全国II高考数学文科试卷带答案 13页

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）‎ 数学 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，‎ ‎1. 设全集,集合,,则 ( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】集合的基本运算、集合间的关系.‎ ‎【考查方式】由集合算出并集，取其在全集中的补集.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】∵,，∴，‎ ‎∴， 故选 C .‎ ‎2. 不等式＜0的解集为 ( ).‎ A. B.‎ C.或 D.‎ ‎【测量目标】解一元二次不等式.‎ ‎【考查方式】解不等式，直接算出其结果即可.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】 ‎ ‎，故选A.‎ ‎3. 已知，则 ( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【测量目标】三角函数间的互化.‎ ‎【考查方式】二倍角公式及诱导公式，求得结果.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】 ∵ ‎ ‎∴‎ ‎4. 函数的反函数是 ( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【测量目标】反函数与对数函数间的互化.‎ ‎【考查方式】将原函数化简，直接求得反函数.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】∵函数，‎ ‎∴ 故选D.‎ ‎5. 若变量满足约束条件 ，则的最大值为 ( ).‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.‎ ‎【考查方式】由约束条件作出可行域，找出最优解.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】画出可行域，作出目标函数线，‎ 可得直线与 与的交点为最优解点，‎ ‎∴即为（1，1），当时，故选C. ‎ ‎6. 如果等差数列中，++=12，那么 ( ).‎ A.14 B. ‎21 ‎‎ C. 28 D. 35‎ ‎【测量目标】等差数列的性质和前项和.‎ ‎【考查方式】运用等差中项，简单的数列求和.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】‎ ‎.故选C.‎ ‎7. 若曲线在点处的切线方程是，则 ( ).‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎【测量目标】函数导数的几何性质.‎ ‎【考查方式】利用切线方程求解曲线方程.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】∵，‎ ‎∴，在切线，∴‎ ‎8. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为 ( ).‎ ‎ ‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎【测量目标】三棱锥的概念、线面、面面位置关系.‎ ‎【考查方式】找出线面角，求出正弦值，数形结合的思想.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】过作交于，连结，过作垂直于交于，连接，‎ ‎∵正三角形，∴为中点，（步骤1）‎ ‎∵，，∴⊥面∴，‎ 又，∴⊥面，（步骤2）‎ ‎∵为直线与面所成角，由正三角形边长3，‎ ‎∴ ，， ‎ ‎∴ ， ，∴ .（步骤3）‎ ‎9. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ( ).‎ A. 12种 B.18种 C. 36种 D.54种 ‎【测量目标】排列组合的典型应用.‎ ‎【考查方式】特殊元素先考虑，算出总的种类.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有.‎ ‎10. 中，点在边上，平分，若=, =, =1，‎ ‎=2,则= ( ).‎ A.+ B.+ ‎ C.+ D.+‎ ‎【测量目标】向量的线性运算.‎ ‎【考查方式】向量之间的相加减.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】∵为角平分线，∴ ，（步骤1）‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，（步骤2）‎ ‎∴ .（步骤3）‎ ‎11. 与正方体-的三条棱所在直线的距离相等的点 ( ).‎ ‎（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 ‎（C）有且只有3个 （D）有无数个 ‎【测量目标】空间立体几何的基本性质.‎ ‎【考查方式】作图，利用观察法求解.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】∵到三条互相垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，故选D.‎ ‎12. 已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则 ( ).‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【测量目标】直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【考查方式】由向量关系，间接进行求解参数.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】设，∵ ，∴ ，（步骤1）‎ ‎ ∵ ，设，，‎ ‎∴ ，（步骤2）‎ 设直线方程为.‎ 代入消去，∴ ，‎ ‎∴ ，（步骤3）‎ ‎，解得 ，，故选B.（步骤4）‎ ‎（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知是第二象限的角,，则__________.‎ ‎【测量目标】同角三角函数间的相互转化.‎ ‎【考查方式】由三角函数的等式关系进行转化，直接求解余弦值.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】， ，即，（步骤1）‎ 又，，（步骤2）‎ 又为第二象限角，.