高考数学总复习概率 17页

高考数学总复习：概率（二） ‎ ‎　　高考真题解析： 　　1．（2007广东）甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为___________．（答案用分数表示） 　　答案： 　　解析：分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球是相互独立事件，其中从甲袋中随机取出一个球是红球的概率是，从乙袋中随机取出一个球是红球的概率是，所以取出的两球是红球的概率为。 　　2．（2007湖北）某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________． （用数值作答） 　　答案： 　　解析：投球10次可以看作是10次独立重复试验，所以恰好投进3个球的概率为。 　　3．（2007上海）在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______ （结果用数值表示）．　 　　答案： 　　解析： 　　方法一：从取出的球考虑，应当取出2个偶数和一个奇数，故所求概率为：； 　　方法二：从剩下的球考虑，应当剩下2个奇数，故所求概率为：‎ ‎。 　　4．（2007湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（　 ） 　　A．　　　　 B．　　　　 C．　　　 D． 　　答案：Ｃ 　　解析：因为， 　 　　　 即是说第一次得到的点数大于或等于第二次得到的点数， 　 　　　 故可能为，，…,共21种,而总的有36种, 　 　　　 故概率为。 　　5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（　　） 　　Ａ．　　　 Ｂ．　　　 Ｃ．　　　 Ｄ． 　　答案：A 　　解析：从5个球中随机取出2个小球共有取法种，和为3或6的分别为1+2，1+5，2+4有3种， 　　　　　故概率为。 　　6．（2007江西）一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（　　） 　　Ａ．　　　 Ｂ．　　　 Ｃ．　　　 Ｄ．‎ ‎ 　　答案：Ｄ 　　解析：取得两个球的编号和不小于15的编号分别为（7，8），（8，7），（8，8），故所求概率为。 　　7．（2007福建）如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（　 ） 　　A．　　　　 B．　　　 C．　　 D． 　　答案：D 　　解析：至少有两个数位于同行或同列的对立事件为三个数分别位于不同的行和列， 　 　　　 其概率为，故所求概率为。 　　8．（2007重庆）从张元，张元，张元的奥运预赛门票中任取张，则所取张中至少有张价格相同的概率为（　　） 　　Ａ．　　 Ｂ．　　　 Ｃ．　　 Ｄ． 　　答案：C 　　解析：张中至少有张价格相同的对立事件为3张票的价格均不同，故所求的概率：。 　　9．（2007辽宁）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（　 ） 　　A．　　 B．　　 C．　　 D． 　　答案：D 　　解析：取到的都是红球的概率是，取到的都是红球且2个球的号码都是奇数的概率是 ‎ 　 　　　 故取到的都是红球且至少有1个球的号码是偶数的概率是。 　　10．（2007安徽）在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为___________． 　　答案： 　　解析： 　　11．（2007湖北）将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（　 ） 　　A．　　 B．　　 C．　　 D． 　　答案：Ａ 　　解析： 　　12．（2007江西）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　） 　　Ａ．　　　 Ｂ．　　　 Ｃ．　　　 Ｄ． 　　答案：B 　　解析：将一骰子连续抛掷三次落地时向上的点数的种数为，落地时向上的点数依次成等差数列有： 　　　　　①公差为0的有6种，②公差为1的有4种，③公差为2的有2种，④公差为的有4种， 　　　　　⑤公差为的有2种，共18种；故所求的概率为 ‎。 　　13．（2007四川）已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是 　　（A）　　　 （B）　　　　 （C）　　　　 （D） 　　答案：B 　　解析：抛物线组共有条，要使两条抛物线在与直线x=1交点处的切线相互平行，只需两条抛物线中的 　　　　　相等即可，有2+3=1+4，2+5=1+6=3+4，2+7=1+8=3+6=5+4，4+7=3+8=6+5，6+7=8+5，共有方法 　　　　　 种，故所求概率是。 　　14．（2007北京）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： 　　（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率； 　　（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率； 　　解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为 　　　　　　　． 　　　　（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为． 　　15．（2007海南、宁夏）设有关于的一元二次方程． 　　（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 　　（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间 任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 　　解：设事件为“方程有实根”． 　　　　当，时，方程有实根的充要条件为． 　　（Ⅰ）基本事件共12个： 　　　　　，其中第一个数表示的取值， 　　　　　第二个数表示的取值． 　　　　　事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为． 　　（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为． 　　　　　构成事件的区域为． 　　　　　所以所求的概率为． 　　16.（2007山东）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）． 　　（Ⅰ）求方程有实根的概率； 　　（Ⅱ）求的分布列和数学期望； 　　（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率． 　　