高考湖北文科数学试题及答案word解析 7页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2014年湖北，文1，5分】已知全集，集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵全集，集合，∴，故选C．‎ ‎【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．‎ ‎（2）【2014年湖北，文2，5分】i为虚数单位，（ ）‎ ‎（A）1 （B） （C）i （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎（3）【2014年湖北，文3，5分】命题“，”的否定是（ ）‎ ‎（A）， （B）， （C）， （D），‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：，，故选D．‎ ‎【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．‎ ‎（4）【2014年湖北，文4，5分】若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ ‎（A）2 （B）4 （C）7 （D）8 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数，‎ ‎∴，，，，故的最大值是7，故选C．‎ ‎【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键， ‎ 可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．‎ ‎（5）【2014年湖北，文5，5分】随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为，点数之和大于5的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】列表得：‎ ‎（1，6）‎ ‎（2，6）‎ ‎（3，6）‎ ‎（4，6）‎ ‎（5，6）‎ ‎（6，6）‎ ‎（1，5）‎ ‎（2，5）‎ ‎（3，5）‎ ‎（4，5）‎ ‎（5，5）‎ ‎（6，5）‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（4，4）‎ ‎（5，4）‎ ‎（6，4）‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎（4，3）‎ ‎（5，3）‎ ‎（6，3）‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎（5，2）‎ ‎（6，2）‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎（5，1）‎ ‎（6，1）‎ ‎∴一共有36种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为，点数之和大于5的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，∴，故选C．‎ ‎【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎（6）【2014年湖北，文6，5分】根据如下样本数据 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎-0.5‎ ‎0.5‎ ‎-2.0‎ ‎-3.0‎ 得到的回归方程为，则（ ）‎ ‎（A）， （B）， （C）， （D），‎ ‎【答案】A ‎【解析】样本平均数，，∴，，∴，‎ ‎∴，故选A．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．‎ ‎（7）【2014年湖北，文7，5分】在如图所示的空间直角 坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是 ‎，，，，给出编号①、‎ ‎②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图 分别为（ ）‎ ‎（A）①和②（B）③和①（C）④和③（D）④和②‎ ‎【答案】D ‎【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为 ‎ ‎②，故选D．‎ ‎【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．‎ ‎（8）【2014年湖北，文8，5分】设是关于t的方程的两个不等实根，则过 ‎ ‎,两点的直线与双曲线的公共点的个数为（ ）‎ ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）3‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，是关于的方程的两个不等实根，∴，，过，两点的直线为，即，即，‎ ‎∵双曲线的一条渐近线方程为，∴过，两点的直线与双 曲线的公共点的个数为0，故选A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎（9）【2014年湖北，文9，5分】已知是定义在上的奇函数，当时，．则函数的零点的集合为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵是定义在上的奇函数，当时，，令，则，‎ ‎∴，∴，∴，∵，‎ ‎∴，令，当时，，解得，或，当时， ，解得，∴函数的零点的集合为，故选D．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．‎ ‎（10）【2014年湖北，文10，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即 的近似值为，故选B．‎ ‎【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．‎ 二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎（11）【2014年湖北，文11，5分】甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测． 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件．‎ ‎【答案】1800‎ ‎【解析】∵样本容量为80，∴抽取的比例为，又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产，∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800．‎ ‎【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键．‎ ‎（12）【2014年湖北，文12，5分】若向量，，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，∵向量，，，∴，解得 或．∴，．∴或．∴．‎ ‎【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．‎ ‎（13）【2014年湖北，文13，5分】在△ABC中，角，B，C所对的边分别为a，b，c． ‎ 输入 开始 否 是 结束 输出 已知，=1，，则B = ．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】∵在中，，，，∴由正弦定理得：，‎ ‎∵，∴，∴或．