全国高考文科数学试题及答案福建卷 14页

‎2009福建数学试题（文史类）‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若集合，则等于 A． B. C. D R 解析 本题考查的是集合的基本运算.属于容易题.‎ 解法1 利用数轴可得容易得答案B.‎ 解法2（验证法）去X=1验证.由交集的定义，可知元素1在A中，也在集合B中，故选B.‎ ‎2. 下列函数中，与函数 有相同定义域的是 A . B. C. D.‎ 解析 由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。故选A.‎ ‎3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 组别 频数 ‎12‎ ‎13‎ ‎24‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎13‎ ‎7‎ 则样本数据落在上的频率为 A. 0.13‎‎ B. ‎0.39 ‎ C. 0.52 D. 0.64‎ 解析 由题意可知频数在的有：13+24+15=52，由频率=频数总数可得0.52.故选C.‎ ‎4. 若双曲线的离心率为2，则等于 A. 2 B. ‎ C. D. 1‎ 解析 由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.‎ ‎5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是 解析 解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C.‎ ‎ 解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.‎ ‎6. 阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A．-1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ 解析当代入程序中运行第一次是，然后赋值此时；返回运行第二次可得，然后赋值；再返回运行第三次可得，然后赋值，判断可知此时，故输出，故选D。‎ ‎7. 已知锐角的面积为，，则角的大小为 A. 75° B. 60°‎ B. 45° D.30°‎ 解析 由正弦定理得，注意到其是锐角三角形，故C=°，选B ‎8. 定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是 A．‎ B. ‎ C. ‎ D．‎ 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减，不符合题意，综上选C。‎ ‎9. 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 A. -5 B. ‎1 C. 2 D. 3‎ 解析 如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.‎ ‎10. 设是平面内的两条不同直线；是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是 A. B. C. D. ‎ 解析 要得到必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。对于选项A，不是同一平面的两直线，显既不充分也不必要；对于选项B，由于与时相交直线，而且由于//m可得，故可得，充分性成立，而不一定能得到//m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B.对于选项C，由于m,n不一定的相交直线，故是必要非充分条件.对于选项D，由可转化为C，故不符合题意。综上选B.‎ ‎11. 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 A. B. ‎ C. D. ‎ 解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。‎ ‎12. 设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，‎ ‎ ∣∣=∣∣,则∣ •∣的值一定等于 A．以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积 C．，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积 解析 假设与的夹角为，∣ •∣=︱︱·︱︱·∣cos<，>∣=︱︱·︱︱•∣cos(90)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积，故选A。‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎13. 复数的实部是 -1 。‎ 解析 =-1-I,所以实部是-1。‎ ‎14. 点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。‎ 解析 如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。‎ ‎15. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .‎ 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。‎ 解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填 或是。‎ 解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得 ‎16. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：‎ ‎①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；‎ ‎②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。‎ 解析 这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.‎ 这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次 ‎17．(本小题满分12分）‎ 等比数列中，已知 ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。‎ 解：（Ⅰ）设的公比为 ‎ 由已知得，解得 ‎ （Ⅱ）由（I）得，，则，‎ ‎ 设的公差为，则有解得 ‎ 从而 ‎ 所以数列的前项和 ‎18．（本小题满分12分）‎ 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 ‎（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；‎ ‎（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。‎ 解：（Ⅰ）一共有8种不同的结果，列举如下：‎ ‎ （红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）‎ ‎ （Ⅱ）记“3次摸球所得总分为‎5”‎为事件A ‎ 事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3‎ ‎ 由（I）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为 ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数其中，‎ ‎（Ⅰ）若求的值；‎ ‎（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移 个单位所对应的函数是偶函数。‎ 解法一：‎ ‎（I）由得 ‎ 即又 ‎（Ⅱ）由（I）得，‎ ‎ 依题意，‎ ‎ 又故 ‎ 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 ‎ ‎ ‎ 是偶函数当且仅当 ‎ 即 ‎ 从而，最小正实数 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）由（I）得，‎ ‎ 依题意，‎ 又，故 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 是偶函数当且仅当对恒成立 亦即对恒成立。‎ 即对恒成立。‎ 故 从而，最小正实数 ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，平行四边形中，，将沿折起到的位置，使平面平面 ‎ （Ⅰ）求证：‎ ‎ （Ⅱ）求三棱锥的侧面积。‎ ‎（Ⅰ）证明：在中，‎ ‎ ‎ ‎ 又平面平面 ‎ 平面平面平面 ‎ 平面 ‎ 平面 ‎（Ⅱ）解：由（I）知从而 ‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ 又平面平面 ‎ ‎ ‎ 平面平面，平面 ‎ 而平面 ‎ 综上，三棱锥的侧面积，‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数且 ‎ （Ⅰ）试用含的代数式表示；‎ ‎ （Ⅱ）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）依题意，得 ‎ 由得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎ 故 ‎ 令，则或 ‎ ①当时，‎ ‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎—‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R ‎③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为R；‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎（Ⅲ）当时，得 ‎ 由，得 ‎ 由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为 ‎ 所以函数在处取得极值。‎ ‎ 故 ‎ 所以直线的方程为 ‎ 由得 ‎ 令 ‎ 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，‎ ‎ 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）同解法一。‎ ‎（Ⅲ）当时，得，由，得 由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，‎ 故 所以直线的方程为 由得 解得 所以线段与曲线有异于的公共点 ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；‎ ‎ （Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这 样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由 解法一：‎ ‎（Ⅰ）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 ‎ 故椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而 由得0‎ 设则得，从而 即又 由得 故 又 当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，‎ ‎ 此时的方程为 ‎ 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。‎ 设直线 则由解得或