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- 2021-05-13 发布
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2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
(湖南卷)
参考公式(1)柱体体积公式,其中为底面面积,为高.
(2)球的体积公式,其中为球的半径.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,则N=
A.{1,2,3} B. {1,3,5} C. {1,4,5} D. {2,3,4}
3
3
2
正视图
侧视图
俯视图
图1
2.若,为虚数单位,且则
A., B.
C. D.
3.“”是“” 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
4.设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由 算得,
附表:
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表,得到的正确结论是
A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别无关”
6.设双曲线的渐近线方程为,则a的值为
A.4 B.3 C.2 D.1
7.曲线在点M(,0)处的切线的斜路为
A. B. C. D.
8.已知函数,若有,则b的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
(一)选做题(请考生在9、10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)
9.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为,则C1与C2的交点个数为
10.已知某试验范围为[10,90],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是
(二)必做题(11~16题)
11.若执行如图2所示的框图,输入,则输出的数等于
12.已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=_________.
13.设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为________.
14.设在约束条件下,目标函数的最大值为4,则的值为 .
15.已知圆直线
(1)圆的圆心到直线的距离为 .
(2)圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 .
16.给定,设函数满足:对于任意大于的正整数,
(1)设,则其中一个函数在处的函数值为 ;
(2)设,且当时,,则不同的函数的个数为 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c sinA=acosC.
(I)求角C的大小;
(II)求sinA-cos(B+)的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小.
18.(本小题满分12分)
某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份是我降雨量X(单位:毫米)有关,据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为:140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.
(Ⅰ)完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率是为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.
19.(本小题满分12分)
如图3,在圆锥中,已知的直径
的中点.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求直线 和平面所成角的正弦值.
20.(本小题满分13分)
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备,的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年初的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初的价值为上年初的75%.
(Ⅰ)求第年初的价值的表达式;
(Ⅱ)设,若大于80万元,则继续使用,否则须在第年初对更新,证明:须在第9年初对更新.
21.(本小题满分13分)
已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.
22.(本小题满分13分)
设函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性.
(Ⅱ)若有两个极值点,记过点的直线斜率为.问:是否存在,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学试题卷(文史类)参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1、(2011•湖南)设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,则N=( )
A、{1,2,3} B、{1,3,5}
C、{1,4,5} D、{2,3,4}
考点:交、并、补集的混合运算。
分析:利用集合间的故选,画出两个集合的韦恩图,结合韦恩图求出集合N.
解答:解:∵全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,
∴集合M,N对应的韦恩图为
所以N={1,3,5}
故选B
点评:本题考查在研究集合间的关系时,韦恩图是常借用的工具.考查数形结合的数学思想方法.
2、(2011•湖南)若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i则( )
A、a=1,b=1 B、a=﹣1,b=1
C、a=1,b=﹣1 D、a=﹣1,b=﹣1
考点:复数相等的充要条件。
专题:计算题。
分析:根据所给的关于复数的等式,整理出等式左边的复数乘法运算,根据复数相等的充要条件,即实部和虚部分别相等,得到a,b的值.
解答:解:∵(a+i)i=b+i,
∴ai﹣1=b+i,
∴a=1,b=﹣1,
故选C.
点评:
本题考查复数的乘法运算,考查复数相等的条件,是一个基础题,这种题目一般出现在试卷的前几个题目中.
3、(2011•湖南)“x>1”是“|x|>1”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件
考点:充要条件。
分析:解绝对值不等式,进而判断“x>1”⇒“|x|>1”与“|x|>1”⇒“x>1”的真假,再根据充要条件的定义即可得到答案.
解答:解:当“x>1”时,“|x|>1”成立
即“x>1”⇒“|x|>1”为真命题
而当“|x|>1”时,x<﹣1或x>1,即“x>1”不一定成立
即“|x|>1”⇒“x>1”为假命题
∴“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件
故选A
点评:本题考查的知识点是充要条件,其中根据绝对值的定义,判断“x>1”⇒“|x|>1”与“|x|>1”⇒“x>1”的真假,是解答本题的关键.