（步骤3）‎ ‎14. 的展开式中，的系数是_________.‎ ‎【测量目标】二项式定理.‎ ‎【考查方式】二项式展开式中的系数求解.‎ ‎【参考答案】84. ‎ ‎【试题解析】∵ ， ∴ ， ∴ .‎ ‎15. 已知抛物线的准线，过且斜率为的直线与相交于，与的一个交点为，若，则=_________‎ ‎【测量目标】抛物线的标准方程和简单的几何性质.‎ ‎【考查方式】直线方程与抛物线方程联立求解.‎ ‎【参考答案】2‎ ‎【试题解析】设直线：，（步骤1）‎ 代入得，‎ 又∵ ，∴，（步骤2）‎ 解得，解得（舍去）,故.（步骤3）‎ ‎16. 已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离 .‎ ‎【测量目标】球、直线与圆的概念及基础知识.‎ ‎【考查方式】解三角形求两圆半径,进而计算圆心距.‎ ‎【参考答案】3‎ ‎【试题解析】‎ ‎∵，球半径为4，∴小圆的半径为，(步骤1)‎ ‎∵小圆中弦长，作垂直于，‎ ‎∴，（步骤2）‎ 同理可得，在直角三角形中，‎ ‎∵，，∴ ，（步骤4） ‎ ‎∴ ，∴（步骤5）‎ 三、解答题；本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 中，为边上的一点，，，，求.‎ ‎【测量目标】同角三角函数的基本关系、正弦定理.‎ ‎【考查方式】利用同角三角函数关系、差角公式及正弦定理求解边长.‎ ‎【试题解析】 ,（步骤1）‎ 又 ，（步骤2）‎ ‎,，‎ ‎.（步骤3）‎ ‎.‎ 的长为25.‎ ‎18.（本小题满分12分） ‎ 已知是各项均为正数的等比数列，且 ‎，‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【测量目标】等比数列通项公式、前项和、方程组解法.‎ ‎【考查方式】由题设等式关系求解通项公式和前项和.‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）设公比为，则.由已知有 ‎，（步骤1）‎ 化简得（步骤2）‎ 又，故 所以.（步骤3）‎ ‎(Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 因此 ，（步骤4）‎ ‎.（步骤5）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱中，，，为的中点，为 上的一点，, ‎ ‎（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°,‎ 求二面角的大小.‎ ‎ ‎ ‎【测量目标】空间立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识.‎ ‎【考查方式】线面垂直定理的应用，找出异面直线所成角,由边长解三角形.‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）证明：连接,记与的交点为,‎ 平面为正方形,且，（步骤1）‎ 又 , ，（步骤2）‎ 又为的中点 , .（步骤3）‎ 作为垂足，‎ 由知，为中点， ‎ 又由底面平面,得,（步骤4）‎ 连接,则∥,故.‎ 由三垂线定理得，,为异面直线与的公垂线. （步骤5）‎ ‎（Ⅱ）∥,故为异面直线与的夹角，，（步骤6）‎ 设,则 作为垂足，（步骤7）‎ 底面平面 ‎ 故又作为垂足，连接,（步骤8） ‎ 由三垂线定理得，‎ 为二面角的平面角.（步骤9）‎ ‎,平面为正方形,,‎ 又,,‎ ‎∽.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 二面角的平面角的大小为（步骤10）‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，由到的电路中有4个元件，分别标为，电源能通过的概率都是，电源能通过的概率是，电源能否通过各元件相互独立.已知中至少有一个能通过电流的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求电流能在与之间通过的概率.‎ ‎ ‎ ‎【测量目标】互斥事件、对立事件及独立事件的概率.‎ ‎【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）根据题意得，记电流能通过为事件，.‎ 表示事件：中至少有一个能通过电流.‎ 易得相互独立，且,（步骤1）‎ 计算得，（步骤2）‎ ‎（Ⅱ）根据题意，记表示事件:电流能在与之间通过，有 ‎，则=.(步骤3)‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）设，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设在区间内至少有一个极值点，求的取值范围.‎ ‎【测量目标】利用导数研究函数的单调区间、极值.‎ ‎【考查方式】利用函数导数、单调性，求解的取值范围.‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）当时，，，（步骤1）‎ 当时，在单调递增；‎ 当时，在单调递减；‎ 当时，在单调递增；‎ 综上，的单调递减区间是；的单调递增区间是.‎ ‎（Ⅱ），‎ 当时，为增函数，故无极值点；‎ 当时，有两个根 ‎，‎ 由题意知， ①，或 ②，‎ ‎①式无解，②式的解为，因此的取值范围是.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知斜率为的直线与双曲线C：相交于两点，且的中点为.‎ ‎（Ⅰ）求的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设的右顶点为，右焦点为，证明：过三点的圆与轴相切.‎ ‎【测量目标】双曲线的简单几何性质、圆锥曲线的中的定点问题.‎ ‎【考查方式】直线与双曲线消元后，根据中点坐标公式，解离心率；由离心率条件及点坐标证明等式，得出相关结论.‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）由题意知，的方程为：，‎ 代入的方程，并化简，得，（步骤1）‎ 设、，‎ 则， ①（步骤2）‎ 由为的中点知，故 即， ②（步骤3）‎ 故 所以的离心率.（步骤4）‎ ‎（Ⅱ）由①②知，的方程为：，‎ ‎，‎ 故不妨设，（步骤5）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ .（步骤6）‎ 又，故，‎ 解得，或（舍去），‎ 故.(步骤7) ‎ 连结，则由知，从而，且轴，因此以为圆心，为半径的圆经过、、三点，且在点处与轴相切，所以过、、三点的圆与轴相切.（步骤8）‎