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2009年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)i是虚数单位,=( )
A.1+2i B.﹣1﹣2i C.1﹣2i D.﹣1+2i
2.(5分)设变量x,y满足约束条件:,则目标函数z=2x+3y的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.23
3.(5分)命题“存在x0∈R,2x2﹣1≤0”的否定是( )
A.不存在x0∈R,2x02﹣1>0 B.存在x0∈R,2x02﹣1>0
C.对任意的x∈R,2x2﹣1≤0 D.对任意的x∈R,2x2﹣1>0
4.(5分)设函数f(x)=x﹣lnx(x>0),则y=f(x)( )
A.在区间(,1),(l,e)内均有零点
B.在区间(,1),(l,e)内均无零点
C.在区间(,1)内无零点,在区间(l,e)内有零点
D.在区间(,1)内有零点,在区间(l,e)内无零点
5.(5分)阅读程序框图,则输出的S=( )
A.26 B.35 C.40 D.57
6.(5分)设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为( )
A.8 B.4 C.1 D.
7.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
8.(5分)已知函数f(x)=若f(2﹣a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B.(﹣1,2) C.(﹣2,1) D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
9.(5分)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A、B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比=( )
A. B. C. D.
10.(5分)0<b<1+a,若关于x的不等式(x﹣b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个,则( )
A.﹣1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.2<a<3
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
11.(4分)某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取 名学生.
12.(4分)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a= .
13.(4分)设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为 .
14.(4分)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0(a>0)的公共弦的长为,则a= .
15.(4分)在四边形ABCD中,==(1,1),,则四边形ABCD的面积是 .
16.(4分)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答)
三、解答题(共6小题,满分76分)
17.(12分)已知:△ABC中,BC=1,AC=,sinC=2sinA
(1)求AB的值.
(2)求的值.
18.(12分)在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求:
(I)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;
(II)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
19.(12分)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD,
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(2)证明平面AMD⊥平面CDE;
(3)求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.
20.(12分)已知函数f(x)=(x2+ax﹣2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(Ⅰ)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数f(x)的单调区间和极值.
21.(14分)已知椭圆的两个焦点分别为F1(﹣c,0)和F2(c,0)(c>0),过点的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求的值.
22.(14分)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q(q>1).设sn=a1b1+a2b2+…+anbn,Tn=a1b1﹣a2b2+…+(﹣1)n﹣1anbn,n∈N+,
(1)若a1(2)=b1(3)=1,d=2,q=3,求S3的值;
(Ⅱ)若b1(6)=1,证明(1﹣q)S2n﹣(1+q)T2n=,n∈(10)N+;
(Ⅲ)若正数n满足2≤n≤q,设k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的两个不同的排列,c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn,c2=al1b1+al2b2+…+alnbn证明c1≠c2.
2009年天津市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)(2009•天津)i是虚数单位,=( )
A.1+2i B.﹣1﹣2i C.1﹣2i D.﹣1+2i
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简即可.
【解答】解:,
故选D.
2.(5分)(2009•天津)设变量x,y满足约束条件:,则目标函数z=2x+3y的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.23
【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件.画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最小值.
【解答】解:画出不等式.表示的可行域,如图,
让目标函数表示直线在可行域上平移,
知在点B自目标函数取到最小值,
解方程组得(2,1),
所以zmin=4+3=7,
故选B.
3.(5分)(2009•天津)命题“存在x0∈R,2x2﹣1≤0”的否定是( )
A.不存在x0∈R,2x02﹣1>0 B.存在x0∈R,2x02﹣1>0
C.对任意的x∈R,2x2﹣1≤0 D.对任意的x∈R,2x2﹣1>0
【分析】命题的否定只否定结论即可,不要与否命题混淆.
【解答】解:结论的否定形式为:2x2﹣1>0
∴原命题的否定为:D.
故选D.
4.(5分)(2009•天津)设函数f(x)=x﹣lnx(x>0),则y=f(x)( )
A.在区间(,1),(l,e)内均有零点
B.在区间(,1),(l,e)内均无零点
C.在区间(,1)内无零点,在区间(l,e)内有零点
D.在区间(,1)内有零点,在区间(l,e)内无零点
【分析】先对函数f(x)进行求导,再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案.
【解答】解:由题得,令f′(x)>0得x>3;
令f′(x)<0得0<x<3;f′(x)=0得x=3,
故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)为增函数,
在点x=3处有极小值1﹣ln3<0;又,,.
故选C.
5.(5分)(2009•天津)阅读程序框图,则输出的S=( )
A.26 B.35 C.40 D.57
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值.
【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,
再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值
∵S=2+5+8+…+14=40.
故选C.
6.(5分)(2009•天津)设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为( )
A.8 B.4 C.1 D.