4、(2011•湖南)设如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A、9π+42 B、36π+18 C、 D、
考点:由三视图求面积、体积。
专题:计算题。
分析:由三视图可知,下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱,上面是一个球,球的直径是3,该几何体的体积是两个体积之和,分别做出两个几何体的体积相加.
解答:解:由三视图可知,几何体是一个简单的组合体,下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱,上面是一个球,球的直径是3,该几何体的体积是两个体积之和,
四棱柱的体积3×3×2=18,
球的体积是,
∴几何体的体积是18+,
故选D.
点评:本题考查由三视图求面积和体积,考查球体的体积公式,考查四棱柱的体积公式,本题解题的关键是由三视图看出几何图形,是一个基础题.
5、(2011•湖南)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由算得,
附表:
p(k2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表,得到的正确结论是( )
A、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别五关”
考点:独立性检验的应用。
专题:计算题。
分析:根据条件中所给的观测值,同题目中节选的观测值表进行检验,得到观测值对应的结果,得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.
解答:解:由题意知本题所给的观测值,
∵7.8>6.635,
∴这个结论有0.01=1%的机会说错,
即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
故选A.
点评:本题考查独立性检验的应用,考查对于观测值表的认识,这种题目一般运算量比较大,主要要考查运算能力,本题有所创新,只要我们看出观测值对应的意义就可以,是一个基础题.
6、(2011•湖南)设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )
A、4 B、3
C、2 D、1
考点:双曲线的简单性质。
专题:计算题。
分析:先求出双曲线的渐近线方程,再求a的值.
解答:解:的渐近线为y=,
∵y=与3x±2y=0重合,
∴a=2.
故选C.
点评:本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.
7、(2011•湖南)曲线在点M(,0)处的切线的斜率为( )
A、 B、
C、 D、
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程。
专题:计算题。
分析:先求出导函数,然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=处的导数,从而求出切线的斜率.
解答:解:∵
∴y'=
=
y'|x==|x==
故选B.
点评:本题主要考查了导数的几何意义,以及导数的计算,同时考查了计算能力,属于基础题.
8、(2011•湖南)已知函数f(x)=ex﹣1,g(x)=﹣x2+4x﹣3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为( )
A、 B、(2﹣,2+]
C、[1,3] D、(1,3)
考点:函数的零点与方程根的关系。
专题:计算题。
分析:利用f(a)=g(b),整理等式,利用指数函数的性质建立不等式求解即可.
解答:解:∵f(a)=g(b),
∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3
∴﹣b2+4b﹣2=ea>0
即b2﹣4b+2<0,求得2﹣<b<2+
故选B
点评:本题主要考查了函数的零点与方程根的关系.
二、填空题(共8小题,每小题5分,满分35分)
9、(2011•湖南)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0,则C1与C2的交点个数为 2 .
考点:简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程;椭圆的参数方程。
专题:计算题。
分析:先根据同角三角函数的关系消去参数α可求出曲线C1
的普通方程,然后利用极坐标公式ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ进行化简即可求出曲线C2普通方程,最后利用直角坐标方程判断C1与C2的交点个数即可.
解答:解:由曲线C2的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0,∴x﹣y+1=0.即y=x+1;
将曲线C1的参数方程化为普通方程为.
∴消去y整理得:7x2+8x﹣8=0.
△>0,∴此方程有两个不同的实根,
故C1与C2的交点个数为2.
故答案为2.
点评:本题主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程,求直线与椭圆的交点个数,考查运算求解能力及转化的思想,属于基础题.
10、(2011•湖南)【选做】已知某试验范围为[10,90],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是 40或60(只写出其中一个也正确) .
考点:分数法的最优性。
分析:由题知试验范围为[10,90],区间长度为80,故可把该区间等分成8段,利用分数法选取试点进行计算.