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎（14）【2014年湖北，文14，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出 的值为_________． ‎ ‎【答案】1067‎ ‎【解析】由程序框图知：算法的功能是求的值，∵输入的值为9，∴跳出循环的值为10，∴输出．‎ ‎【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是解题的关键．‎ ‎（15）【2014年湖北，文15，5分】如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若，，则正实数的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得：，且，，若，‎ ‎，则，解得，故正实数a的取值范围为：．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出是解答的关键．‎ ‎（16）【2014年湖北，文16，5分】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、 平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为． ‎ ‎ （1）如果不限定车型，，则最大车流量为 辆/小时；‎ ‎ （2）如果限定车型，, 则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时．‎ ‎【答案】（1）1900；（2）100‎ ‎【解析】（1），∵，当时取最小值，∴，‎ 故最大车流量为：1900辆/小时．‎ ‎（2），∵，∴，‎ ‎2000﹣1900=100（辆/小时），故最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时．‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足．‎ ‎（17）【2014年湖北，文17，5分】已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则（1） ；（2） ．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）设，则∵，∴，由题意，取、分别代入可得，，∴，．‎ ‎（2）由（1）知．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ 三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎（18）【2014年湖北，文18，12分】某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：， ‎（1）求实验室这一天上午8时的温度；‎ ‎（2）求实验室这一天的最大温差．‎ 解：（1）．‎ ‎ 故实验室上午8时的温度为‎10 ‎‎℃‎．‎ ‎（2）因为， 又，所以，‎ ‎．当时，；当时，．于是在 上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．‎ ‎（19）【2014年湖北，文19，12分】已知等差数列满足：，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最小值；若不 存在，说明理由．‎ 解：（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有，化简得，‎ 解得或，当时，；当时，，从而得数列的通项 公式为或．‎ ‎（2）当时，，显然，此时不存在正整数，使得成立，‎ 当时，，令，即，‎ 解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为41‎ 综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为41．‎ ‎【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．‎ ‎（20）【2014年湖北，文20，13分】如图，在正方体中，，，P，Q，M，‎ N分别是棱，，，，，的中点．求证：‎ ‎（1）直线∥平面；‎ ‎（2）直线⊥平面．‎ 解：（1）连接AD1，由是正方体，知AD1∥BC1，因为，分别是， ‎ 的中点，所以FP∥AD1．从而BC1∥FP．而平面，且平面，‎ 故直线∥平面． ‎ ‎（2）如图，连接，，则．由平面，平面，可得 ‎．又，所以平面．而平面，所以 ‎．因为M，N分别是，的中点，所以MN∥BD，从而． ‎ 同理可证． 又，所以直线⊥平面．‎ ‎【点评】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、‎ 线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．‎ ‎（21）【2014年湖北，文21，14分】为圆周率，为自然对数的底数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数．‎ 解：（1）函数的定义域为，因为，所以，当，即时，函 数单调递增；当，即时，函数单调递减．故函数的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为．‎ ‎（2）因为，所以，即，于是根据函数，‎ 在定义域上单调递增，可得，故这6个数的最大数在与之中，最小 数在与之中．由及（1）的结论，得，即．‎ 由，得，所以；由，得，所以．‎ 综上，6个数中最大数是，最小数是． ‎ ‎【点评】1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．‎ ‎2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点：‎ ‎（1）寻找同底的指数式或对数式；（2）分清是递增还是递减；（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．‎ ‎（22）【2014年湖北，文22，14分】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1．记点M的轨迹为C．‎ ‎（1）求轨迹的方程；‎ ‎（2）设斜率为的直线过定点． 求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共 点时k的相应取值范围．‎ 解：（1）设点，依题意得，即，化简整理得，‎ 故点的轨迹的方程为．‎ ‎（2）在点的轨迹中，记，依题意，可设直线的方程为，‎ 由方程组，可得 ①‎ ‎1）当时，此时，把代入轨迹的方程，得，‎ 故此时直线与轨迹恰好有一个公共点 ‎2）当时，方程①的判别式为 ②‎ 设直线与轴的交点为，则由，令，得 ③‎ ‎（ⅰ）若由②③解得，或，即当时，直线与没有公共 点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点．‎ ‎（ⅱ）若或，由②③解得，或，即当时，直线与 ‎ 只有一个公共点，与有一个公共点，当时，直线与有两个公共点，与没 有公共点，故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点．‎ ‎（ⅲ）若由②③解得，或，即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点．‎ 综合1）2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；‎ 当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹 恰好有三个公共点．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．‎