【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1,代入中,将其变为2+,利用基本不等式就可得出其最小值
【解答】解:因为3a•3b=3,所以a+b=1,
,
当且仅当即时“=”成立,
故选择B.
7.(5分)(2009•天津)已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【分析】由周期函数的周期计算公式:,算得ω=2.接下来将f(x)的表达式转化成与g(x)同名的三角函数,再观察左右平移的长度即可.
【解答】解:由题知ω=2,
所以,
故选择A.
8.(5分)(2009•天津)已知函数f(x)=若f(2﹣a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B.(﹣1,2) C.(﹣2,1) D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
【分析】由题义知分段函数求值应分段处理,利用函数的单调性求解不等式.
【解答】解:
由f(x)的解析式可知,f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调递增函数,在由f(2﹣a2)>f(a),得2﹣a2>a
即a2+a﹣2<0,解得﹣2<a<1.
故选C
9.(5分)(2009•天津)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A、B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比=( )
A. B. C. D.
【分析】根据=,进而根据两三角形相似,推断出=,根据抛物线的定义求得
=,根据|BF|的值求得B的坐标,进而利用两点式求得直线的方程,把x=代入,即可求得A的坐标,进而求得
的值,则三角形的面积之比可得.
【解答】解:如图过B作准线l:x=﹣的垂线,垂足分别为A1,B1,
∵=,
又∵△B1BC∽△A1AC、
∴=,
由拋物线定义==.
由|BF|=|BB1|=2知xB=,yB=﹣,
∴AB:y﹣0=(x﹣).
把x=代入上式,求得yA=2,xA=2,
∴|AF|=|AA1|=.
故===.
故选A.
10.(5分)(2009•天津)0<b<1+a,若关于x的不等式(x﹣b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个,则( )
A.﹣1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.2<a<3
【分析】要使关于x的不等式(x﹣b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个,那么此不等式的解集不能是无限区间,从而其解集必为有限区间,
【解答】解:由题得不等式(x﹣b)2>(ax)2
即(a2﹣1)x2+2bx﹣b2<0,它的解应在两根之间,
因此应有 a2﹣1>0,解得a>1或a<﹣1,注意到0<b<1+a,从而a>1,
故有△=4b2+4b2(a2﹣1)=4a2b2>0,
不等式的解集为或(舍去).
不等式的解集为,
又由0<b<1+a得,
故,,这三个整数解必为﹣2,﹣1,0
2(a﹣1)<b≤3 (a﹣1),
注意到a>1,并结合已知条件0<b<1+a.
故要满足题设条件,只需要2(a﹣1)<1+a,即a<3即可,
解得1<a<3.
故选:C.
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
11.(4分)(2009•天津)某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取 40 名学生.
【分析】根据全校的人数和A,B两个专业的人数,得到C专业的人数,根据总体个数和要抽取的样本容量,得到每个个体被抽到的概率,用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率,得到结果.
【解答】解:∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400,
由分层抽样原理,应抽取名.
故答案为:40
12.(4分)(2009•天津)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a= .
【分析】该几何体是放倒的三棱柱,依据所给数据求解即可.
【解答】解:由已知可知此几何体是三棱柱,其高为3,底面是底边长为2,
底边上的高为a的等腰三角形,
所以有.
故答案为:
13.(4分)(2009•天津)设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为 .
【分析】先求出直线的普通方程,再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可.
【解答】解析:由题直线l1的普通方程为3x﹣y﹣2=0,
故它与l2的距离为.
故答案为
14.(4分)(2009•天津)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0(a>0)的公共弦的长为,则a= 1 .
【分析】画出草图,不难得到半径、半弦长的关系,求解即可.
【解答】解:由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为,圆心(0,﹣a),
公共弦所在的直线方程为,ay=1.大圆的弦心距为:|a+|
由图可知,解之得a=1.
故答案为:1.
15.(4分)(2009•天津)在四边形ABCD中,==(1,1),,则四边形ABCD的面积是 .
【分析】根据题意知四边形ABCD是菱形,其边长为,且对角线BD等于边长的倍,再由向量数量积运算的应用可得和,最终可得四边形ABCD的面积
【解答】解:由题,可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形ABCD是菱形,其边长为,且对角线BD等于边长的倍,
所以cos∠BAD==﹣,
故sin∠BAD=,SABCD=()2×=.
故答案为:.
16.(4分)(2009•天津)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 324 个(用数字作答)
【分析】由题意知本题需要分类来解,当个位、十位和百位上的数字为3个偶数,当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数,根据分类计数原理得到结果.
【解答】解:由题意知本题需要分类来解:
当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有:+=90种;
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有:+=234种,
根据分类计数原理得到
∴共有90+234=324个.
故答案为:324.
