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高考数学答题模板可以让你拿高分 模板1　三角函数的性质问题 例1　已知函数f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin 2x. ‎ ‎(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；‎ ‎(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．‎ 审题破题　(1)由x＝x0是y＝f(x)的对称轴可得g(x0)取到f(x)的最值；(2)将h(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式．‎ 解　(1)f(x)＝，‎ 因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，‎ 所以2x0＋＝kπ (k∈Z)，‎ 即2x0＝kπ－ (k∈Z)．‎ 所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin，k∈Z.‎ 当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin＝1－＝.‎ 当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin ＝1＋＝.‎ ‎(2)h(x)＝f(x)＋g(x)‎ ‎＝[1＋cos]＋1＋sin 2x ‎＝＋ ‎＝sin＋.‎ 当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)，‎ 即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，‎ 函数h(x)＝sin＋是增函数．‎ 故函数h(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．‎ 第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、‎ 一次、一函数”的形式；‎ 第二步：由y＝sin x、y＝cos x的性质，将ωx＋φ看做一个整体，解不等式，求角的 范围或函数值的范围；‎ 第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；‎ 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．‎ 跟踪训练1　已知函数f(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin xcos x＋1.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数f(x)的最大值及最小值；‎ ‎(3)写出函数f(x)的单调递增区间．‎ 解　f(x)＝2cos x－sin2x＋sin x·cos x＋1‎ ‎＝2sin xcos x＋(cos2x－sin2x)＋1‎ ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1‎ ‎＝2sin＋1.‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期为＝π.‎ ‎(2)∵－1≤sin≤1，‎ ‎∴－1≤2sin＋1≤3.‎ ‎∴当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值3；‎ 当2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－1.‎ ‎(3)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．‎ 模板2　三角函数与向量、三角形 例2　在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(tan A－tan B)＝1＋tan A·tan B，又已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，求|3m－2n|的取值范围．‎ 审题破题　由已知A，B关系式化简，利用向量的数量积求出|3m－2n|并化简为一个角的三角函数形式．‎ 解　因为(tan A－tan B)＝1＋tan A·tan B，‎ 所以＝，即tan(A－B)＝，‎ 又△ABC为锐角三角形，则00，且a≠1)的图象上的一点．等比数列{an}的 ‎ 前n项和为f(n)－c.数列{bn} (bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋ (n≥2)．‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？‎ 解　(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.‎ 由题意知，a1＝f(1)－c＝－c，‎ a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，‎ a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.‎ 又数列{an}是等比数列，‎ ‎∴a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1.‎ 又公比q＝＝，∴an＝－·n－1‎ ‎＝－2·n (n∈N*)．‎ ‎∵Sn－Sn－1＝(－)(＋)‎ ‎＝＋ (n≥2)．‎ 又bn>0，>0，∴－＝1.‎ ‎∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，‎ ＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.‎ 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，‎ 当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．‎ ‎∴bn＝2n－1 (n∈N*)．‎ ‎(2)Tn＝＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋ ‎＝×＋×＋×＋…＋× ‎＝×＝.‎ 由Tn＝>，得n>，‎ ‎∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.‎ 模板6　概率与统计问题 例6　某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,‎ ‎140,110,160,220,140,160.‎ ‎(1)完成下列频率分布表：‎ 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．‎ 审题破题　(1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算．‎ 解　(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎(2)由题意知，当X＝70时，Y＝460；‎ X每增加10，Y增加5，‎ 故Y＝460＋5×＝＋425.‎ P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)‎ ‎＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)‎ ‎＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.‎ 第一步：理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表；‎ 第二步：利用互斥事件的概率公式求概率、作答.‎ 跟踪训练6　(2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ ‎(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎6‎ ‎(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评 委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．‎ 解　(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：‎ 由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.‎ 模板7　圆锥曲线的定点问题 例7　已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为－1，离心率为e＝.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使· 为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 审题破题　(1)利用待定系数法求E的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明．‎ 解　(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由已知得解得 所以b2＝a2－c2＝1.‎ 所以椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.‎ ‎①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，‎ 由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，‎ 即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－，‎ 所以·＝－m·＋m2－ ‎＝.‎ 因为对于任意的k值，·为定值，‎ 所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝.‎ 所以M，此时，·＝－.‎ ‎②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，‎ 则x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－，‎ 由m＝，得·＝－.‎ 综上，符合条件的点M存在，且坐标为.