江苏省南通市高考数学一模试卷解析版 22页

‎2016年江苏省南通市高考数学一模试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B=　　　　　　．‎ ‎2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为　　　　　　．‎ ‎3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是　　　　　　．‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为　　　　　　‎ ‎5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[0，4500]上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有　　　　　　户月消费额在1000元以下 ‎6．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=　　　　　　．‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为　　　　　　．‎ ‎8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为　　　　　　．‎ ‎9．若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为　　　　　　．‎ ‎10．已知，则的值是　　　　　　．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是　　　　　　．‎ ‎12．已知边长为6的正三角形ABC，，AD与BE交点P，则的值为　　　　　　．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为　　　　　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是　　　　　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．‎ ‎16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：‎ ‎（1）BE⊥AC；‎ ‎（2）BE∥平面ACD1．‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．‎ ‎18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．‎ ‎（1）按下列要求建立函数关系：‎ ‎①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；‎ ‎②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．‎ ‎（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．‎ ‎19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．‎ ‎20．若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”‎ ‎（1）已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an﹣1．‎ ‎①求{an}的通项公式；‎ ‎②试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．‎ ‎（2）已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z（n∈N*），求证：{an}为“等比源数列”‎ ‎　‎ ‎【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4­1：几何证明选讲]‎ ‎21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．‎ ‎　‎ ‎[选修4­2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知矩阵，求逆矩阵M﹣1的特征值．‎ ‎　‎ ‎[选修4­4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程．‎ ‎　‎ ‎[选修4­5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．‎ ‎　‎ ‎【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且．‎ ‎（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设fn（x）是fn﹣1（x）的导数，n∈N*．‎ ‎（1）求f1（x），f2（x）的表达式；‎ ‎（2）写出fn（x）的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省南通市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B=　{0，1}　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】直接根据交集的定义即可求出．‎ ‎【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，‎ 则A∩B={0，1}，‎ 故答案为：{0，1}．‎ ‎　‎ ‎2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为　±　．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】根据复数的运算性质得到a2+4=9，解出即可．‎ ‎【解答】解：若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，‎ 即a2+4=9，解得：a=±，‎ 故答案为：±．‎ ‎　‎ ‎3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有5种情形，由概率公式可得．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，4这4个数中依次随机地取2个数有 ‎（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，‎ 其中满足所取2个数的乘积为偶数的有（1，2），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5种情形，‎ ‎∴所求概率，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为　14　‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，一直求出不满足循环条件时S的值．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 S=0，I=1，‎ 满足条件S≤10，执行循环，S=1，I=2，‎ 满足条件S≤10，执行循环，S=1+22=5，I=3，‎ 满足条件S≤10，执行循环，S=1+22+32=14，I=4，‎ 不满足条件S≤10，退出循环，输出S的值为14．