高考数列万能解题方法 12页

‎ 主要性质 等和性：等差数列 若则 推论：若则 即：首尾颠倒相加，则和相等 等积性：等比数列 若则 推论：若则 即：首尾颠倒相乘，则积相等 其 它 性 质 ‎1、等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。即：‎ 等差，公差为则有 ‎2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。‎ 如：（下标成等差数列）‎ ‎3、等差，则，，，也等差。‎ ‎4、等差数列的通项公式是的一次函数，即：()‎ ‎ 等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数，‎ 即：()‎ ‎5、项数为奇数的等差数列有：‎ ‎　项数为偶数的等差数列有：‎ ‎，‎ ‎1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：等比，公比为。‎ ‎ 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。‎ 如：（下标成等差数列）‎ ‎3、等比，则，，‎ 也等比。其中 ‎4、等比数列的通项公式类似于的指数函数，‎ 即：，其中 ‎　等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：‎ ‎5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。‎ ‎6、则 ‎　则 则 证明方法 证明一个数列为等差数列的方法：‎ ‎1、定义法：‎ ‎2、中项法：‎ 证明一个数列为等比数列的方法：‎ ‎1、定义法：‎ ‎2、中项法：‎ 设元技巧 三数等差：‎ 四数等差：‎ 三数等比：‎ 四数等比：‎ 联系 ‎1、若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。‎ ‎2、若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。‎ 数列的项与前项和的关系：‎ 数列求和的常用方法：‎ ‎1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。‎ ‎2、错项相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）‎ 即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。‎ ‎3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。‎ ‎　　　　　　　适用于数列和（其中等差）‎ ‎　　　　　　　可裂项为：，‎ 等差数列前项和的最值问题：‎ ‎1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。‎ ‎（ⅰ）若已知通项，则最大；‎ ‎（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；‎ ‎2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值 ‎（ⅰ）若已知通项，则最小；‎ ‎（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；‎ 数列通项的求法：‎ ‎⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。‎ ‎⑵已知（即）求，用作差法：。‎ 已知求，用作商法：。‎ ‎⑶已知条件中既有还有，有时先求，再求；有时也可直接求。‎ ‎⑷若求用累加法：‎ ‎。‎ ‎⑸已知求，用累乘法：。‎ ‎⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。‎ 特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求；形如的递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求。‎ ‎（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。‎ ‎（3）形如的递推数列都可以用对数法求通项。‎ ‎（7）（理科）数学归纳法。‎ ‎（8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。‎ 数列求和的常用方法：‎ ‎（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。‎ ‎（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。 ‎ ‎（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.‎ ‎（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.‎ ‎（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：‎ ‎①； ②；‎ ‎③，；‎ ‎④ ；⑤；‎ ‎⑥‎ 二、解题方法：‎ 求数列通项公式的常用方法：‎ ‎1、公式法 ‎2、‎ ‎ ‎ ‎3、求差（商）法 ‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎［练习］‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4、叠乘法 ‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ 5、等差型递推公式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎［练习］‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6、等比型递推公式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎［练习］‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 7、倒数法 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数列前n项和的常用方法：‎ ‎1、公式法：等差、等比前n项和公式 ‎2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。‎ ‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎［练习］‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 3、错位相减法：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎［练习］‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 深圳一模 深圳二模 广州一模 广州二模 韶关调研 ‎ ‎ ‎ ‎