解答:解:由已知试验范围为[10,90],可得区间长度为80,将其等分8段,
利用分数法选取试点:x1=10+×(90﹣10)=60,x2=10+90﹣60=40,
由对称性可知,第二次试点可以是40或60.
故答案为:40或60.
点评:本题考查的是分数法的简单应用.一般地,用分数法安排试点时,可以分两种情况考虑:(1)可能的试点总数正好是某一个(Fn﹣1).(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn﹣1),而小于(Fn+1﹣1).
11、(2011•湖南)若执行如图所示的框图,输入x1=1,x2=2,x3=4,x4=8则输出的数等于.
考点:循环结构。
专题:计算题;阅读型。
分析:先根据流程图分析出该算法的功能,然后求出所求即可.
解答:解:该算法的功能是求出四个数的平均数
故输出的数==
故答案为:
点评:根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型,处理的步骤一般为:分析流程图,从流程图中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型解模.
12、(2011•湖南)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(﹣2)=3,则f(2)= 6 .
考点:函数奇偶性的性质。
专题:计算题。
分析:将等式中的x用2代替;利用奇函数的定义及g(﹣2)=3,求出f(2)的值.
解答:解:∵g(﹣2)=f(﹣2)+9
∵f(x)为奇函数
∴f(﹣2)=﹣f(2)
∴g(﹣2)=﹣f(2)+9
∵g(﹣2)=3
所以f(2)=6
故答案为6
点评:本题考查奇函数的定义:对于定义域中的任意x都有f(﹣x)=﹣f(x)
13、(2011•湖南)设向量,满足||=2,=(2,1),且与的方向相反,则的坐标为 (﹣4,﹣2) .
考点:平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题:计算题。
分析:要求向量的坐标,我们可以高设出向量的坐标,然后根据与的方向相反,及||=2,我们构造方程,解方程得到向量的坐标.
解答:解:设=(x,y)
∵与的方向相反,
故=λ=(2λ,λ)(λ<0)
又∵||=2,
则x2+y2=20
∴5λ2=20
解得λ=﹣2
则设=(﹣4,﹣2)
故答案为(﹣4,﹣2)
点评:本题考察的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示,平面向量模的计算,其中根据与的方向相反,给出向量的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键.
14、(2011•湖南)设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为 3 .
考点:简单线性规划的应用。
专题:计算题;数形结合。
分析:根据m>1,我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间(,)
上,由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状,再根据目标函数Z=X+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值,由此构造出关于m的方程,解方程即可求出m 的取值范围.
解答:解:满足约束条件的平面区域如下图所示:
当x=,y=时,
目标函数z=x+5y取最大值为4,即;
解得m=3
故答案为3
点评:本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中判断出目标函数Z=X+my在点取得最大值,并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键.
15、(2011•湖南)已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为 5 ;
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为.
考点:点到直线的距离公式;几何概型;直线与圆的位置关系。
专题:计算题。
分析:(1)根据所给的圆的标准方程,看出圆心,根据点到直线的距离公式,代入有关数据做出点到直线的距离.
(2)
本题是一个几何概型,试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°,根据几何概型概率公式得到结果.
解答:解:(1)由题意知圆x2+y2=12的圆心是(0,0),
圆心到直线的距离是d==5,
(2)由题意知本题是一个几何概型,
试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,
满足条件的事件是到直线l的距离小于2,过圆心做一条直线交直线l与一点,
根据上一问可知圆心到直线的距离是5,
在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线,
根据弦心距,半径,弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°
根据几何概型的概率公式得到P==
故答案为:5;
点评:本题考查点到直线的距离,考查直线与圆的位置关系,考查几何概型的概率公式,本题是一个基础题,运算量不大.
16、(2011•湖南)给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足:对于任意大于k的正整数n:f(n)=n﹣k
(1)设k=1,则其中一个函数f(x)在n=1处的函数值为 a(a为正整数) ;
(2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为 16 .
