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  • 2021-05-13 发布

高考湖南卷文科数学试题及答案

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‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 ‎(湖南卷)‎ 参考公式(1)柱体体积公式,其中为底面面积,为高.‎ ‎ (2)球的体积公式,其中为球的半径.‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,则N=‎ ‎ A.{1,2,3} B. {1,3,5} C. {1,4,5} D. {2,3,4}‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 图1‎ ‎2.若,为虚数单位,且则 ‎ A., B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎3.“”是“” 的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎ ‎4.设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:‎ ‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由 算得,‎ 附表: ‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表,得到的正确结论是 ‎ A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎ C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别无关”‎ ‎6.设双曲线的渐近线方程为,则a的值为 ‎ A.4 B.‎3 ‎ C.2 D.1‎ ‎7.曲线在点M(,0)处的切线的斜路为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知函数,若有,则b的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎(一)选做题(请考生在9、10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)‎ ‎9.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为,则C1与C2的交点个数为 ‎ ‎10.已知某试验范围为[10,90],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是 ‎ ‎(二)必做题(11~16题)‎ ‎11.若执行如图2所示的框图,输入,则输出的数等于 ‎ ‎12.已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=_________.‎ ‎13.设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为________.‎ ‎14.设在约束条件下,目标函数的最大值为4,则的值为 .‎ ‎15.已知圆直线 ‎ (1)圆的圆心到直线的距离为 .‎ ‎ (2)圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 .‎ ‎16.给定,设函数满足:对于任意大于的正整数,‎ ‎ (1)设,则其中一个函数在处的函数值为 ;‎ ‎ (2)设,且当时,,则不同的函数的个数为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c sinA=acosC.‎ ‎ (I)求角C的大小;‎ ‎ (II)求sinA-cos(B+)的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份是我降雨量X(单位:毫米)有关,据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为:140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.‎ ‎ (Ⅰ)完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎ (Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率是为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图3,在圆锥中,已知的直径 的中点.‎ ‎ (Ⅰ)证明:平面;‎ ‎ (Ⅱ)求直线 和平面所成角的正弦值.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备,的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年初的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初的价值为上年初的75%.‎ ‎ (Ⅰ)求第年初的价值的表达式;‎ ‎ (Ⅱ)设,若大于80万元,则继续使用,否则须在第年初对更新,证明:须在第9年初对更新.‎ ‎21.(本小题满分13分)‎ 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.‎ ‎ (Ⅰ)求动点的轨迹的方程;‎ ‎ (Ⅱ)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.‎ ‎22.(本小题满分13分)‎ 设函数.‎ ‎ (Ⅰ)讨论函数的单调性.‎ ‎ (Ⅱ)若有两个极值点,记过点的直线斜率为.问:是否存在,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)‎ 数学试题卷(文史类)参考答案 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1、(2011•湖南)设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,则N=(  )‎ ‎ A、{1,2,3} B、{1,3,5}‎ ‎ C、{1,4,5} D、{2,3,4}‎ 考点:交、并、补集的混合运算。‎ 分析:利用集合间的故选,画出两个集合的韦恩图,结合韦恩图求出集合N.‎ 解答:解:∵全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,‎ ‎∴集合M,N对应的韦恩图为 所以N={1,3,5}‎ 故选B 点评:本题考查在研究集合间的关系时,韦恩图是常借用的工具.考查数形结合的数学思想方法.