三、解答题(共6小题,满分76分)
17.(12分)(2009•天津)已知:△ABC中,BC=1,AC=,sinC=2sinA
(1)求AB的值.
(2)求的值.
【分析】(1)根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系,即可得到答案.
(2)根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到△ABC是Rt△且∠ABC=90°,从而可得到角A的正弦值和余弦值,再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案.
【解答】解:(1)在△ABC中,∵sinC=2sinA
∴由正弦定理得AB=2BC
又∵BC=1
∴AB=2
(2)在△ABC中,∵AB=2,BC=1,∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△且∠ABC=90°
∴,
∴
=
=
=
18.(12分)(2009•天津)在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求:
(I)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;
(II)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
【分析】(Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103,满足条件的事件是从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k,写出概率,分布列和期望.
(II)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况,一是恰好取出1件一等品和2件二等品,二是恰好取出2件一等品,三是恰好取出3件一等品,这三种情况是互斥的,根据互斥事件的概率,得到结果.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型,
由于从10件产品中任取3件的结果为C103,
从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k,
那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3.
∴随机变量X的分布列是
x
0
1
2
3
p
∴X的数学期望EX=
(Ⅱ)解:设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,
“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1
“恰好取出2件一等品“为事件A2,
”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1,A2,A3彼此互斥,
且A=A1∪A2∪A3而,
P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=,
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=
19.(12分)(2009•天津)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD,
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(2)证明平面AMD⊥平面CDE;
(3)求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.
【分析】(1)先将BF平移到CE,则∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角,在三角形CED中求出此角即可;
(2)欲证平面AMD⊥平面CDE,即证CE⊥平面AMD,根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可,易证DM⊥CE,MP⊥CE;
(3)设Q为CD的中点,连接PQ,EQ,易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角,在直角三角形EQP中求出此角即可.
【解答】(1)解:由题设知,BF∥CE,
所以∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角.
设P为AD的中点,连接EP,PC.
因为FE=∥AP,所以FA=∥EP,同理AB=∥PC.
又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥平面ABCD.
而PC,AD都在平面ABCD内,
故EP⊥PC,EP⊥AD.由AB⊥AD,可得PC⊥AD设FA=a,
则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=,故∠CED=60°.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°
(2)证明:因为DC=DE且M为CE的中点,
所以DM⊥CE.连接MP,则MP⊥CE.又MP∩DM=M,
故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE,
所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)解:设Q为CD的中点,连接PQ,EQ.
因为CE=DE,所以EQ⊥CD.因为PC=PD,
所以PQ⊥CD,故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角.
可得,.
20.(12分)(2009•天津)已知函数f(x)=(x2+ax﹣2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(Ⅰ)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数f(x)的单调区间和极值.
【分析】(Ⅰ)把a=0代入到f(x)中化简得到f(x)的解析式,求出f'(x),因为曲线的切点为(1,f(1)),所以把x=1代入到f'(x)中求出切线的斜率,把x=1代入到f(x)中求出f(1)的值得到切点坐标,根据切点和斜率写出切线方程即可;
(Ⅱ)令f'(x)=0求出x的值为x=﹣2a和x=a﹣2,分两种情况讨论:①当﹣2a<a﹣2时和②当﹣2a>a﹣2时,讨论f'(x)的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性即可得到函数的最值.
【解答】(Ⅰ)解:当a=0时,f(x)=x2ex,f'(x)=(x2+2x)ex,故f'(1)=3e,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e,f(1)=e,
所以该切线方程为y﹣e=3e(x﹣1),
整理得:3ex﹣y﹣2e=0.
(Ⅱ)解:f'(x)=[x2+(a+2)x﹣2a2+4a]ex
令f'(x)=0,解得x=﹣2a,或x=a﹣2.由知,﹣2a≠a﹣2.
以下分两种情况讨论.
①若a>,则﹣2a<a﹣2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(﹣∞,a﹣2)
﹣2a
(﹣2a,a﹣2)
a﹣2
(a﹣2,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
0
+
F(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(﹣∞,﹣2a),(a﹣2,+∞)内是增函数,在(﹣2a,a﹣2)内是减函数.
函数f(x)在x=﹣2a处取得极大值f(﹣2a),且f(﹣2a)=3ae﹣2a.
函数f(x)在x=a﹣2处取得极小值f(a﹣2),且f(a﹣2)=(4﹣3a)ea﹣2.
②若a<,则﹣2a>a﹣2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(﹣∞,a﹣2)
a﹣2
(a﹣2,﹣2a)
﹣2a
(﹣2a,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
0
+
F(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(﹣∞,a﹣2),(﹣2a,+∞)内是增函数,在(a﹣2,﹣2a)内是减函数
函数f(x)在x=a﹣2处取得极大值f(a﹣2),且f(a﹣2)=(4﹣3a)ea﹣2,
函数f(x)在x=﹣2a处取得极小值f(﹣2a),且f(﹣2a)=3ae﹣2a.