解： 　　（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为，记“方程没有实根”为事件， 　　　　　“方程有且仅有一个实根”为事件，“方程有两个相异实数” 　　　　　 为事件，则， 　　　　　‎ ‎， 　　　　　， 　　　　　， 　　　　　所以是的基本事件总数为36个，中的基本事件总数为17个，中的基本事件总数为个， 　　　　　中的基本事件总数为17个． 　　　　　又因为是互斥事件， 　　　　　故所求概率． 　　（Ⅱ）由题意，的可能取值为，则 　　　　　，，， 　　　　　故的分布列为：‎ ‎　　　　　所以的数学期望． 　　（Ⅲ）记“先后两次出现的点数中有5”为事件，“方程有实数”为事件， 　　　　　由上面分析得，，． 　　17．（2007江苏）某气象站天气预报的准确率为 ‎，计算（结果保留到小数点后第2位）： 　　（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） 　　（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分） 　　（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．（4分） 　　本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力 　　解： 　　（1）次预报中恰有次准确的概率为 　　　　． 　　（2）次预报中至少有次准确的概率为 　　　　　 　　　　　 　　　　　． 　　（3）“次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确”的概率为 　　　　　． 　　18．（2007江西）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，． 　　（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； 　　（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率． 　　解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，， 　　　　，，，． 　　（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 　　　 　； 　　（2） 　　解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件， 　　　　　　则，‎ ‎． 　　　　　　恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 　　　　　　． 　　解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为 　　　　　　． 　　19．（2007全国I）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元． 　　（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率； 　　（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率． 　　解： 　　（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”． 　　　　， 　　　　． 　　（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”． 　　　　　表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”． 　　　　　表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”． 　　　　　则． 　　　　　，． 　　　　　． 　　20．（2007福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： 　　（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率； 　　（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； 　　（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率． 　　本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力． 　　解：记“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件 ‎， 　　　　依题意得，，且，（）相互独立． 　　（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立， 　　　　　． 　　　　　答：甲第三次试跳才成功的概率为． 　　（Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件． 　　解法一：，且，，彼此互斥， 　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　． 　　解法二：． 　　　　　　答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为． 　　（Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功次”为事件， 　　　　　“乙在两次试跳中成功次”为事件， 　　　　　　事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 　　　　　　 ，且，为互斥事件， 　　　　　　所求的概率为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为 ‎． 　　21．（2007重庆） 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立． 　　（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； 　　（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率． 　　解： 　　（Ⅰ）设表示甲命中目标，表示乙命中目标， 　　　　　则相互独立，且，， 　　　　　从而甲命中但乙未命中目标的概率为． 　　（Ⅱ）设表示甲在两次射击中恰好命中次，表示乙在两次射击中恰好命中次． 　　　　　依题意有，． 　　　　　由独立性知两人命中次数相等的概率为 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　． 　　22．（2007陕西）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响． 　　（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； 　　（Ⅱ ‎）求该选手至多进入第三轮考核的概率．