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- 2021-05-13 发布
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备战2014数学分类突破赢高考12
一、选择题
1．若函数f(x)＝则f(f(10))＝( )
A．10 B．2
C．1 D．0
解析：选B f(10)＝lg 10＝1，f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.
2．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有 ( )
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项
解析：选C Tr＋1＝C·24－r·r＝C·x12－r，且0≤r≤24，r∈N，所以当r＝0,6,12,18,24时，x的幂指数是整数．
3．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：x2<1是x1时，y＝log(x2＋2x＋a)的真数恒大于零，故定义域是R，p是真命题；当a>1时，x2<1的解集是x，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜想第n个不等式为________．
解析：1>，1＋＋>，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>，…，可猜想第n个不等式为1＋＋＋…＋>.
答案：1＋＋＋…＋>
11．直线l1与l2相交于点A，动点B，C分别在直线l1与l2上且异于点A，若与的夹角为60°，||＝2，则△ABC的外接圆的面积为________．
解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2，由正弦定理可知＝＝2R，其中R为△ABC外接圆的半径，由此得R＝2，故所求面积S＝πR2＝4π.
答案：4π
三、解答题
12．设A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察三个试验组，用X表示这三个试验组中甲类组的个数，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2；Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.依题意，有
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，
P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.
故所求的概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.
(2)由题意知X的可能值为0,1,2,3，故有
P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝3＝.
从而，X的分布列为
X
0
1
2
3
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
13．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC的中点．
(1)证明：A1O⊥平面ABC；
(2)求直线A1C与平面A1AB所成的角的正弦值；
(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC.
∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊂平面A1AC，∴A1O⊥平面ABC.
(2)连接OB，如图，以O为原点，分别以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0，0，)，A(0，－1,0)．
∴＝(0,1，－)．
令平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝n·＝0，而＝(0,1，)，＝(1,1,0)，可求得一个法向量n＝(3，－3，)，
∴|cos〈，n〉|＝＝＝，故直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为.
(3)存在点E，且E为线段BC1的中点．
连接B1C交BC1于点M，连接AB1、OM，则M为B1C的中点，从而OM是△CAB1的一条中位线，即OM∥AB1，又AB1⊂平面A1AB，OM⊄平面A1AB，∴OM∥平面A1AB，故BC1的中点M即为所求的E点．
14．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，满足PF1⊥F
1F2，|PF1|＝，|PF2|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过圆M：x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心，交椭圆C于A，B两点，且点A，B关于点M对称，求直线l的方程．
解：(1)因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝＝2，
故椭圆的半焦距c＝，从而b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，
所以圆心M的坐标为(－2,1)．
易知垂直于x轴且过点M的直线l不满足条件，从而可设直线l的方程为y＝k(x＋2)＋1，
代入椭圆C的方程得(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0，因为点A，B关于点M对称，所以＝－＝－2，解得k＝.
所以直线l的方程为y＝(x＋2)＋1，
即8x－9y＋25＝0.
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