‎ 第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是 直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等； 第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程； 第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y－y0＝‎ k(x－x0)的形式，则k∈R时直线恒过定点(x0，y0)；若是动态的曲线方程，将动态的 曲线方程转化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，则λ∈R时曲线恒过的定点即是f(x，‎ y)＝0与g(x，y)＝0的交点； 第四步：下结论； 第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是 以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.‎ 跟踪训练7　已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．‎ ‎(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；‎ ‎(2)设A，B为抛物线上的两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．‎ ‎(1)解　由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，‎ 因为点F到直线l的距离为，所以＝，‎ 解得k＝±，所以直线l的斜率为±.‎ ‎(2)证明　设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB不与x轴垂直，所以AB斜率存在，‎ 所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，‎ 直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，‎ 联立方程得 消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，‎ 所以y1＋y2＝，‎ 因为N为线段AB的中点，‎ 所以＝y0，即＝y0，‎ 所以x0＝2.即线段AB中点的横坐标为定值2.‎ 模板8　圆锥曲线中的范围、最值问题 例8　已知双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．‎ 审题破题　用a，b表示s可得关于a，b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，求e的范围．‎ 解　设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.‎ 由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝，‎ 同理可得点(－1,0)到直线l的距离为d2＝，‎ 于是s＝d1＋d2＝＝.‎ 由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，‎ 可得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，‎ 解得≤e2≤5.‎ 由于e>1，故所求e的取值范围是.‎ 第一步：提取.从题设条件中提取不等关系式； 第二步：解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集； 第三步：下结论.根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参 数的取值范围； 第四步：回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲 线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a，b，c的大小关 系等.‎ 跟踪训练8　椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求m的取值范围．‎ 解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 设c>0，c2＝a2－b2，‎ 由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.‎ 故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，‎ Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)‎ x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为＝3，所以－x1＝3x2，‎ 所以 所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.‎ 所以3·2＋4·＝0.‎ 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，‎ 即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.‎ 当m2＝时，上式不成立；‎ 当m2≠时，k2＝，‎ 由(*)式，得k2>2m2－2，‎ 又k≠0，所以k2＝>0.‎ 解得－10}．‎ f′(x)＝－＋1 (x>0)．‎ 根据题意，有f′(1)＝－2，所以2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝.‎ ‎(2)解　f′(x)＝－＋1＝ ‎＝ (x>0)．‎ ‎①当a>0时，因为x>0，‎ 由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>a；‎ 由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得00，‎ 由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>－2a；‎ 由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得00，使得|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 审题破题　(1)先求出f(x)，再求g(x)，然后讨论g(x)的单调区间，最值；(2)可构造函数h(x)＝g(x)－g，通过g(x)的单调性比较g(x)，g的大小；(3)对任意x>0若不存在x0，只需取一特殊值即可；若存在x0，一般利用最值解决．‎ 解　(1)由题设易知f(x)＝ln x，‎ g(x)＝ln x＋，∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，‎ 当x∈(0,1)时，g′(x)<0，‎ 故(0,1)是g(x)的单调减区间，‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.‎ 故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，‎ 因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，‎ 从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.‎ ‎(2)g＝－ln x＋x，‎ 设h(x)＝g(x)－g＝2ln x－x＋，‎ 则h′(x)＝－，‎ 当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g，‎ 当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，‎ 因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，‎ 当0h(1)＝0，即g(x)>g，‎ 当x>1时，h(x)0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立，即对任意x>0，‎ 有ln x0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立．‎ 第一步：构造函数h(x)＝g(x)－g；‎ 第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h(x)的单调性；‎ 第三步：根据h(x)的单调性比较h(x)和0的大小；‎ 第四步：下结论，反思回顾.‎ 跟踪训练10　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c＋ln x.‎ ‎(1)当a＝b时，若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)设函数f(x)在x＝，x＝1处取得极值，且f(1)＝－1，若对任意的x∈，f(x)≤m恒成立，求m的取值范围．(参考数据：e≈2.7)‎ 解　(1)∵a＝b时，f(x)＝ax2＋ax＋c＋ln x，‎ ‎∴f′(x)＝2ax＋a＋＝ (x>0)．‎ 当a＝0时，f′(x)＝>0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ 当a>0时，∵x>0，∴2ax2＋ax＋1>0，∴f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ 当a<0时，设g(x)＝2ax2＋ax＋1，函数g(x)在上单调递减，且g(0)＝1>0，故在(0，＋∞)上，函数g(x)的符号不确定，即此时f′(x)的符号不确定，∴函数f(x)在 ‎(0，＋ ∞)上不单调．‎ 综上可知，a的取值范围是[0，＋∞)．‎ ‎(2)∵f(x)在x＝，x＝1处取得极值，‎ ‎∴f′(1)＝f′＝0，‎ 即，∴，‎ 即f′(x)＝＝，‎ 且f(x)＝x2－3x＋c＋ln x.‎ 又∵f(1)＝－1，∴1－3＋c＝－1，得c＝1，‎ ‎∴f(x)＝x2－3x＋1＋ln x.‎ ‎∵当x∈时，f′(x)>0，‎ ‎∴函数f(x)在上单调递增；‎ ‎∵当x∈时，f′(x)<0，‎ ‎∴函数f(x)在上单调递减；‎ ‎∵当x∈(1,2]时，f′(x)>0，‎ ‎∴函数f(x)在(1,2]上单调递增．‎ ‎∴f(x)极大值＝f＝－＋1＋ln ＝－－ln 2，‎ 而f(2)＝－1＋ln 2，f(2)－f＝－＋ln 4‎ ‎＝ln 4－ln e ，由于4>e>e ，故f(2)>f，‎ ‎∴f(x)max＝－1＋ln 2，∴m≥－1＋ln 2.‎