考点:函数的概念及其构成要素;分步乘法计数原理。
专题:计算题;探究型。
分析:题中隐含了对于小于或等于K的正整数n,其函数值也应该是一个正整数,但是对应法则由题意而定
(1)n=k=1,题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合,但函数值必须是一个正整数,故f(1)的值是一个常数(正整数);
(2)k=4,且n≤4,与条件“大于k的正整数n”不适合,故f(n)的值在2、3中任选其一,再由乘法原理可得不同函数的个数.
解答:解:(1)∵n=1,k=1且f(1)为正整数
∴f(1)=a(a为正整数)
即f(x)在n=1处的函数值为 a(a为正整数)
(2)∵n≤4,k=4f(n)为正整数且2≤f(n)≤3
∴f(1)=2或3 且 f(2)=2或3 且 f(3)=2或3 且f(4)=2或3
根据分步计数原理,可得共24=16个不同的函数
故答案为(1)a(a为正整数)
(2)16
点评:本题题意有点含蓄,发现题中的隐含条件,是解决本题的关键,掌握映射与函数的概念是本题的难点.
三、解答题(共6小题,满分75分)
17、(2011•湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.
(1)求角C的大小;
(2)求sinA﹣cos (B+)的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小.
考点:三角函数的恒等变换及化简求值。
专题:计算题。
分析:(1)利用正弦定理化简csinA=acosC.求出tanC=1,得到C=.
(2)B=﹣A,化简sinA﹣cos (B+)=2sin(A+).因为0<A<,推出
求出2sin(A+)取得最大值2.得到A=,B=
解答:解:(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC,
因为0<A<π,所以sinA>0.从而sinC=cosC,
又cosC≠0,所以tanC=1,C=.
(2)有(1)知,B=﹣A,于是
=sinA+cosA
=2sin(A+).
因为0<A<,所以
从而当A+,即A=时
2sin(A+)取得最大值2.
综上所述,cos (B+)的最大值为2,此时A=,B=
点评:本题是中档题,考查三角形的有关知识,正弦定理的应用,三角函数的最值,常考题型.
18、(2011•湖南)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关,据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(Ⅰ)完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率是为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.
考点:频率分布表;互斥事件的概率加法公式。
专题:应用题;综合题。
分析:(I)从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数,求出频率,完成频率分布图.
(II)将发电量转化为降雨量,利用频率分布表,求出发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.
解答:解:(I)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个,
故近20年六月份降雨量频率分布表为
(II)P(“发电量低于490万千瓦时“)
=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或>210)
=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=
故今年六月份该水利发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为:
点评:本题考查频率公式:频率=;考查将问题等价转化的能力.
19、(2011•湖南)如图,在圆锥PO中,已知PO=,⊙OD的直径AB=2,点C在上,且∠CAB=30°,D为AC的中点.
(Ⅰ)证明:AC⊥平面POD;
(Ⅱ)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.
考点:直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法。
专题:计算题;证明题。
分析:(I)由已知易得AC⊥OD,AC⊥PO,根据直线与平面垂直的判定定理可证
(II)由(I)可证面POD⊥平面PAC,由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H,则OH⊥平面PAC,∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角,在Rt△OHC中,求解即可
解答:解(I)因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O,AC⊂底面⊙O
所以AC⊥PO,而OD,PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD
(II)由(I)知,AC⊥平面POD,又AC⊂平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中,过O作OH⊥PD于H,则OH⊥平面PAC
连接CH,则CH是OC在平面上的射影,所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中,OD=OA.sin30°=
在Rt△POD中,OH=
在Rt△OHC中,
故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为
点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用,空间直线与平面所成角的求解,考查了运算推理的能力及空间想象的能力
20、(2011•湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.
(Ⅰ)求第n年初M的价值an的表达式;
(Ⅱ)设,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新.证明:须在第9年初对M更新.
