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- 2021-05-13 发布
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专题06 函数的图象
【热点聚焦与扩展】
高考对函数图象的考查,形式多样,命题形式主要有,由函数的性质及解析式选图;由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等,其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现.常常与导数结合考查.
(一)基础知识
1、描点法作函数图象步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
2、做草图需要注意的信息点:
做草图的原则是:速度快且能提供所需要的信息,通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性,对于一个陌生的可导函数,可通过对导函数的符号分析得到单调区间,图象形状依赖于函数的凹凸性,可由二阶导数的符号决定(详见“知识点讲解与分析”的第3点),这两部分确定下来,则函数大致轮廓可定,但为了方便数形结合,让图象更好体现函数的性质,有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来,下面以常见函数为例,来说明作图时常体现的几个信息点:
(1)一次函数:,若直线不与坐标轴平行,通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线.
特点:两点确定一条直线.
信息点:与坐标轴的交点.
(2)二次函数:,其特点在于存在对称轴,故作图时只需做出对称轴一侧的图象,另一侧由对称性可得.函数先减再增,存在极值点——顶点,若与坐标轴相交,则标出交点坐标可使图象更为精确.
特点:对称性
信息点:对称轴,极值点,坐标轴交点.
(3)反比例函数:,其定义域为,是奇函数,只需做出正版轴图象即可(负半轴依靠对称做出),坐标轴为函数的渐近线.
特点:奇函数(图象关于原点中心对称),渐近线.
信息点:渐近线
注:
(1)所谓渐近线:是指若曲线无限接近一条直线但不相交,则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制,例如在反比例函数中,轴是渐近线,那么当,曲线无限向轴接近,但不相交,则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。
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(2)水平渐近线的判定:需要对函数值进行估计:若(或)时,常数,则称直线为函数的水平渐近线
例如: 当时,,故在轴正方向不存在渐近线
当时,,故在轴负方向存在渐近线
(3)竖直渐近线的判定:首先在处无定义,且当时,(或),那么称为的竖直渐近线
例如:在处无定义,当时,,所以为的一条渐近线.
综上所述:在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图象中:与坐标轴的交点;对称轴与对称中心;极值点;渐近线.
2、函数图象变换:设函数,其它参数均为正数
(1)平移变换:
:的图象向左平移个单位
:的图象向右平移个单位
:的图象向上平移个单位
:的图象向下平移个单位
(2)对称变换:
:与的图象关于轴对称
:与的图象关于轴对称
:与的图象关于原点对称
(3)伸缩变换:
:图象纵坐标不变,横坐标变为原来的
:图象横坐标不变,纵坐标变为原来的
(4)翻折变换:
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:即正半轴的图象不变,负半轴的原图象不要,换上与正半轴图象关于轴对称的图象
:即轴上方的图象不变,下方的图象沿轴对称的翻上去.
(二) 方法与技巧:
1、在处理有关判断正确图象的选择题中,常用的方法是排除法,通过寻找四个选项的不同,再结合函数的性质即可进行排除,常见的区分要素如下:
(1)单调性:导函数的符号决定原函数的单调性,导函数图象位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间,位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间
(2)函数零点周围的函数值符号:可通过带入零点附近的特殊点来进行区分
(3)极值点
(4)对称性(奇偶性)——易于判断,进而优先观察
(5)函数的凹凸性:导函数的单调性决定原函数的凹凸性,导函数增区间即为函数的下凸部分,减区间为函数的上凸部分.
2、利用图象变换作图的步骤:
(1)寻找到模板函数(以此函数作为基础进行图象变换)
(2)找到所求函数与的联系
(3)根据联系制定变换策略,对图象进行变换.
3、如何制定图象变换的策略
(1)在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤,其规律如下:
① 若变换发生在“括号”内部,则属于横坐标的变换
② 若变换发生在“括号”外部,则属于纵坐标的变换
(2)多个步骤的顺序问题:在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后,在安排顺序时注意以下原则:
① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响,无先后要求
② 横坐标的多次变换中,每次变换只有发生相应变化
例如:可有两种方案
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方案一:先平移(向左平移1个单位),此时。再放缩(横坐标变为原来的),此时系数只是添给,即
方案二:先放缩(横坐标变为原来的),此时,再平移时,若平移个单位,则(只对加),可解得,故向左平移个单位
③ 纵坐标的多次变换中,每次变换将解析式看做一个整体进行
例如:有两种方案
方案一:先放缩:,再平移时,将解析式看做一个整体,整体加1,即
方案二:先平移:,则再放缩时,若纵坐标变为原来的倍,那么,无论取何值,也无法达到,所以需要对前一步进行调整:平移个单位,再进行放缩即可()
4、变换作图的技巧:
(1)图象变换时可抓住对称轴,零点,渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置,有助于提高图象的精确性
(2)图象变换后要将一些关键点标出:如边界点,新的零点与极值点,与轴的交点等
【经典例题】
例1【2017浙江,7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示,则函数y=f(x)的图像可能是
【答案】D
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【解析】原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于0,因此选D.
例2【2017课标3】函数的部分图像大致为( )
A B
D.
C D
【答案】D
例3【2019届江西师范大学附属中学高三4月月考】函数y=x+cosx的大致图象是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.
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解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排除
例4. 已知上可导函数的图象如图所示,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图像可得:时,,时,,所以所解不等式为:或,可得:.
例5【2019届湖南省衡阳市高三二模】已知函数的图象如图所示,则下列说法与图象符合的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
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例6【2019届河北省保定市高三一模】定义在上的偶函数满足,当时, ,设函数,则函数与的图象所有交点的横坐标之和为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】因为,所以周期为2,函数关于对称,作图可得四个交点横坐标关于对称,其和为,选B.
