高考数学最后30天冲刺练习 立体几何选择填空 19页

高考数学最后30天冲刺练习：立体几何选择填空 例1、表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ‎ A． B． C． D．‎ 解：此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。‎ 例2、平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是 ‎ （A）一条直线 （B）一个圆（C）一个椭圆 （D）双曲线的一支 解：设与¢是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，故选A A B D C 例3、设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 ‎（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面 ‎（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线[来源:学科网]‎ ‎ (C) 若AB=AC，DB=DC，则AD=BC ‎ (D) 若AB=AC，DB=DC，则AD BC 解：A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾；‎ C不正确，如图所示：D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明。选C 例4对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是 A.若m⊥，m⊥n，则n∥ B.若m∥，n∥，则m∥n C.若m，n∥，则m∥n D.若m、n与所成的角相等，则n∥m 解：对于平面和共面的直线、真命题是“若则”，选C.‎ 例5、给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，‎ ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是 A.4 B. ‎3 C. 2 D. 1‎ 解：①②④正确，故选B.‎ 例6、关于直线与平面，有以下四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则；‎ 其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③解：用排除法可得选D 例7、过平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )‎ A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 解：如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有12条，选D.‎ 例8、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,‎ 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)‎ 的面积是 ( )A. B. C. D. ‎ 解：棱长为2的正四面体ABCD 的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面积是，选C.‎ 例9、过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是 ‎ A．π　　　　　　 B. 2π　　　　 C.　3π　　 　　D. ‎ 解：过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是π，选A.‎ 例10、如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（　　）‎ Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B 例11、给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.‎ ③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D。‎ ‎【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。‎ 例12、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A． B． C． D．‎ ‎【解析】正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴ 球的半径为，球的表面积是，选C.‎ 例13、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 ‎（A） (B) (C) (D)[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎【解析】设球的半径为R, 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为的圆,所以,故选A 例14、如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝‎ ‎（A）2∶1 （B）3∶1 （C）3∶2 （D）4∶3‎ 解析:连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为 ‎,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A 例15、已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( )‎ A.平面ABC必平行于α B.平面ABC必与α相交 C.平面ABC必不垂直于α D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 解：平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即．平面ABC平行于α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A在平面一侧，另两点B、C在平面另一侧，则存在一条中位线DE//BC，DE在α内，所以选D． ‎ 例16、若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 （ ）‎ ‎（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件 解：充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”； 故选（A）‎ 例17、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ）‎ ‎（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件 解：若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A.‎ 例17、已知球的半径是1，、、三点都在球面上，、两点和、两点的球面距离都是，、两点的球面距离是，则二面角的大小是 （A） B） （C） （D）‎ 解析：球的半径是R=，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都是，则∠AOB，∠AOC都等于，AB=AC，两点的球面距离是，∠BOC=，BC=1，过B做BD⊥AO，垂足为D，连接CD，则CD⊥AD，则∠BDC是二面角的平面角，BD=CD=，∴∠BDC=，二面角的大小是，选C.‎ 例18、如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面积是，选D.‎ 例19、设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（　　）‎ A．　　 　B． ‎ C．　　　 D．‎ 解析：正确的命题是，选B.‎ 例20、对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l ‎(A)平行　　　　（B）相交 (C)垂直 (D)互为异面直线 解析：对于任意的直线与平面，若在平面α内，则存在直线m⊥；若不在平面α内，且⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于，若不在平面α内，且于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线垂直于它的射影，则与垂直，综上所述，选C.‎ 例21、若是平面外一点，则下列命题正确的是 ‎（A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直 ‎（C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行[来源:Z§xx§k.Com]‎ 解析：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选D 例22、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）‎ ‎①正方形 ‎②圆锥 ‎③三棱台 ‎④正四棱锥 A．①② B．①③ C．①④ D．②④‎ ‎【答案】D【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D。‎ 例23、 设为两条直线，为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 ( )[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎ A.若与所成的角相等，则 B.若，则 ‎ C.若则 D.若则 ‎【答案】D【分析】对于A当与均成时就不一定；对于B只需找个，且即可满足题设但不一定平行；对于C可参考直三棱柱模型排除，故选D 例25、若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ‎ ‎ ‎【解析】逐一判除,易得答案(D).