（注：本小题结果可用分数表示） 　　解： 　　（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则 　　　　　，，，， 　　　　　该选手进入第四轮才被淘汰的概率 　　　　　． 　　（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率 　　　　　 　　　　　　． 　　23．（2007天津）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． 　　（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； 　　　　　本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力． 　　（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且 　　，， 　　故取出的4个球均为红球的概率是． 　　（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且 　　，‎ ‎． 　　故取出的4个球中恰有1个红球的概率为． 　　反馈练习：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　1. 在1、2、3、……、10这10个数字中，任取3个数字，那么事件“这3个数字之和大于6”是（ 　　） 　　A.必然事件　　 B.不可能事件　　 C.随机事件　　D.以上均不正确 　　2. 从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（　　 ） 　　A.　　　 　 B.　　　 　　 C.　　　　 D. 　　3. 将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（　　 ） 　　A.　　　　 B.　　　 　C.　　　　 D. 　　4. 掷两颗骰子，则至少有一颗骰子点数大于3的概率为___________。 　　5. 一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 　　6.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分,已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________。 　　7. 100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽取1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为___________。 　　8. 在半径为1 圆周上有一点A，以A为端点任选一弦，另一端点在圆周上等可能（即在单位长度的弧上等可能选取），求弦长超过的概率。 　　9. 某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率： 　　（1）该车在某停车点停车； 　　（2）停车的次数不少于2次； 　　（3）恰好停车2次 ‎ 　　10. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为， 　　（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； 　　（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率 　　参考答案： 　　1. C； 　　2. C；事件总数为C，设抽取3个数,和为偶数为事件A,则A事件数包括两类： 　　　　抽取3个数全为偶数,或抽取3数中2个奇数1个偶数,前者C,后者CC 　　　　∴A中基本事件数为C+CC,∴符合要求的概率为= . 　　3.D； 解析：质地均匀的骰子先后抛掷3次,共有6×6×6种结果,3次均不出现6点向上的掷法有5×5×5种结果,由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的,所以不出现6点向上的概率为=,由对立事件概率公式,知3次至少出现一次6点向上的概率是1－= 　　4.　解：设“至少有一颗骰子点数大于3 ”为事件A，则其对立事件：两颗骰子点数都不大于3,此试验共有36个基本事件 　　包含的基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（2，1），（3，1）， 　　（3，2），（3，3）共9个 　　 　　 　　5. 　　6.解析：该生被选中，他解对5题或4题 　　　　　　∴‎ ‎ 　　　答案： 　　7. 解： 　　（方法一）第一次抽出的是次品的概率是，第一次抽出的是次品且第2次抽出正品概率是 　　　　　　　 ，故所求的概率为。 　　（方法二）已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品是从余下的99件产品中（有95件正品）抽取， 　　　　　　　故所求的概率为。 　　 　8. 解： 如图， 　　 　　另一端落在圆周上任一点，基本事件空间，可用圆周长来度量 　　圆内接正三角形ABC的边长为，若任一端点落在（劣弧）上，则弦长超过， 　　而落在劣弧之外，则弦长不超过， 　　劣弧之长为圆周的， 　　事件A=“弧长超过”发生意味着另一端点落在劣弧上，A可用弧长来度量， 　　故。 　　9. 解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有38=6561（个）基本事件 　　（1）记“该车在某停车点停车”为事件A，事件A发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”‎ ‎ 　　　　∵P（）==， 　　　　∴P（A）=1－P（）=1－=； 　　（2）记“停车的次数不少于2次”为事件B，则“停车次数恰好1次”为事件， 　　　　 则P（B）=1－P（）=1－=1－=； 　　（3）记“恰好停车2次”为事件C，事件C发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件数为C（C+C+C+…+C）=3×（28－2）=3×254， 　　 　　于是P（C）== 　　10. 解： 　　（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件， 　　　　 由题设条件有 即 　　　　　由①③得， 　　　　　代入②得,解得或（舍去） 　　　　　将分别代入③②可得P（A）=，P（B）=， 　　　　　即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，， 　　（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件， 　　　　 则 ‎ 　　　　 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为。‎