‎ 故答案为：14．‎ ‎　‎ ‎5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[0，4500]上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有　750　户月消费额在1000元以下 ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由直方图可得1000元以下共有10000×（0.00005+0.0001）×500=750户，‎ 故答案为：750．‎ ‎　‎ ‎6．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=　63　．‎ ‎【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】直接利用等比数列的性质，求解即可．‎ ‎【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，‎ 所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也是等比数列，（S4﹣S2）2=S2•（S6﹣S4），‎ 即122=3•（S6﹣15），‎ 解得S6=63‎ 故答案为：63．‎ ‎　‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为　2x2﹣y2=1　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】根据题意和双曲线的渐近线方程列出方程组，求出a2和b2的值，即可求出双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得，，‎ 解得，b2=1，‎ 所以双曲线的方程为2x2﹣y2=1，‎ 故答案为：2x2﹣y2=1．‎ ‎　‎ ‎8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积=三棱锥D﹣B1AE的体积，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积=三棱锥D﹣B1AE的体积 ‎==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】函数的值；分段函数的应用．‎ ‎【分析】由已知中函数f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，可得a，b的值，进而可得f（a+b）的值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）==为奇函数，‎ 故f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，‎ 故．即，‎ ‎∴f（x）=，‎ ‎∴f（a+b）=f（1）=1﹣2=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎10．已知，则的值是　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式，同角三角的基本关系，化简要求的式子可得结果．‎ ‎【解答】解：∵已知，则=﹣sin（x+）+‎ ‎=﹣sin（x+）+1﹣=﹣+1﹣=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎【考点】两点间距离公式的应用．‎ ‎【分析】设P（x，x+m），由PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4﹣x2，可得：m=﹣x±，x∈[﹣2，2]．通过三角函数代换即可得出．‎ ‎【解答】解：设P（x，x+m），∵PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，‎ ‎∴4（x﹣1）2+4（x+m）2=（x﹣4）2+（x+m）2，‎ 化为（x+m）2=4﹣x2，‎ ‎∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，‎ ‎∴m=﹣x±，‎ 令x=2cosθ，θ∈[0，π]，‎ ‎∴m=﹣2cosθ±2sinθ ‎=∈，‎ 实数m的取值范围是，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．已知边长为6的正三角形ABC，，AD与BE交点P，则的值为　3　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意作图辅助，从而可得点P是正三角形ABC的中心，从而可求平面向量的数量积．‎ ‎【解答】解：由题意作图如右图，‎ ‎∵，‎ ‎∴D，E分别为线段BC，AC的中点，‎ ‎∴点P是正三角形ABC的中心，‎ ‎∴||=•|BE|=••|AB|=2，‎ ‎||=|BP|=，‎ 且∠BPD=，‎ 故=||||cos=6×=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由y=x2，得y′=2x，切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y=2x1x﹣x12，‎ 由y=x3，得y′=3x2，切线方程为y﹣x23=3x22（x﹣x2），即y=3x22x﹣2x23，‎ ‎∴2x1=3x22，x12=2x23，‎ 两式相除，可得=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是　　．‎ ‎【考点】函数的值；二次函数的性质．‎ ‎【分析】由对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，可得（a，b）对应的可行域，进而根据基本不等式得到ab的最大值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=2ax2+3b图象的顶点为（0，3b），‎ 若若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，‎ 则，‎ 其对应的平面区域如下图所示：‎ 令Z=ab，则在第一，三象限a，b同号时ab取最大值，‎ 由2a+3b=1，a＞0，b＞0得：ab≤=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．‎ ‎（2）由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得sin（A﹣B）=0，根据﹣π＜A﹣B＜π，可求A﹣B=0，可得a=b=2，利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，‎ ‎∴（a+b）2﹣c2=ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，‎ ‎∴cosC==﹣，‎ ‎∵C为三角形内角，‎ ‎∴C=．‎ ‎（2）∵c=2acosB，‎ ‎∴由正弦定理可得 sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，‎ ‎∴sin（A﹣B）=0，又﹣π＜A﹣B＜π，‎ ‎∴A﹣B=0，可得：a=b=2，‎ ‎∴S△ABC=absinC==．