- 680.78 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)【2014年广东,理1,5分】已知集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】,故选B.
(2)【2014年广东,理2,5分】已知复数满足,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】,故选A.
(3)【2014年广东,理3,5分】若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和,则( )
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5
【答案】C
【解析】画出可行域,易知在点与处目标函数分别取得最大值,与最小值,,故选C.
(4)【2014年广东,理4,5分】若实数满足,则曲线与曲线的( )
(A)离心率相等 (B)虚半轴长相等 (C)实半轴长相等 (D)焦距相等
【答案】D
【解析】,,,从而两曲线均为双曲线,又,两双曲线的焦距相等,故选D.
(5)【2014年广东,理5,5分】已知向量,则下列向量中与成夹角的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】,即这两向量的夹角余弦值为,从而夹角为,故选A.
(6)【2014年广东,理6,5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
(A)200,20 (B)100,20 (C)200,10 (D)100,10
【答案】A
【解析】样本容量为,抽取的高中生近视人数为:,故选A.
(7)【2014年广东,理7,5分】若空间中四条两两不同的直线,满足,,则下列结论一定正确的是( )
(A) (B) (C)既不垂直也不平行 (D)的位置关系不确定
【答案】D
【解析】平面中的四条直线,,空间中的四条直线,位置关系不确定,故选D.
(8)【2014年广东,理8,5分】设集合,那么集合中满足条件
“”的元素个数为( )
(A)60 (B)90 (C)120 (D)130
【答案】D
【解析】可取,和为1的元素个数为:;和为2的元素个数为:;和为3的元素个数为:,故满足条件的元素总的个数为,故选D.
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13)
(9)【2014年广东,理9,5分】不等式的解集为 .
【答案】
【解析】数轴上到1与距离之和为5的数为和2,故该不等式的解集为:.
(10)【2014年广东,理10,5分】曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】,,所求切线方程为,即.
(11)【2014年广东,理11】,5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .
【答案】
【解析】要使6为取出的7个数中的中位数,则取出的数中必有3个不大于6,另外3个不小于6,故所求概率为.
(12)【2014年广东,理12,5分】在中,角所对应的边分别为,已知,
则 .
【答案】2
【解析】解法一:由射影定理知,从而,.
解法二:由上弦定理得:,即,,即,.
解法三:由余弦定理得:,即,,即.
(13)【2014年广东,理13,5分】若等比数列的各项均为正数,且,则 .
【答案】50
【解析】,,设,则,
,.
(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)
(14)【2014年广东,理14,5分】(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线和的方程分别为和,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线和的交点的直角坐标为 .
【答案】
【解析】即,故其直角坐标方程为:,的直角坐标系方程为:,与的交点的直角坐标为.
(15)【2014年广东,理15,5分】(几何证明选讲选做题)如图3,在平行四边形中,点在上且,与交于点,则 .
【答案】9
【解析】显然,.
三、解答题:本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(16)【2014年广东,理16,12分】已知函数,且.
(1)求的值;
(2)若,,求.
解:(1),.
(2)由(1)得:,
,
,,,
.
(17)【2014年广东,理17,12分】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
分组
频数
频率
3
0.12
5
0.20
8
0.32
(1)确定样本频率分布表中和的值;
(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;
(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间的概率.
解:(1),,,.
(2)频率分布直方图如下所示:
(3)根据频率分布直方图,可得工人们日加工零件数落在区间的概率为,设日加工零件数落在区
间的人数为随机变量,则,故4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间
的概率为:.
(18)【2014年广东,理18,14分】如图4,四边形 为正方形,平面,
,于点,,交于点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
解:(1)平面,,平面平面,平面平面,
平面,,平面,平面,,又
,,平面,,平面.
(2)解法一:
过作交于,平面,平面,过作于,连
则为二面角的平面角,设,,,从而,
,,,即,,还易求得,,从而
,易得,,,,
故,.
解法二:分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,设,则,,
,设,则,,可得,从而,易得
,取面的一个法向量为,设面的一个法向量为,
利用,且,得可以是,从而二面角的余弦值为.
(19)【2014年广东,理19,14分】设数列的前和为,满足,且.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式.
解:(1)
,
联立解得,,综上,,.
(2) 当时,
并整理得:,由(1)猜想,以下用数学归纳法证明:
(ⅰ)由(1)知,当时,,猜想成立;
(ⅱ)假设当时,猜想成立,即,则当时,
,
这就是说时,猜想也成立,从而对一切,.
(20)【2014年广东,理20,14分】已知椭圆的一个焦点为,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程.
解:(1),,,,椭圆的标准方程为:.
(2)若一切线垂直轴,则另一切线垂直于轴,则这样的点共4个,它们的坐标分别为,.
若两切线不垂直与坐标轴,设切线方程为,即,将之代入椭圆方程
中并整理得:,依题意,,
即,即,
,两切线相互垂直,,即,,
显然,这四点也满足以上方程,点的轨迹方程为.
(21)【2014年广东,理21,14分】设函数,其中.
(1)求函数的定义域(用区间表示);
(2)讨论在区间上的单调性;
(3)若,求上满足条件的的集合(用区间表示).
解:(1),则 或
由得:,,
方程的解为,由得或,
由得,方程的判别式,
该方程的解为,由得.
,,
.
(2)设,
则 ,
(ⅰ)当时,,,;
(ⅱ)当时,,,;
(ⅲ)当时,,,;
(ⅳ)当时,,,.
综上,在上的单调增区间为:,
在上的单调减区间为:.
(3)设,由(1)知,当时,;
又,显然,当时,,
从而不等式,
,,
(ⅰ)当时,,欲使,即,
亦即,即;
(ⅱ)时,,,
此时,即;
(ⅲ)时,,不合题意;
(ⅳ)时,,,,
不合题意;
(ⅴ)时,,欲使,则,
即,从而.
综上所述,的解集为:
.