‎ 例26、已知正三棱柱ABC－A1B‎1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC‎1A1所成角的正弦等于 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 解．已知正三棱柱ABC－A1B‎1C1的侧棱长与底面边长相等，取A‎1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC‎1A1所成的角，，选A。 ‎ 例27、已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角的余弦值等于，选A。‎ 例28、设均为直线,其中在平面α内，则“l⊥α”是“”的 ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析：设均为直线,其中在平面α内，若“l⊥α”则“”，反之若“”，当m//n时，无法判断“l⊥α”，所以“l⊥α”是“”的充分不必要条件，选A。‎ 例29、把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为 (A) (B) (C) (D) ‎ 解析：把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,球的半径为1，B与D两点恰好是两条垂直的半径的端点，它们之间的球面距离为个大圆周长，即，选C。‎ 例30、设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件(C)充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解析：设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A。‎ 例31、半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为 ‎ （A） （B） （C）（D）‎ 解析：半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中心，O为球心，则OB=1，OP=，BP=a，由解得，∴‎ ‎ 由余弦定理得∠AOB=arcos(－)，∴ 与两点间的球面距离为，选C。‎ 例32、平面平面的一个充分条件是（　　）‎ Ａ．存在一条直线 Ｂ．存在一条直线 Ｃ．存在两条平行直线 Ｄ．存在两条异面直线 解析：平面平面的一个充分条件是存在两条异面直线，选Ｄ． ‎ 例33、已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：（C）‎ ‎① ②‎ ‎③ ④其中正确命题的序号是 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③‎ 解析：用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④ 正确，②中m,n可以平行或异面③中n可以在内 选C 例34、已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.∥，n∥ ∥ B.∥，，m∥n C.m⊥，m⊥nn∥ D.n∥m,n⊥m⊥‎ 解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D 例35、棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别 是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A． B． C． D．‎ ‎【答案】D.【解析】正方体对角线为球直径，所以，在过点E、F、O的球的大圆中，‎ 由已知得d=，，所以EF=2r=。‎ 例36、如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下 命题中，错误的命题是（　　）‎ Ａ．点是的垂心 Ｂ．垂直平面 Ｃ．的延长线经过点 Ｄ．直线和所成角为 解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正确；根据对称性知C正确。选D 例37、四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 解析：由球心在上，且，得球的半径R=1，‎ 选C.‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 例38、平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：‎ ‎①； ‎ ‎②；‎ ‎③与相交与相交或重合；‎ ‎④与平行与平行或重合．‎ 其中不正确的命题个数是（　　）‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4‎ 答案：选Ｄ 解析：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，‎ 可知①②③④均错, 具体可观察如图的正方体：‎ ‎ 但不垂直，故①错；但在底面上的射影都是 ‎ 故②错；相交，但异面，故③错；但异面，‎ 故④错 例39、在棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A‎1G=（0≤≤1），则点G到平面D1EF的距离为 A. B. ‎ C. D.[来源:Z+xx+k.Com]‎ 答案：选D 解析：因为A1B1∥EF，G在 A1B1上，在所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，故选D 例40、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，‎ 且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、‎ 三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎【答案】：B ‎【分析】：如图，设正三棱锥的各棱长为，‎ 则四棱锥的各棱长也为，‎ ‎ 于是 ‎ ‎ 例41、已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，‎ 球心在上，底面，，‎ 则球的体积与三棱锥体积之比是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎【答案】：D ‎【分析】：如图， ‎ ‎ ‎ 例42、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，‎ 则这三个平面把空间分成（ ）‎ A．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 ‎【答案】：C ‎【分析】：可用三线表示三个平面，如图，将空间分成7个部分。‎ 例43、若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 解析：由有关性质排除A、B、D，选C 例44、设球的半径是1，、、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是（　　）‎ ‎（A） （B）　　　　（C） 　　　　（D）‎ 解析：选C．．本题考查球面距离．‎ 例45、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是.COM ‎ 　　（A） (B) (C) (D) .COM 解析：正三棱锥的高为1，由平面几何知识知底面边长为，体积为，选C 例46、给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ ‎ ‎【答案】D【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D 例47、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 边长为，高为，所以体积为 所以该几何体的体积为.‎ 答案:C ‎【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,‎ 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 俯视图 ‎ 计算出.几何体的体积.‎ 例48、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件 .‎ 答案:B.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.‎ 例50、设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 × ‎ ‎ 答案：8π解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由 例51、已知二面角α-l-β为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）(A) (B)2 (C) (D)4 ‎ 解:如图分别作 ‎ ‎，连[来源:Zxxk.Com]‎ ‎，‎ 又 当且仅当，即重合时取最小值。‎ 故答案选C。 ‎ 例52、如图，在半径为3的球面上有三点，=90°，,‎ ‎ 球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎ A. B. C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点。‎ ‎ O’C＝，AC＝3，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC。∴‎ ‎ ，则两点的球面距离＝‎ 例54、正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为 ‎（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2‎ A B C D E F H ‎【解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积 ‎ 在底面正六边形ABCDER中 ‎ BH＝ABtan30°＝AB ‎ 而BD＝AB ‎ 故DH＝2BH于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC【答案】C 例55、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为 ‎（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24‎ 解析：选A.‎ 例56、如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为 ‎（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25‎ ‎【解析】设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60°＝R ‎ 而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.[来源:学|科|网]‎ ‎【答案】C 例57、已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ） ‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5 ‎ ‎【答案】B【解析】是度数为的二面角的一个平面角，的平分线，当过P的直线与平行时，满足条件，当过点p的直线与AD平行，也是满足条件直线，与AD直线类似，过点的直线与 BE平行也是满足条件得共有3条。‎ 例58、在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为B．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为 C若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为D若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为 ‎【答案】C解析设底面边长为1，侧棱长为，过作。‎ 在中，，由三角形面积关系得 ‎ 设在正四棱柱中，由于，‎ 所以平面，于是，所以平面，故为点到平面 的距离，在中，又由三角形面积关系得于是，于是当，所以，所以 二、填空题 例59、若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．‎ 答案：18‎ ‎【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18‎ 例60、如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点 作，为垂足．设，则的取值范围是 ．‎ 答案： ‎ ‎ 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 ‎ 例62、设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。‎ 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. ‎ ‎【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是(1)(2)‎ 例63、直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。 ‎ 解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径 ‎，故此球的表面积为. ‎ 例64、对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________‎ ‎（写出所有正确命题的编号）。 ‎ 相对棱AB与CD所在的直线异面；‎ 由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；‎ 若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；‎ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;‎ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。‎ ‎[解析]①④⑤‎ 例65、设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 ‎ ‎ 则该几何体的体积为 ‎ ‎【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于×2×4×3＝4‎ ‎【答案】4‎ 例67、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 ‎ ‎（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；‎ ‎（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为 3 ‎ ‎【答案】：（1）12；（2）3‎ ‎【解析】（1）由的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是，则由，可得。（2）设过三点的截面圆的圆心是中点是点，球心是点，则连三角形，易知就是所求的二面角的一个平面角，，所以，即正切值是3。 ‎ 例68、如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_______‎ ‎【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。‎ 解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以有。‎ 例69、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是 解析 解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C.‎ ‎ 解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.‎ 例70、在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.‎ ‎①矩形；‎ ‎②不是矩形的平行四边形；‎ ‎③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；‎ ‎④每个面都是等边三角形的四面体；‎ ‎⑤每个面都是直角三角形的四面体.‎ 解析：在正方体ABCD－A1B‎1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC‎1A1；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。‎ 例73、如图，正方体的棱长为1，过点A作平面的垂线，垂足为点．‎ 有下列四个命题 Ａ．点是的垂心 Ｂ．垂直平面 Ｃ．二面角的正切值为 Ｄ．点到平面的距离为 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）‎ 解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正确；‎ 连接即为二面角的平面角,‎ ‎ C正确; 对于D, 连接面,故点是 的三等分点,故点到平面的距离为从而D错.[来源:学*科*网]‎ 则应填A，B，C.‎ 例74、若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．‎ 解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得R=，球体积为 例75、已知三点在球心为，半径为的球面上，，且那么两点的球面距离为_______________，球心到平面的距离为______________.‎ 解：如右图，因为，所以AB是截面 的直径，又AB＝R，所以△OAB是等边三角形，‎ 所以ÐAOB＝，故两点的球面距离为，‎ 于是ÐO1OA＝30°，所以球心到平面的距离 OO1＝Rcos30°＝.‎ 例76、如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周 到达点的最短路线的长为 .‎ 解：将正三棱柱沿 侧棱CC1展开，其侧面展开图如 图所示，由图中路线可得结论。‎ 例77、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______‎ A B C P D E F ‎【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.‎ ‎【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用.‎ 例78、如图，在正三棱柱ABC-中，所有棱长均为1，则点B到平面ABC的距离为　　　　.‎ 解：利用等体积法，易知VB1-ABC1=，‎ 所以点B到平面ABC的距离为 例79、水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是 ‎ 解：水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R．[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ 例80、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．‎ 解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；‎ 例81、是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ 其中真命题的编号是 ;（写出所有真命题的编号）‎ 解析：四个命题：①,为真命题；②，为假命题；③为假命题； ④为真命题，‎ 所以真命题的编号是①、④.‎