新课标备战高考数学理专题强化复习十七章　坐标系与参数方程 8页

第十七章　坐标系与参数方程 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 一、坐标系 ‎1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.‎ ‎2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.‎ ‎5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.‎ 二、参数方程 ‎1.了解参数方程，了解参数的意义.‎ ‎2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.‎ ‎3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.‎ ‎4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.‎ ‎　　本章重点：‎ ‎1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.‎ ‎2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.‎ 本章难点：‎ ‎1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程.‎ ‎2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.‎ ‎　　坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.‎ 本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.‎ 高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.‎ 知识网络 ‎17.1　坐标系 典例精析 题型一　极坐标的有关概念 ‎ ‎【例1】已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5，)，B(5，)，C(－4，)，试判断△ABC的形状，并求出它的面积.‎ ‎【解析】在极坐标系中，设极点为O，由已知得∠AOB＝，∠BOC＝，∠AOC＝.‎ 又|OA|＝|OB|＝5，|OC|＝4，由余弦定理得 ‎|AC|2＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|·cos∠AOC＝52＋(4)2－2×5×4·cos＝133，‎ 所以|AC|＝.同理，|BC|＝.‎ 所以|AC|＝|BC|，所以△ABC为等腰三角形.‎ 又|AB|＝|OA|＝|OB|＝5，‎ 所以AB边上的高h＝＝，‎ 所以S△ABC＝××5＝.‎ ‎【点拨】判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.‎ ‎【变式训练1】(1)点A(5，)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为　　　 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为　　　　　；‎ ‎(2)点P(－，)与曲线C：ρ＝cos 的位置关系是 .‎ ‎【解析】(1)(5，－)；(－5，).(2)点P在曲线C上.‎ 题型二　直角坐标与极坐标的互化 ‎ ‎【例2】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.‎ ‎(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.‎ ‎【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.‎ 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，‎ 所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程.‎ 同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程.‎ ‎(2) 由解得或 即⊙O1，⊙O2的交点为(0,0)和(2，－2)两点，‎ 故过交点的直线的直角坐标方程为x＋y＝0.‎ ‎【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.‎ ‎【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为d，求d的最大值.‎ ‎【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x2＋y2＝9，‎ ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x＋y＝2.‎ 在x2＋y2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)，‎ 则点A到直线的距离为d＝＝，它的最大值为4.‎ 题型三　极坐标的应用 ‎【例3】过原点的一动直线交圆x2＋(y－1)2＝1于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.‎ ‎【解析】以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线y＝2，则有|PQ|＝|PR|.设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.因为|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|，所以 ρ＝±2或sin θ＝±1，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4或x＝0.‎ ‎【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.‎ ‎【变式训练3】如图，点A在直线x＝5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°(O，P，A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程.‎ ‎【解析】取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，‎ 则直线x＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.‎ 设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，‎ 因为点A在直线ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.①‎ 因为△OPA为等腰三角形，且∠OPA＝120°，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA＝30°，‎ 所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－30°.②‎ 把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos(θ－30°)＝5.‎ 题型四　平面直角坐标系中坐标的伸缩变换 ‎【例4】定义变换T：可把平面直角坐标系上的点P(x，y)变换成点P′(x′，y′).特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P′与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点.‎ ‎(1)若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C的标准方程，并求出当tan θ＝时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；‎ ‎(2)当tan θ＝时，求(1)中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标.‎ ‎【解析】(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 由椭圆定义知焦距‎2c＝2⇒c＝，即a2－b2＝2.①‎ 又由已知得a2＋b2＝4，②‎ 故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.‎ 即椭圆C的标准方程为＋y2＝1，‎ 且椭圆C两个焦点的坐标分别为F1(－，0)和F2(，0).‎ 对于变换T：当tanθ=时，可得 设F1′(x1，y1)和F2′(x2，y2)分别是由F1(－，0)和F2(，0)的坐标经变换公式T变换得到.‎ 于是 即F1′的坐标为(－，－)；‎ 又 即F2′的坐标为(，).‎ ‎(2)设P(x，y)是椭圆C在变换T下的不动点，则当tan θ＝时，‎ 有⇒x＝3y，由点P(x，y)∈C，即P(3y，y)∈C，得＋y2＝1‎ ‎⇒因而椭圆C的不动点共有两个，分别为(，)和(－，－).‎ ‎【变式训练4】在直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换　　　　　　　　　后变成直线2x′－y′＝4.‎ ‎【解析】‎ 总结提高 ‎1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.‎ 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；反之也成立.‎ ‎2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.‎ ‎17.2　参数方程 典例精析 题型一　参数方程与普通方程互化 ‎【例1】 把下列参数方程化成普通方程：‎ ‎(1) (θ为参数)；‎ ‎(2) (t为参数，a，b＞0).‎ ‎【解析】(1)‎ 所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0. ‎ ‎(2)由题意可得 所以①2－②2得－＝4，所以－＝1，其中x＞0.‎ ‎【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.‎ ‎(1) (2) (3) (4) ‎ ‎【解析】(1)x2＝2(y＋)，－≤x≤，图形为一段抛物线弧.‎ ‎(2)x＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.‎ ‎(3)x2＋y2－3y＝0(y≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3).‎ ‎(4)－＝1，图形是双曲线.‎ 题型二　根据直线的参数方程求弦长 ‎ ‎【例2】已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程；‎ ‎(2)求直线l被曲线C截得的弦长.‎ ‎【解析】(1)由曲线C：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，‎ 化成普通方程为x2－y2＝1.①‎ ‎(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程(t为参数).②‎ 把②代入①得(2＋)2－(t)2＝1，整理得t2－4t－6＝0.‎ 设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.‎ 从而弦长为|t1－t2|＝＝＝＝2.‎ 方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y＝(x－2)，‎ 代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.‎ 设l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝，‎ 所以|AB|＝·＝2＝2.‎ ‎【变式训练2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝cos(θ＋)，求直线l被曲线C所截的弦长.‎ ‎【解析】将方程(t为参数)化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.‎ 将方程ρ＝cos(θ＋)化为普通方程为x2＋y2－x＋y＝0.‎ 表示圆心为(，－)，半径为r＝的圆，‎ 则圆心到直线的距离d＝，弦长＝2＝2＝.‎ 题型三　参数方程综合运用 ‎【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C1： (t为参数)，C2： (θ为参数).‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值.‎ ‎【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.‎ C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；‎ C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.‎ ‎(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ).‎ C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|，‎ 从而cos θ＝，sin θ＝－时，d取最小值.‎ ‎【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝‎ ‎2cos θ－4sin θ(ρ＞0).‎ ‎(1)化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m＞0)，经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程.‎ ‎【解析】(1)曲线C1：＋＝1；曲线C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝5.‎ 曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为的圆.‎ ‎(2)曲线C1：＋＝1与x轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)，因为m＞0，所以点P的坐标为(4,0).显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y＝k(x－4).‎ 由曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为的圆得＝，‎ 解得k＝，所以切线l的方程为y＝(x－4).‎ 总结提高 ‎1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x，y的取值范围而造成错误.‎ ‎2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.‎ ‎3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.‎