【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
例7【2019届新疆乌鲁木齐市高三第二次质量监测】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
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【名师点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的图象的判断等基础知识,意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力,求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.
例8【2019届甘肃省天水市第一中学高三上学期期中】已知是上的奇函数,,则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】C
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【名师点睛】由函数是上的奇函数,结合函数图像的平移,得到函数的图像关于对称,可得,可用倒序相加法求和.
例9【2019届广西陆川县中学高三3月月考】若函数满足:对于图象上任意一点P,在其图象上总存在点,使得成立,称函数是“特殊对点函数”.给出下列五个函数:
①;② (其中e为自然对数的底数);③;④;x/k*-w
⑤.
其中是“特殊对点函数”的序号是__________.(写出所有正确的序号)
【答案】②④⑤
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③对于 ;所以不是“特殊对点函数”;
④由图知,对于任意一点P,在其图象上总存在点,使得,所以是“特殊对点函数”;
⑤由图知,对于任意一点P,在其图象上总存在点,使得,所以是“特殊对点函数”;
综上“特殊对点函数”的序号是②④⑤
【名师点睛】(1)运用函数性质解决问题时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.
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例10【2019届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知函数将的图象向右平移两个单位,得到函数的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)若方程在上有且仅有一个实根,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)借助平移的知识可以直接求出函数解析式
(2)先换元将问题转化为有且只有一个根,再运用函数方程思想建立不等式组分析求解.
(1)(2)设,则,原方程可化为,于是只须
法2:由,,得,,设,则,.
记,则在上是单调函数,因为故要使题设成立,只须.即.从而.
【名师点睛】在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法,转化为一元二次函数的问题,根据题目要求,如需要分类讨论,再加入分类讨论.
【精选精练】
1【2019届山东省天成大联考第二次】函数的图象大致是( )
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A. B. C. D.
【答案】D
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排除.
2.【2019届福建省三明市第一中学高三下学期开学】给出下列四个函数:
①;②;③;④.
这四个函数的部分图象如下,但顺序被打乱,则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②①
【答案】A
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【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.
3【2019届安徽省江淮十校高三第三次(4月)联考】若直角坐标系内、两点满足:(1)点、都在图象上;(2)点、关于原点对称,则称点对是函数的一个“和谐点对”, 与可看作一个“和谐点对”.已知函数,则的“和谐点对”有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】作出函数()的图像关于原点对称的图像,看它与函数的交点个数即可,观察可得交点个数为2.选B.
【名师点睛】新定义型题一是按定义处理问题,二是转化为己学过的知识与方法处理,本题与可看作一个“和谐点对”,其实是部分图像关于原点对称与另一部分图像交点个数问题.
4【2019届吉林省长春市普通高中高三质量监测(三)】函数的部分图象大致为( )
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A. B.
C. D.
【答案】D
【名师点睛】识图常用的方法
(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;
(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;
(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
5【高考题】函数的图像如图所示,则下列结论成立的是( )
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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】观察函数图像突出的特点便可确定的符号:特点1:渐近线在正半轴,从解析式可知的竖直渐近线为即,所以
特点2: 时,仍大于0,通过解析式可得的符号由决定,所以从“时,仍大于0”中可推断出
特点3:图像与轴交点纵坐标为正,,所以
综上所述,选项
6.【2019届北京市汇文实验中学高三九月月考】函数的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线关于轴对称,则
A. B. C. D.
【答案】D
【名师点睛】本题主要考查的是函数的图象与图象变化,还考查了函数解析式的求解以及常用方法。首先求出与函数的图象关于轴对称的图象的函数解析式,然后换为即可得到要求的答案.
7.【2019届河南省中原名校(即豫南九校)高三第六次考评】函数与
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在同一坐标系内的图象不可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为的图像过原点,所以图像中过原点的抛物线是函数的图像,在选项C中,上面的图像是函数的图像, 下面的是函数的图像,所以,所以,由题得,因为a<0,所以恒成立,所以函数f(x)在定义域内单调递增,不是选项C中的图像,故选C.
8.已知函数,则函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
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9.【2019届广东省高三一模】设函数,若互不相等的实数满足,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画出函数的图象如图所示.
【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解,使得解题过程变得直观形象.解题中有两个关键:一是结合图象得到;二是根据图象判断出c的取值范围,进而得到的结果,然后根据不等式的性质可得所求的范围.
10.【2019届福建省数学基地校】为了得到函数的图象,可将函数图象上所有点的
A. 纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变,再向左平移1个单位长度
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B. 纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变,再向右平移1个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度
【答案】B
【解析】
所以纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变,再向右平移1个单位长度得到的图像,选B.
11.【2019届江西省新余市第一中学高三第二模】已知为奇函数, 与图像关于对称,若,则( )
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
【答案】B
【解析】为奇函数,故的图象关于原点对称,而函数的图象可由图象向左平移个单位,再保持纵坐标不变,横坐标伸长到原来的倍得到,故的图象关于点对称,又与图象关于对称,故函数的图象关于点对称, ,即,故点,关于点对称,故,故选B.
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性,属于难题题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外,还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到,在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对称性解答的.
12.【2019年北京市丰台区高三年级一模】函数y = f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成(如图所示).
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①当时,y的取值范围是______;
②如果对任意 (b <0),都有,那么b的最大值是______.
【答案】
当时, 或,
又因为函数为偶函数,图象关于轴对称,
所以对于任意,要使得,则, 或,
则实数的最大值是.
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性和函数的图象的应用,意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力,求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.
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