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：‎ ‎（1）BE⊥AC；‎ ‎（2）BE∥平面ACD1．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）推导出BA1=BC1，点E是A1C1的中点，从而BE⊥A1C1，由此能证明BE⊥AC．‎ ‎（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1，推导出四边形BED1O是平行四边形，由此能证明BE∥平面ACD1．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，‎ ‎∴BA1=BC1，‎ ‎∵点E是A1C1的中点，‎ ‎∴BE⊥A1C1，‎ ‎∵AC∥A1C1，∴BE⊥AC．‎ ‎（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1，‎ ‎∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，‎ ‎∴D1EBO，∴四边形BED1O是平行四边形，‎ ‎∴BE∥OD1，‎ ‎∵OD1⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，‎ ‎∴BE∥平面ACD1．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的离心率公式及b2=a2﹣c2，及点A（2，1），联立即可求得a，b及c的值，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得xB+xC=﹣，根据线段BC被y轴平分，即xB+xC=0，即可求得m的值，根据向量的坐标表示求得•=0，即可求得k的值，将点A代入直线方程，当k=，不满足，故求得k的值．‎ ‎【解答】解：（1）由条件知椭圆离线率e==，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=a2，将点A（2，1），代入椭圆方程得解得，‎ 故椭圆方程为：；‎ ‎（2）将直线l：y=kx+m（k≠0）代入椭圆方程，x2+4（kx+m）2﹣8=0，‎ 整理得：（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣8=0，‎ 线段BC被y平分得：xB+xC=﹣=0，‎ k≠0，m=0，‎ ‎∴B，C关于原点对称，设B（x，kx），C（﹣x，﹣kx），‎ ‎∴x2=，‎ 又∵AB⊥AC，A（2，1），‎ ‎∴•=（x﹣2）（﹣x﹣2）+（kx﹣1）（﹣kx﹣1）=5﹣（1+k2）x2=5﹣=0，‎ 解得k=±，‎ 由k=，直线y=x过点A（2，1）故k=不符合题意，‎ 所以，此时直线l的直线方程y=﹣x．‎ ‎　‎ ‎18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．‎ ‎（1）按下列要求建立函数关系：‎ ‎①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；‎ ‎②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．‎ ‎（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．‎ ‎【考点】弧度制的应用；函数解析式的求解及常用方法；三角函数的最值．‎ ‎【分析】（1）结合图形，①用sinα求出PO1、OP以及OQ的值，计算△OPQ的面积S即可；‎ ‎②设OQ=t（km），∠OQP=2θ，用tanθ表示出OP，再计算△OPQ的面积S；‎ ‎（2）用（1）中②函数关系S==，设x=，函数f（x）=x﹣x3，‎ 求出f（x）的最大值即可求出S的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，‎ ‎①设∠OPQ=α（rad），‎ 则sinα=，‎ ‎∴PO1=，‎ OP=1+，‎ OQ=OP•tanα=（1+）•tanα；‎ ‎∴△OPQ的面积S=OP•OQ=•（1+）（1+）•tanα=••tanα；‎ ‎②设OQ=t（km），∠OQP=2θ，‎ 则tanθ=，‎ tan2θ===，‎ ‎∴OP=OQ•tan2θ=，‎ ‎∴△OPQ的面积S=OP•OQ=••t=；‎ ‎（2）用（1）中②函数关系，S==，‎ 设x=＞0，函数f（x）=x﹣x3，（x＞0）；‎ 则f′（x）=1﹣3x2，‎ 令f′（x）=0，解得x=；‎ ‎∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，‎ x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；‎ ‎∴当x=时，f（x）取得最大值是f（）=；‎ ‎∴△OPQ的面积S的最小值是=．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；‎ ‎（2）求出函数的最小值，通过讨论a的范围，从而求出函数的零点的个数即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=（）′lnx+•=，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞e﹣2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e﹣2，‎ ‎∴f（x）在（0，e﹣2）递减，在（e﹣2，+∞）递增；‎ ‎（2）由（1）得：f（x）min=f（e﹣2）=a﹣，‎ 显然a＞时，f（x）＞0，无零点，‎ a=时，f（x）=0，有1个零点，‎ a＜时，f（x）＜0，有2个零点．‎ ‎　‎ ‎20．若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”‎ ‎（1）已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an﹣1．‎ ‎①求{an}的通项公式；‎ ‎②试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．‎ ‎（2）已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z（n∈N*），求证：{an}为“等比源数列”‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】（1）①由an+1=2an﹣1，可得an+1﹣1=2（an﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎②假设{an}为“等比源数列”，则此数列中存在三项：ak＜am＜an，k＜m＜n．满足=akan，代入化为：2m﹣k+1（2m﹣2+1）=2n﹣1+2n﹣k+1，利用数的奇偶性即可得出．‎ ‎（2）设等差数列{an}的公差为d，假设存在三项使得，（k＜n＜m）．展开：2a1（n﹣1）+（n﹣1）2d=a1[（k﹣1）+（m﹣1）]+（k﹣1）（m﹣1）d，当n﹣1既是（k﹣1）与m﹣1的等比中项，又是（k﹣1）与m﹣1的等差中项时，原命题成立．‎ ‎【解答】解：（1）①∵an+1=2an﹣1，∴an+1﹣1=2（an﹣1），‎ ‎∴数列{an﹣1}是等比数列，首项为1，公比为2．