2018高考一轮复习导数专题 17页

‎2018高考复习导数题型分类解析 一．导数的概念 ‎1.导数的概念：‎ 函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|，即f（x）==。‎ 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：‎ ‎① 求函数的增量=f（x+）－f（x）；② 求平均变化率=；‎ ‎③ 取极限，得导数f’(x)=。‎ 例1：若函数在区间内可导，且则 的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例2：若，则（ ）‎ ‎ A. B． C． D．‎ ‎2．导数的意义：①物理意义：瞬时速率，变化率 ‎ ②几何意义：切线斜率 ‎ ③代数意义：函数增减速率 例3：已知函数，则的值为 .‎ 例4：已知，则 ‎ ‎3.导数的物理意义：‎ 如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。‎ 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。‎ 例5：一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是 　　 　‎ 例6：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）‎ s t O A．‎ s t O s t O s t O B．‎ C．‎ D．‎ 二：导数的运算 ‎1．基本函数的导数公式: ‎ ‎①（C为常数） ② ③; ④;⑤ ⑥; ⑦; ⑧.‎ 例7：下列求导运算正确的是 ( )‎ A． B．= ‎ C． D． ‎ 例8：若，则 ‎ 真题：‎ ‎1.已知，则为 ‎ ‎2：导数的运算法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，‎ 即： (‎ 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：‎ 若C为常数,则 ‎.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ‎ 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（v0）。‎ ‎3.复合函数的导数 形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：‎ 分解——>求导——>回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|或者.‎ 例10：（1）函数的导数是 ‎ ‎ （2）函数的导数是 ‎ 例11：；（2）‎ 真题：‎ ‎（2016年天津高考）已知函数为的导函数，则的值为__________.‎ 三：利用已知条件求原函数解析式中的参数 例12：已知多项式函数的导数，且，则= 　　.‎ 例13：已知函数，它的图象过点，且在处的切线方程为，则= 　　 　　.‎ 四：切线相关问题 ‎ 1.已知曲线上的点求切线方程 例14：曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(　　)‎ ‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ 例15：设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.‎ ‎（1）求的解析式 ‎（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.‎ ‎2.已知曲线外的点求切线方程 例16：已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程为 　　.‎ 例17：求过点（-1，-2）且与曲线相切的直线方程.‎ ‎3.已知切线方程的斜率或倾斜角求切线方程 例18：曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）‎ ‎ A． B． C．和 D．和 例19：若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 真题：‎ ‎1.（2016年全国III卷高考）已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程式_____________________________.‎ ‎2.（2017天津文）已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为 .‎ ‎3.（2017新课标Ⅰ文数）曲线在点处的切线方程为_______.‎ ‎4.【2017年北京卷第20题】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ 五：求函数的单调区间 ‎1.无参数的函数求单调性问题 例20：证明：函数在区间（0，2）上是单调递增函数.‎ 例21：确定函数的单调区间.‎ 真题：‎ ‎1.（2017山东理）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 . ① ② ③ ④‎ ‎2.（2017天津理）已知奇函数在上是增函数，.若，，，则的大小关系为（ ）‎ ‎ ‎ ‎3.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数，则（ ）‎ 在单调递增 在单调递减 的图像关于直线对称 的图像关于点对称 ‎2.含有参数的函数的单调性 例22：已知函数，求函数的单调区间。‎ 例23：已知函数，讨论f（x）的单调性.‎ 例25：【2015高考广东，理19】设，函数．‎ ‎ (1) 求的单调区间 ；‎ ‎ (2) 证明：在上仅有一个零点；‎ 例26：【2015高考江苏，19】已知函数.试讨论的单调性；‎ 例27：已知，讨论的单调性 真题：‎ ‎（2016年全国I卷高考）若函数在单调递增，则a的取值范围是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ 六：结合单调性和极值求参数的取值范围 例28：已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是 .‎ 例29：已知函数，函数在区间内存在单调递增区间，则的取值范围 .‎ 例30：已知函数，若函数在区间内单调递减，则的取值范围 .‎ 例31：已知函数若在[0，1]上单调递增，则a的取值范围 .‎ 例32：已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是 .‎ 例33：已知函数，若在上是单调函数，求实数的取值范围 例34：如果函数在区间单调递减，则mn的最大值为（ ）‎ ‎（A）16 （B）18 （C）25 （D）‎ 真题：‎ ‎【2015高考重庆】设函数 ‎（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上为减函数，求的取值范围。‎ 七：恒成立问题及存在性成立问题 1. 转化为分离参数问题求最值问题 例35：已知函数，（1）若，求函数的单调区间和极值（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 例36：已知函数．（1）求函数的单调区间和极值；（2）若，恒成立，求实数的取值范围 例37：已知函数在与时都取得极值，(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。‎ 例38：已知函数图象上一点处的切线斜率为，‎ 当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。‎ 例39：已知，当时，若对有恒成立，求实数的取值范围．‎ 例40：已知函数，在点处的切线方程为若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值 例41：设函数.若存在的极值点满足 ‎，则m的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．