‎ ‎2、(2011•湖南)若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i则(  )‎ ‎ A、a=1,b=1 B、a=﹣1,b=1‎ ‎ C、a=1,b=﹣1 D、a=﹣1,b=﹣1‎ 考点:复数相等的充要条件。‎ 专题:计算题。‎ 分析:根据所给的关于复数的等式,整理出等式左边的复数乘法运算,根据复数相等的充要条件,即实部和虚部分别相等,得到a,b的值.‎ 解答:解:∵(a+i)i=b+i,‎ ‎∴ai﹣1=b+i,‎ ‎∴a=1,b=﹣1,‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查复数的乘法运算,考查复数相等的条件,是一个基础题,这种题目一般出现在试卷的前几个题目中.‎ ‎3、(2011•湖南)“x>‎1”‎是“|x|>‎1”‎的(  )‎ ‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 ‎ C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件 考点:充要条件。‎ 分析:解绝对值不等式,进而判断“x>1”⇒“|x|>‎1”‎与“|x|>‎1”‎⇒“x>1”的真假,再根据充要条件的定义即可得到答案.‎ 解答:解:当“x>1”时,“|x|>‎1”‎成立 即“x>1”⇒“|x|>‎1”‎为真命题 而当“|x|>‎1”‎时,x<﹣1或x>1,即“x>1”不一定成立 即“|x|>‎1”‎⇒“x>1”为假命题 ‎∴“x>1”是“|x|>‎1”‎的充分不必要条件 故选A 点评:本题考查的知识点是充要条件,其中根据绝对值的定义,判断“x>1”⇒“|x|>‎1”‎与“|x|>‎1”‎⇒“x>1”的真假,是解答本题的关键.‎ ‎4、(2011•湖南)设如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )‎ ‎ A、9π+42 B、36π+‎18 ‎‎ C、 D、‎ 考点:由三视图求面积、体积。‎ 专题:计算题。‎ 分析:由三视图可知,下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱,上面是一个球,球的直径是3,该几何体的体积是两个体积之和,分别做出两个几何体的体积相加.‎ 解答:解:由三视图可知,几何体是一个简单的组合体,下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱,上面是一个球,球的直径是3,该几何体的体积是两个体积之和,‎ 四棱柱的体积3×3×2=18,‎ 球的体积是,‎ ‎∴几何体的体积是18+,‎ 故选D.‎ 点评:本题考查由三视图求面积和体积,考查球体的体积公式,考查四棱柱的体积公式,本题解题的关键是由三视图看出几何图形,是一个基础题.‎ ‎5、(2011•湖南)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得,‎ 附表:‎ p(k2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表,得到的正确结论是(  )‎ ‎ A、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ B、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎ C、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别五关”‎ 考点:独立性检验的应用。‎ 专题:计算题。‎ 分析:根据条件中所给的观测值,同题目中节选的观测值表进行检验,得到观测值对应的结果,得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.‎ 解答:解:由题意知本题所给的观测值,‎ ‎∵7.8>6.635,‎ ‎∴这个结论有0.01=1%的机会说错,‎ 即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ 故选A.‎ 点评:本题考查独立性检验的应用,考查对于观测值表的认识,这种题目一般运算量比较大,主要要考查运算能力,本题有所创新,只要我们看出观测值对应的意义就可以,是一个基础题.‎ ‎6、(2011•湖南)设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为(  )‎ ‎ A、4 B、3‎ ‎ C、2 D、1‎ 考点:双曲线的简单性质。‎ 专题:计算题。‎ 分析:先求出双曲线的渐近线方程,再求a的值.‎ 解答:解:的渐近线为y=,‎ ‎∵y=与3x±2y=0重合,‎ ‎∴a=2.‎ 故选C.‎ 点评:本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.‎ ‎7、(2011•湖南)曲线在点M(,0)处的切线的斜率为(  )‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程。‎ 专题:计算题。‎ 分析:先求出导函数,然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=处的导数,从而求出切线的斜率.‎ 解答:解:∵‎ ‎∴y'=‎ ‎=‎ y'|x==|x==‎ 故选B.‎ 点评:本题主要考查了导数的几何意义,以及导数的计算,同时考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎8、(2011•湖南)已知函数f(x)=ex﹣1,g(x)=﹣x2+4x﹣3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为(  )‎ ‎ A、 B、(2﹣,2+]‎ ‎ C、[1,3] D、(1,3)‎ 考点:函数的零点与方程根的关系。‎ 专题:计算题。‎ 分析:利用f(a)=g(b),整理等式,利用指数函数的性质建立不等式求解即可.‎ 解答:解:∵f(a)=g(b),‎ ‎∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3‎ ‎∴﹣b2+4b﹣2=ea>0‎ 即b2﹣4b+2<0,求得2﹣<b<2+‎ 故选B 点评:本题主要考查了函数的零点与方程根的关系.‎ 二、填空题(共8小题,每小题5分,满分35分)‎ ‎9、(2011•湖南)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0,则C1与C2的交点个数为 2 .‎ 考点:简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程;椭圆的参数方程。‎ 专题:计算题。‎ 分析:先根据同角三角函数的关系消去参数α可求出曲线C1‎ 的普通方程,然后利用极坐标公式ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ进行化简即可求出曲线C2普通方程,最后利用直角坐标方程判断C1与C2的交点个数即可.