‎ ‎∴an﹣1=2n﹣1，‎ ‎∴an=2n﹣1+1．‎ ‎②假设{an}为“等比源数列”，‎ 则此数列中存在三项：ak＜am＜an，k＜m＜n．‎ 满足=akan，‎ ‎∴（2m﹣1+1）2=（2k﹣1+1）（2n﹣1+1），‎ 化为：22m﹣2+2m=2k+n﹣2+2n﹣1+2k﹣1，‎ ‎∴2m﹣k+1（2m﹣2+1）=2n﹣1+2n﹣k+1，‎ 可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立．‎ 故{an}不是“等比源数列”．‎ ‎（2）设等差数列{an}的公差为d，‎ 则an=a1+（n﹣1）d，a1≠0，an∈Z（n∈N*），‎ 假设存在三项使得，（k＜n＜m）．‎ ‎∴=[a1+（k﹣1）d][a1+（m﹣1）d]，‎ 展开：2a1（n﹣1）+（n﹣1）2d=a1（k﹣1）+（m﹣1）+（k﹣1）（m﹣1）d，‎ 当n﹣1既是（k﹣1）与m﹣1的等比中项，又是（k﹣1）与m﹣1的等差中项时，原命题成立．‎ ‎　‎ ‎【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4­1：几何证明选讲]‎ ‎21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】由题意AC⊥BC，AC==8，由已知得Rt△ACD∽Rt△ABC，从而AD=6.4，利用切割线定理、勾股定理，由此能求出DE的长．‎ ‎【解答】解：由题意AC⊥BC．AC==8，‎ ‎∵过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，AD交圆与E，‎ ‎∴∠ACD=∠ABC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD==6.4‎ 又DC2=DE•6.4，DC2+6.42=64，‎ 解得DE=3.6．‎ ‎　‎ ‎[选修4­2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知矩阵，求逆矩阵M﹣1的特征值．‎ ‎【考点】逆变换与逆矩阵．‎ ‎【分析】先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，令矩阵M﹣1的特征多项式等于0，即可求得矩阵M﹣1的特征值．‎ ‎【解答】解：矩阵M的行列式为=1×2﹣2×0=2，‎ ‎∴矩阵M的逆矩阵M﹣1=，‎ 矩阵M﹣1的特征多项式为f（λ）=（λ﹣）（λ﹣1）=0‎ 令f（λ）=0可得λ=或λ=1‎ 即矩阵M﹣1的特征值为或1．‎ ‎　‎ ‎[选修4­4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】先求出直线AC的直角坐标方程，再转化为极坐标方程．‎ ‎【解答】解：点A的直角坐标为A（，）．‎ 圆C的普通方程为x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=8．‎ ‎∴圆C的圆心为C（0，2）．‎ ‎∴直线AC的方程为，即x+y﹣2=0．‎ ‎∴直线AC的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2．‎ ‎　‎ ‎[选修4­5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】利用作差法，通过分类讨论判断即可．‎ ‎【解答】证明：a6+b6﹣ab（a4+b4）=（a﹣b）（a5﹣b5），‎ 当a≥b≥0时，a5≥b5，a﹣b≥0，a5﹣b5≥0，可得（a﹣b）（a5﹣b5）≥0．所以a6+b6≥ab（a4+b4）．‎ 当0≤a＜b时，a5＜b5，a﹣b＜0，a5﹣b5＜0，可得（a﹣b）（a5﹣b5）＞0．所以a6+b6＞ab（a4+b4）．‎ 综上a≥0，b≥0，a6+b6≥ab（a4+b4）．‎ ‎　‎ ‎【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且．‎ ‎（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CP所成角的余弦值．‎ ‎（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，‎ A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），‎ ‎∵，∴（a，b，c﹣2）=（﹣a，2﹣b，﹣c）=（﹣，1﹣，﹣），‎ ‎∴，解得a=0，b=，c=，∴P（0，，），‎ ‎=（1，0，0），=（﹣1，﹣，），‎ 设直线AB与CP所成角为θ，‎ cosθ=|cos＜＞|===，‎ ‎∴直线AB与CP所成角的余弦值为．‎ ‎（2）=（1，，﹣），=（0，﹣，﹣），=（0，，﹣），‎ 设平面APC的法向量=（x，y，z），‎ 则，取y=2，得=（﹣4，2，﹣1），‎ 设平面PCD的法向量=（a，b，c），‎ 则，取b=1，得=（0，1，1），‎ 设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设fn（x）是fn﹣1（x）的导数，n∈N*．‎ ‎（1）求f1（x），f2（x）的表达式；‎ ‎（2）写出fn（x）的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【考点】数学归纳法；导数的运算．‎ ‎【分析】（1）根据导数的运算法则求导即可，‎ ‎（2）先利用诱导公式，猜想猜想fn（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）（*），再根据数学归纳法证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）f1（x）=f0′（x）=（sinx+cosx）+x（cosx﹣sinx）=（x﹣1）sin（﹣x）+（x+1）cosx，‎ f2（x）=f1′（x）=﹣sinx+（1﹣x）cosx+cosx﹣（1+x）sinx=﹣（2+x）sinx﹣（x﹣2）cosx，‎ ‎（2）由（1）得f3（x）=f2′（x）=﹣（3+x）cosx+（x﹣3）sinx，‎ 把f1（x），f2（x），f3（x），‎ f1（x）=（x+1）sin（x+）+（x﹣1）cos（x+），‎ f2（x）=（x+2）sin（x+）+（x﹣2）cos（x+），‎ f3（x）=（x+3）sin（x+）+（x﹣2）cos（x+），‎ 猜想fn（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）（*），‎ 下面用数学归纳法证明上述等式，‎ ‎①当n=1时，由（1）可知，等式（*）成立，‎ ‎②假设当n=k时，等式（*）成立，即fk（x）=（x+k）sin（x+）+（x﹣k）cos（x+），‎ 则当n=k+1时，fk+1（x）=fk′（x）=sin（x+）+（x+k）cosx+）+cos（x+）+（x﹣k）[﹣sin（x+）]，‎ ‎=（x+k+1）cos（x+）+[x﹣（k+1）][﹣sin（x+）]，‎ ‎=（x+k+1）sin（x+π）+[x﹣（k+1）]cos（x+π），‎ 即当n=k+1时，等式（*）成立 综上所述，当n∈N*，fn（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）成立．‎ ‎　‎ ‎2016年8月22日