考点:分段函数的应用;数列与函数的综合。
专题:综合题。
分析:(I)通过对n的分段讨论,得到一个等差数列和一个等比数列,利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值an的表达式;
(II)利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出An,判断出其两段的单调性,求出两段的最小值,与80比较,判断出须在第9年初对M更新.
解答:解:(I)当n<6时,数列{an}是首项为120,公差为﹣10的等差数列
an=120﹣10(n﹣1)=130﹣10n
当n≥6时,数列{an}是以a6为首项,公比为的等比数列,又a6=70
所以
因此,第n年初,M的价值an的表达式为
(II)设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差、等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时,Sn=120n﹣5n(n﹣1),An=120﹣5(n﹣1)=125﹣5n
当n≥7时,由于S6=570故
Sn=S6+(a7+a8+…+an)==
因为{an}是递减数列,
所以{An}是递减数列,
又
所以须在第9年初对M更新.
点评:本题考查等差数列的通项公式,前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究.
21、(2011•湖南)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用;抛物线的定义。
专题:计算题;综合题;压轴题;分类讨论;函数思想;方程思想。
分析:(Ⅰ)设动点P的坐标为(x,y),根据两点间距离公式和点到直线的距离公式,列方程,并化解即可求得动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设出直线l1的方程,理想直线和抛物线的方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理,求出两根之和和两根之积,同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标,代入利用基本不等式求最值,即可求得其的最小值.
解答:解:(Ⅰ)设动点P的坐标为(x,y),由题意得,
化简得y2=2x+2|x|.
当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0,
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4(x≥0)和y=0(x<0).
(Ⅱ)由题意知,直线l1的斜率存在且不为零,设为k,则l1的的方程为y=k(x﹣1).
由,得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0.
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=2+,x1x2=1.
∵l1⊥l2,∴直线l2的斜率为﹣.
设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
故==
==(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)
=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+x3+x4+1
1+2++1+1+2+4k2+1=8+4(k2+)≥8+4×2=16,
当且仅当k2=,即k=±1时,的最小值为16.
点评:此题是个难题.考查代入法求抛物线的方程,以及直线与抛物线的位置关系,同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
22、(2011•湖南)设函数.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k.问:是否存在a,使得k=2﹣a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
考点:利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件。
专题:计算题;综合题;压轴题;分类讨论。
分析:(Ⅰ)求导,令导数等于零,解方程,跟据f′(x)f(x)随x的变化情况即可求出函数的单调区间;
(Ⅱ)假设存在a,使得k=2﹣a,根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为k,根据(I)
函数的单调性,推出矛盾,即可解决问题.
解答:解:(I)f(x)定义域为(0,+∞),
f′(x)=1+,
令g(x)=x2﹣ax+1,△=a2﹣4,
①当﹣2≤a≤2时,△≤0,f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
②当a<﹣2时,△>0,g(x)=0的两根都小于零,在(0,+∞)上,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
③当a>2时,△>0,g(x)=0的两根为x1=,x2=,
当0<x<x1时,f′(x)>0;当x1<x<x2时,f′(x)<0;当x>x2时,f′(x)>0;
故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.
(Ⅱ)由(I)知,a>2.
因为f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+﹣a(lnx1﹣lnx2),
所以k==1+﹣a,
又由(I)知,x1x2=1.于是
k=2﹣a,
若存在a,使得k=2﹣a,则=1,即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2,
亦即(*)
再由(I)知,,函数在(0,+∞)上单调递增,
而x2>1,
所以>1﹣1﹣2ln1=0,这与(*)式矛盾,
故不存在a,使得k=2﹣a.
点评:此题是个难题.考查利用导数研究函数的单调性和极值问题,对方程f'(x)=0有无实根,有实根时,根是否在定义域内和根大小进行讨论,体现了分类讨论的思想方法,其中问题(II)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.