‎ 解答:解:由曲线C2的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0,∴x﹣y+1=0.即y=x+1;‎ 将曲线C1的参数方程化为普通方程为.‎ ‎∴消去y整理得:7x2+8x﹣8=0.‎ ‎△>0,∴此方程有两个不同的实根,‎ 故C1与C2的交点个数为2.‎ 故答案为2.‎ 点评:本题主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程,求直线与椭圆的交点个数,考查运算求解能力及转化的思想,属于基础题.‎ ‎10、(2011•湖南)【选做】已知某试验范围为[10,90],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是 40或60(只写出其中一个也正确) .‎ 考点:分数法的最优性。‎ 分析:由题知试验范围为[10,90],区间长度为80,故可把该区间等分成8段,利用分数法选取试点进行计算.‎ 解答:解:由已知试验范围为[10,90],可得区间长度为80,将其等分8段,‎ 利用分数法选取试点:x1=10+×(90﹣10)=60,x2=10+90﹣60=40,‎ 由对称性可知,第二次试点可以是40或60.‎ 故答案为:40或60.‎ 点评:本题考查的是分数法的简单应用.一般地,用分数法安排试点时,可以分两种情况考虑:(1)可能的试点总数正好是某一个(Fn﹣1).(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn﹣1),而小于(Fn+1﹣1).‎ ‎11、(2011•湖南)若执行如图所示的框图,输入x1=1,x2=2,x3=4,x4=8则输出的数等于.‎ 考点:循环结构。‎ 专题:计算题;阅读型。‎ 分析:先根据流程图分析出该算法的功能,然后求出所求即可.‎ 解答:解:该算法的功能是求出四个数的平均数 故输出的数==‎ 故答案为:‎ 点评:根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型,处理的步骤一般为:分析流程图,从流程图中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型解模.‎ ‎12、(2011•湖南)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(﹣2)=3,则f(2)= 6 .‎ 考点:函数奇偶性的性质。‎ 专题:计算题。‎ 分析:将等式中的x用2代替;利用奇函数的定义及g(﹣2)=3,求出f(2)的值.‎ 解答:解:∵g(﹣2)=f(﹣2)+9‎ ‎∵f(x)为奇函数 ‎∴f(﹣2)=﹣f(2)‎ ‎∴g(﹣2)=﹣f(2)+9‎ ‎∵g(﹣2)=3‎ 所以f(2)=6‎ 故答案为6‎ 点评:本题考查奇函数的定义:对于定义域中的任意x都有f(﹣x)=﹣f(x)‎ ‎13、(2011•湖南)设向量,满足||=2,=(2,1),且与的方向相反,则的坐标为 (﹣4,﹣2) .‎ 考点:平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。‎ 专题:计算题。‎ 分析:要求向量的坐标,我们可以高设出向量的坐标,然后根据与的方向相反,及||=2,我们构造方程,解方程得到向量的坐标.‎ 解答:解:设=(x,y)‎ ‎∵与的方向相反,‎ 故=λ=(2λ,λ)(λ<0)‎ 又∵||=2,‎ 则x2+y2=20‎ ‎∴5λ2=20‎ 解得λ=﹣2‎ 则设=(﹣4,﹣2)‎ 故答案为(﹣4,﹣2)‎ 点评:本题考察的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示,平面向量模的计算,其中根据与的方向相反,给出向量的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键.‎ ‎14、(2011•湖南)设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为 3 .‎ 考点:简单线性规划的应用。‎ 专题:计算题;数形结合。‎ 分析:根据m>1,我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间(,)‎ 上,由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状,再根据目标函数Z=X+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值,由此构造出关于m的方程,解方程即可求出m 的取值范围.‎ 解答:解:满足约束条件的平面区域如下图所示:‎ 当x=,y=时,‎ 目标函数z=x+5y取最大值为4,即;‎ 解得m=3‎ 故答案为3‎ 点评:本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中判断出目标函数Z=X+my在点取得最大值,并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键.‎ ‎15、(2011•湖南)已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.‎ ‎(1)圆C的圆心到直线l的距离为 5 ;‎ ‎(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为.‎ 考点:点到直线的距离公式;几何概型;直线与圆的位置关系。‎ 专题:计算题。‎ 分析:(1)根据所给的圆的标准方程,看出圆心,根据点到直线的距离公式,代入有关数据做出点到直线的距离.‎ ‎(2)‎ 本题是一个几何概型,试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°,根据几何概型概率公式得到结果.‎ 解答:解:(1)由题意知圆x2+y2=12的圆心是(0,0),‎ 圆心到直线的距离是d==5,‎ ‎(2)由题意知本题是一个几何概型,‎ 试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,‎ 满足条件的事件是到直线l的距离小于2,过圆心做一条直线交直线l与一点,‎ 根据上一问可知圆心到直线的距离是5,‎ 在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线,‎ 根据弦心距,半径,弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°‎ 根据几何概型的概率公式得到P==‎ 故答案为:5;‎ 点评:本题考查点到直线的距离,考查直线与圆的位置关系,考查几何概型的概率公式,本题是一个基础题,运算量不大.