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- 2021-05-13 发布
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中档大题(三)
1.(2013·辽宁省五校第一联合体高三年级考试)已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a≠0),an+2=p·(其中p为非零常数,n∈N*).
(1)判断数列{}是不是等比数列;
(2)求an.
2.(2013·高考重庆卷)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD =.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥PBDF的体积.
3.(2013·深圳市高三年级第一次调研考试)已知函数f(x)=2sin(+)(0≤x≤5),点A、B分别是函数y=f(x)图象上的最高点和最低点.
(1)求点A、B的坐标以及·的值;
(2)设点A、B分别在角α、β的终边上,求tan(α-2β)的值.
4.(2013·河南省洛阳市高三年级统一考试)某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36.
(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数;
(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位:元)与产品净重x(单位:克)的关系式为y=,求这批产品平均每个的利润.
5.(2013·北京市东城区高三教学统一检测)如图,在菱形ABCD中,MA⊥平面ABCD,且四边形ADNM是平行四边形.
(1)求证:AC⊥BN;
(2)当点E在AB的什么位置时,使得AN∥平面MEC,并加以证明.
6.(2013·福建省普通高中毕业班质量检查)某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污.现以降低SO2的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨,已知该城市2011年的SO2的年排放量约为9.3万吨.
(1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨?
(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召,决定加大减排力度,在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p,为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内,求p的取值范围.
(参考数据:≈0.950 5,≈0.955 9)
答案:
1.【解】(1)由an+2=p·,得=p·.
令cn=,则c1=a,cn+1=pcn.
∵a≠0,∴c1≠0,=p(非零常数),
∴数列{}是等比数列.
(2)∵数列{cn}是首项为a,公比为p的等比数列,
∴cn=c1·pn-1=a·pn-1,即=apn-1.
当n≥2时,an=··…··a1=(apn-2)×(apn-3)×…×(ap0)×1=an-1p,
∵a1满足上式,∴an=an-1p,n∈N*.
2.【解】(1)证明:因为BC=CD,
所以△BCD为等腰三角形.
又∠ACB=∠ACD,所以BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,
从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,
所以BD⊥平面PAC.
(2)三棱锥PBCD的底面BCD的面积
S△BCD=BC·CD·sin∠BCD
=×2×2×sin=.
由PA⊥底面ABCD,得
VPBCD=·S△BCD·PA=××2=2.
由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,
故VFBCD=·S△BCD·PA=×××2=,
所以VPBDF=VPBCD-VFBCD=2-=.
3.【解】(1)∵0≤x≤5,∴≤+≤,
∴-≤sin(+)≤1.
当+=,即x=1时,sin(+)=1,f(x)取得最大值2;
当+=,即x=5时,sin(+)=-,f(x)取得最小值-1.
因此,点A、B的坐标分别是A(1,2)、B(5,-1).
∴·=1×5+2×(-1)=3.
(2)∵点A(1,2)、B(5,-1)分别在角α、β的终边上,
∴tan α=2,tan β=-,
∵tan 2β==-,
∴tan(α-2β)==.
4.【解】(1)产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300.
设样本容量为n.∵样本中产品净重小于100克的个数是36,
∴=0.300,∴n=120.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.750,
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750=90.
(2)产品净重在[96,98),[98,104),[104,106]内的频率分别为0.050×2=0.100,(0.100+0.150+0.125)×2=0.750,0.075×2=0.150.
∴其相应的频数分别为120×0.100=12,120×0.750=90,120×0.150=18.
∴这批产品平均每个的利润(12×3+90×5+18×4)=4.65(元).
5.【解】(1)证明:连接BD,则AC⊥BD.
由已知得DN⊥平面ABCD,
因为DN∩DB=D,
所以AC⊥平面NDB.
又BN⊂平面NDB,
所以AC⊥BN.
(2)当E为AB的中点时,有AN∥平面MEC.
设CM与BN交于F,连接EF.
由已知可得四边形BCNM是平行四边形,F是BN的中点,
因为E是AB的中点,
所以AN∥EF.
又EF⊂平面MEC,AN⊄平面MEC,
所以AN∥平面MEC.
6.【解】(1)设“十二五”期间,该城市共排放SO2约y万吨,
依题意,2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3,公差为-0.3的等差数列,
所以y=5×9.3+×(-0.3)=43.5(万吨).
所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43.5万吨.
(2)由已知得,2012年的SO2年排放量为9.3-0.3=9(万吨),
所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9,公比为1-p的等比数列.
由题意得9×(1-p)8<6,
由于0
4.95%. 所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为(4.95%,1).