ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,,求.‎ 解:(1),.‎ ‎ (2)由(1)得:,‎ ‎,‎ ‎,,,‎ ‎.‎ ‎(17)【2014年广东,理17,12分】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:‎ ‎30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.‎ 根据上述数据得到样本的频率分布表如下:‎ 分组 频数 频率 ‎3‎ ‎0.12‎ ‎5‎ ‎0.20‎ ‎8‎ ‎0.32‎ ‎(1)确定样本频率分布表中和的值;‎ ‎(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间的概率.‎ 解:(1),,,.‎ ‎(2)频率分布直方图如下所示:‎ ‎(3)根据频率分布直方图,可得工人们日加工零件数落在区间的概率为,设日加工零件数落在区 间的人数为随机变量,则,故4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间 的概率为:.‎ ‎(18)【2014年广东,理18,14分】如图4,四边形 为正方形,平面,‎ ‎,于点,,交于点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ 解:(1)平面,,平面平面,平面平面,‎ 平面,,平面,平面,,又 ‎,,平面,,平面.‎ ‎(2)解法一:‎ 过作交于,平面,平面,过作于,连 ‎ 则为二面角的平面角,设,,,从而,‎ ‎,,,即,,还易求得,,从而 ‎,易得,,,,‎ 故,.‎ 解法二:分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,设,则,,‎ ‎,设,则,,可得,从而,易得 ‎,取面的一个法向量为,设面的一个法向量为,‎ 利用,且,得可以是,从而二面角的余弦值为.‎ ‎(19)【2014年广东,理19,14分】设数列的前和为,满足,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式.‎ 解:(1) ‎ ‎, ‎ ‎ 联立解得,,综上,,.‎ ‎(2) 当时, ‎ ‎ 并整理得:,由(1)猜想,以下用数学归纳法证明:‎ ‎ (ⅰ)由(1)知,当时,,猜想成立;‎ ‎ (ⅱ)假设当时,猜想成立,即,则当时,‎ ‎,‎ ‎ 这就是说时,猜想也成立,从而对一切,.‎ ‎(20)【2014年广东,理20,14分】已知椭圆的一个焦点为,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程.‎ 解:(1),,,,椭圆的标准方程为:.‎ ‎(2)若一切线垂直轴,则另一切线垂直于轴,则这样的点共4个,它们的坐标分别为,.‎ 若两切线不垂直与坐标轴,设切线方程为,即,将之代入椭圆方程 中并整理得:,依题意,,‎ 即,即,‎ ‎,两切线相互垂直,,即,,‎ 显然,这四点也满足以上方程,点的轨迹方程为.‎ ‎(21)【2014年广东,理21,14分】设函数,其中.‎ ‎(1)求函数的定义域(用区间表示);‎ ‎(2)讨论在区间上的单调性;‎ ‎(3)若,求上满足条件的的集合(用区间表示).‎ 解:(1),则 或 ‎ ‎ 由得:,,‎ ‎ 方程的解为,由得或,‎ ‎ 由得,方程的判别式,‎ ‎ 该方程的解为,由得.‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎(2)设,‎ 则 ,‎ ‎(ⅰ)当时,,,;‎ ‎(ⅱ)当时,,,;‎ ‎(ⅲ)当时,,,;‎ ‎(ⅳ)当时,,,.‎ 综上,在上的单调增区间为:,‎ ‎ 在上的单调减区间为:.‎ ‎(3)设,由(1)知,当时,;‎ ‎ 又,显然,当时,,‎ ‎ 从而不等式,‎ ‎,,‎ ‎(ⅰ)当时,,欲使,即,‎ ‎ 亦即,即;‎ ‎(ⅱ)时,,,‎ 此时,即;‎ ‎ (ⅲ)时,,不合题意;‎ ‎ (ⅳ)时,,,,‎ ‎ 不合题意;‎ ‎(ⅴ)时,,欲使,则,‎ ‎ 即,从而.‎ ‎ 综上所述,的解集为:‎ ‎.‎