‎ ‎16、(2011•湖南)给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足:对于任意大于k的正整数n:f(n)=n﹣k ‎(1)设k=1,则其中一个函数f(x)在n=1处的函数值为 a(a为正整数) ;‎ ‎(2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为 16 .‎ 考点:函数的概念及其构成要素;分步乘法计数原理。‎ 专题:计算题;探究型。‎ 分析:题中隐含了对于小于或等于K的正整数n,其函数值也应该是一个正整数,但是对应法则由题意而定 ‎(1)n=k=1,题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合,但函数值必须是一个正整数,故f(1)的值是一个常数(正整数);‎ ‎(2)k=4,且n≤4,与条件“大于k的正整数n”不适合,故f(n)的值在2、3中任选其一,再由乘法原理可得不同函数的个数.‎ 解答:解:(1)∵n=1,k=1且f(1)为正整数 ‎∴f(1)=a(a为正整数)‎ 即f(x)在n=1处的函数值为 a(a为正整数)‎ ‎(2)∵n≤4,k=‎4f(n)为正整数且2≤f(n)≤3‎ ‎∴f(1)=2或3 且 f(2)=2或3 且 f(3)=2或3 且f(4)=2或3‎ 根据分步计数原理,可得共24=16个不同的函数 故答案为(1)a(a为正整数)‎ ‎(2)16‎ 点评:本题题意有点含蓄,发现题中的隐含条件,是解决本题的关键,掌握映射与函数的概念是本题的难点.‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎17、(2011•湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)求sinA﹣cos (B+)的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小.‎ 考点:三角函数的恒等变换及化简求值。‎ 专题:计算题。‎ 分析:(1)利用正弦定理化简csinA=acosC.求出tanC=1,得到C=.‎ ‎(2)B=﹣A,化简sinA﹣cos (B+)=2sin(A+).因为0<A<,推出 求出2sin(A+)取得最大值2.得到A=,B=‎ 解答:解:(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC,‎ 因为0<A<π,所以sinA>0.从而sinC=cosC,‎ 又cosC≠0,所以tanC=1,C=.‎ ‎(2)有(1)知,B=﹣A,于是 ‎=sinA+cosA ‎=2sin(A+).‎ 因为0<A<,所以 从而当A+,即A=时 ‎2sin(A+)取得最大值2.‎ 综上所述,cos (B+)的最大值为2,此时A=,B=‎ 点评:本题是中档题,考查三角形的有关知识,正弦定理的应用,三角函数的最值,常考题型.‎ ‎18、(2011•湖南)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关,据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.‎ ‎(Ⅰ)完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率是为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.‎ 考点:频率分布表;互斥事件的概率加法公式。‎ 专题:应用题;综合题。‎ 分析:(I)从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数,求出频率,完成频率分布图.‎ ‎(II)将发电量转化为降雨量,利用频率分布表,求出发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.‎ 解答:解:(I)在所给数据中,降雨量为‎110毫米的有3个,为‎160毫米的有7个,为‎200毫米的有3个,‎ 故近20年六月份降雨量频率分布表为 ‎(II)P(“发电量低于490万千瓦时“)‎ ‎=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或>210)‎ ‎=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=‎ 故今年六月份该水利发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为:‎ 点评:本题考查频率公式:频率=;考查将问题等价转化的能力.‎ ‎19、(2011•湖南)如图,在圆锥PO中,已知PO=,⊙OD的直径AB=2,点C在上,且∠CAB=30°,D为AC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:AC⊥平面POD;‎ ‎(Ⅱ)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.‎ 考点:直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法。‎ 专题:计算题;证明题。‎ 分析:(I)由已知易得AC⊥OD,AC⊥PO,根据直线与平面垂直的判定定理可证 ‎(II)由(I)可证面POD⊥平面PAC,由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H,则OH⊥平面PAC,∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角,在Rt△OHC中,求解即可 解答:解(I)因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥OD 又PO⊥底面⊙O,AC⊂底面⊙O 所以AC⊥PO,而OD,PO是平面内的两条相交直线 所以AC⊥平面POD ‎(II)由(I)知,AC⊥平面POD,又AC⊂平面PAC 所以平面POD⊥平面PAC 在平面POD中,过O作OH⊥PD于H,则OH⊥平面PAC 连接CH,则CH是OC在平面上的射影,所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角 在Rt△ODA中,OD=OA.sin30°=‎ 在Rt△POD中,OH=‎ 在Rt△OHC中,‎ 故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为 点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用,空间直线与平面所成角的求解,考查了运算推理的能力及空间想象的能力 ‎20、(2011•湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.‎ ‎(Ⅰ)求第n年初M的价值an的表达式;‎ ‎(Ⅱ)设,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新.证明:须在第9年初对M更新.