‎ ‎2.分离不开的转化为根的分布问题 例42：已知是函数的一个极值点，其中，当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.‎ 例43：已知函数在上为减函数，则m的取值范围为 .‎ 八：函数的极值最值问题 1. 不含参数的极值最值问题 例44：下列函数的极值：‎ ‎ （1）； （2）.‎ ‎45：函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.‎ ‎2.含有参数的最值问题 例47：已知函数f(x)=(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.‎ 例48：已知，求函数在［1，2］上的最大值.‎ 例49：设，函数.求的极值点 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值. 例50：已知．‎ ‎（1）当时，求上的值域； ‎ ‎（2）求函数在上的最小值；‎ 真题：‎ ‎（2017新课标Ⅱ理）若是函数的极值点，则的极小值为（ ） ‎ ‎3.导函数的图像与函数极值的关系 例52：f（x）的导函数 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 例53：函数的图像为( )‎ x y o ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ x y o ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ x y y ‎4‎ o ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ y x ‎-4‎ ‎-2‎ o ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ 例54：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 个数为 .‎ 例55：已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( )‎ 例56：已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如右，则(　　)‎ A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点 B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点 C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点 例57：函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( ) A.0＜＜＜f(3)-f(2)B.0＜＜f(3)-f(2) ＜ C.0＜f(3)＜＜f(3)-f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜＜ 真题：‎ ‎1.（2017浙江）函数的导函数的图象如图所示，‎ 则函数的图象可能是（ ）‎ ‎2.【2017年新课标III卷第7题】函数y=1+x+的部分图像大致为 A． B． ‎ C． D．‎ 九：零点问题（转化为最值问题）‎ 例58：已知函数的图象与直线相切于点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若函数有三个不同的零点，求c的取值范围．‎ 例:59：已知函数，在处取得极值，且在x=0处切线斜率为-3．‎ (1) 求函数的解析式．‎ ‎(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．‎ 例61：已知函数，曲线与有3个交点，求a的范围。‎ 例62：已知函数，，且在区间上为增函。（1）求实数的取值范围。（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．‎ 真题：‎ ‎1.（2017新课标Ⅲ文数）已知函数有唯一零点，则 ‎（ ） ‎ ‎2.（2016年北京高考）设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ 九:优化问题：‎ ‎1.设计产品规格问题 x y 例63：如图在二次函数的图像与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个内接矩形的最大面积.‎ 例64：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？‎ ‎2.利润最大问题 例66：某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. ‎（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式； ‎（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.‎ 例67：某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x（单位：元, ）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.‎ ‎（1）将一星期的商品销售利润表示成x的函数 ‎（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 十一：构造计算类题型：‎ 例68：对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）‎ A B ‎ C D ‎ 例69：函数在定义域R内可导，若，且当时，，设，的的大小关系为 .‎ 例70：设f(x)、g(x)分别是定义在R（）上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且.则不等式的解集是 ‎ 例71：函数的定义域为R，，对任意，则的解集为 .‎ 例72：是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足,对任意正数a、b,若，则必有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 例73：已知对恒成立，则下列式子一定正确的是（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.不确定 ‎【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【2015高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）‎ ‎(A)[-，1） (B)[-，） (C)[，） (D)[，1）‎ ‎【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 十二：导数综合问题（不等式及函数综合）‎ 例74：已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为 .‎ 例76：证明下列不等式：‎ ‎（1）已知：，求证；‎ ‎（2）已知：，求证：。‎ 例77：求证下列不等式 ‎（1） （相减）‎ ‎（2） （相除）‎ ‎（3） ‎ 例78：已知函数，‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）当时，求证:‎ 十三：定积分问题：‎ ‎1.求简单函数的定积分 例79：求下列函数的定积分：‎ ‎（1）； （2）； （3）；‎ ‎2.求分段函数的定积分 例80：求函数在区间[0，3]上的定积分.‎ 例81：求定积分：（1）； （2）‎ ‎ ‎ ‎3.用定积分求平面图形的面积 例82：求曲线与所围成的图形的面积.‎ 例83：求由抛物线所围成的图形的面积 例84：求正弦曲线和直线及x轴所围成的平面图形的面积.‎ 例85：求由曲线所围成的图形的面积 例86：曲线所围成的图型的面积为 ‎ 例87：的值为 ‎ 例88：的值为 ‎