21.(14分)(2009•天津)已知椭圆的两个焦点分别为F1(﹣c,0)和F2(c,0)(c>0),过点的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠
0)在△AF1C的外接圆上,求的值.
【分析】(1)由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|,得,从而,由此可以求出椭圆的离心率.
(2)由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2,设直线AB的方程为,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则它们的坐标满足方程组,整理,得(2+3k2)x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0.再由根的判别式和根与系数的关系求解.
(III)解法一:当时,得,.线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心,因此外接圆的方程为.由此可以推导出的值.
解法二:由椭圆的对称性可知B,F2,C三点共线,由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形.由此入手可以推导出的值.
【解答】(1)解:由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|,
得,从而
整理,得a2=3c2,故离心率
(2)解:由(I)得b2=a2﹣c2=2c2,
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为,即y=k(x﹣3c).
由已知设A(x1,y1),B(x2,y2),
则它们的坐标满足方程组
消去y整理,得(2+3k2)x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0.
依题意,
而①
②
由题设知,点B为线段AE的中点,所以x1+3c=2x2③
联立①③解得,
将x1,x2代入②中,解得.
(III)解法一:由(II)可知
当时,得,由已知得.
线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心,
因此外接圆的方程为.
直线F2B的方程为,
于是点H(m,n)的坐标满足方程组,
由m≠0,解得故
当时,同理可得.
解法二:由(II)可知
当时,得,由已知得
由椭圆的对称性可知B,F2,C三点共线,
因为点H(m,n)在△AF1C的外接圆上,
且F1A∥F2B,所以四边形AF1CH为等腰梯形.
由直线F2B的方程为,
知点H的坐标为.
因为|AH|=|CF1|,所以,解得m=c(舍),或.
则,所以.当时同理可得
22.(14分)(2009•天津)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q(q>1).设sn=a1b1+a2b2+…+anbn,Tn=a1b1﹣a2b2+…+(﹣1)n﹣1anbn,n∈N+,
(1)若a1(2)=b1(3)=1,d=2,q=3,求S3的值;
(Ⅱ)若b1(6)=1,证明(1﹣q)S2n﹣(1+q)T2n=,n∈(10)N+;
(Ⅲ)若正数n满足2≤n≤q,设k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的两个不同的排列,c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn,c2=al1b1+al2b2+…+alnbn证明c1≠c2.
【分析】(Ⅰ)由题设,可得an=2n﹣1,bn=3n﹣1,n∈N*,由此可求出S3的值.
(Ⅱ)证明:由题设可得bn=qn﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2nq2n﹣1,T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+﹣a2nq2n﹣1,由此能够推导出(1﹣q)S2n﹣(1+q)T2n=.
(Ⅲ)证明:由题设条件可知
,由此入手能够导出c1≠c2.
【解答】(Ⅰ)解:由题设,可得an=2n﹣1,bn=3n﹣1,n∈N*
所以,S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55
(Ⅱ)证明:由题设可得bn=qn﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2+…+a2nq2n﹣1,①
T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+…﹣a2nq2n﹣1,
S2n﹣T2n=2(a2q+a4q3+…﹣a2nq2n﹣1)
1式加上②式,得S2n+T2n=2(a1+a3q2+…+a2n﹣1q2n﹣2)③
2式两边同乘q,得q(S2n+T2n)=2(a1q+a3q3+…+a2n﹣1q2n﹣1)
所以,(1﹣q)S2n﹣(1+q)T2n=(S2n﹣T2n)﹣q(S2n+T2n)
=2d(q+q3+…+q2n﹣1)
=
(Ⅲ)证明:c1﹣c2=(ak1﹣al1)b1+(ak2﹣al2)b2+…+(akn﹣aln)bn
=(k1﹣l1)db1+(k2﹣l2)db1q+…+(kn﹣ln)db1qn﹣1
因为d≠0,b1≠0,所以
若kn≠ln,取i=n
若kn=ln,取i满足ki≠li且kj=lj,i+1≤j≤n,
由题设知,1<i≤n
且
当ki<li2时,得ki﹣li≤﹣1,由q≥n,
得ki﹣li≤q﹣1,i=1,2,3i﹣13
即k1﹣l1≤q﹣1,(k2﹣l2)q≤q(q﹣1),(ki﹣1﹣li﹣1)qi﹣2≤qi﹣2(q﹣1)
又(ki﹣li)qi﹣1≤﹣qi﹣1,
所以
因此c1﹣c2≠0,即c1≠c2
当ki>li,同理可得,因此c1≠c2.综上c1≠c2.