‎ 考点:分段函数的应用;数列与函数的综合。‎ 专题:综合题。‎ 分析:(I)通过对n的分段讨论,得到一个等差数列和一个等比数列,利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值an的表达式;‎ ‎(II)利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出An,判断出其两段的单调性,求出两段的最小值,与80比较,判断出须在第9年初对M更新.‎ 解答:解:(I)当n<6时,数列{an}是首项为120,公差为﹣10的等差数列 an=120﹣10(n﹣1)=130﹣10n 当n≥6时,数列{an}是以a6为首项,公比为的等比数列,又a6=70‎ 所以 因此,第n年初,M的价值an的表达式为 ‎(II)设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差、等比数列的求和公式得 当1≤n≤6时,Sn=120n﹣5n(n﹣1),An=120﹣5(n﹣1)=125﹣5n 当n≥7时,由于S6=570故 Sn=S6+(a7+a8+…+an)==‎ 因为{an}是递减数列,‎ 所以{An}是递减数列,‎ 又 所以须在第9年初对M更新.‎ 点评:本题考查等差数列的通项公式,前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究.‎ ‎21、(2011•湖南)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.‎ ‎(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值.‎ 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用;抛物线的定义。‎ 专题:计算题;综合题;压轴题;分类讨论;函数思想;方程思想。‎ 分析:(Ⅰ)设动点P的坐标为(x,y),根据两点间距离公式和点到直线的距离公式,列方程,并化解即可求得动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设出直线l1的方程,理想直线和抛物线的方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理,求出两根之和和两根之积,同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标,代入利用基本不等式求最值,即可求得其的最小值.‎ 解答:解:(Ⅰ)设动点P的坐标为(x,y),由题意得,‎ 化简得y2=2x+2|x|.‎ 当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0,‎ 所以动点P的轨迹C的方程为y2=4(x≥0)和y=0(x<0).‎ ‎(Ⅱ)由题意知,直线l1的斜率存在且不为零,设为k,则l1的的方程为y=k(x﹣1).‎ 由,得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0.‎ 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=2+,x1x2=1.‎ ‎∵l1⊥l2,∴直线l2的斜率为﹣.‎ 设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.‎ 故==‎ ‎==(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)‎ ‎=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+x3+x4+1‎ ‎1+2++1+1+2+4k2+1=8+4(k2+)≥8+4×2=16,‎ 当且仅当k2=,即k=±1时,的最小值为16.‎ 点评:此题是个难题.考查代入法求抛物线的方程,以及直线与抛物线的位置关系,同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.‎ ‎22、(2011•湖南)设函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.‎ ‎(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k.问:是否存在a,使得k=2﹣a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.‎ 考点:利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件。‎ 专题:计算题;综合题;压轴题;分类讨论。‎ 分析:(Ⅰ)求导,令导数等于零,解方程,跟据f′(x)f(x)随x的变化情况即可求出函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)假设存在a,使得k=2﹣a,根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为k,根据(I)‎ 函数的单调性,推出矛盾,即可解决问题.‎ 解答:解:(I)f(x)定义域为(0,+∞),‎ f′(x)=1+,‎ 令g(x)=x2﹣ax+1,△=a2﹣4,‎ ‎①当﹣2≤a≤2时,△≤0,f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ ‎②当a<﹣2时,△>0,g(x)=0的两根都小于零,在(0,+∞)上,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ ‎③当a>2时,△>0,g(x)=0的两根为x1=,x2=,‎ 当0<x<x1时,f′(x)>0;当x1<x<x2时,f′(x)<0;当x>x2时,f′(x)>0;‎ 故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.‎ ‎(Ⅱ)由(I)知,a>2.‎ 因为f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+﹣a(lnx1﹣lnx2),‎ 所以k==1+﹣a,‎ 又由(I)知,x1x2=1.于是 k=2﹣a,‎ 若存在a,使得k=2﹣a,则=1,即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2,‎ 亦即(*)‎ 再由(I)知,,函数在(0,+∞)上单调递增,‎ 而x2>1,‎ 所以>1﹣1﹣2ln1=0,这与(*)式矛盾,‎ 故不存在a,使得k=2﹣a.‎ 点评:此题是个难题.考查利用导数研究函数的单调性和极值问题,对方程f'(x)=0有无实根,有实根时,根是否在定义域内和根大小进行讨论,体现了分类讨论的思想方法,其中问题(II)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.‎