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- 2021-05-13 发布
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2016年全国普通高考适应性测试（第三次）
理科数学试题
（满分150分 考试时间120分钟）
第1题图
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．设全集U＝R，集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝3－2x}，
则图中阴影部分表示的集合是（ ）
开始
p＝1，n＝1
n＝n＋1
p>2016?
输出n
结束
第4题图
是
否
p=p+2n-1
A．{x|0且a≠0)的图象必过点(0,1)；
④已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)＝0.2.
第6题图
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，
俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）
A. B. C．1 D.
7．已知实数x、y满足：，z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是（ ）
A．[，5] B．[0,5] C． [0,5) D． [，5)
8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年
国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能
参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（ ）
A．72 B．108 C．180 D．216
9．若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是（ ）
A. B. C.或 D.或
10．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A．1 B． C． D．
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，
△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|
的长度依次为（ ）
A．a，a B．a， C．， D．，a
12．设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动
点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，
则实数a的取值范围是（ ）
A．(－∞，0) B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.
13．已知向量，则= .
14．设等差数列的前n项和为，若，则 = ____________．
15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数
据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. 家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方
程为y＝bx＋a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为_________千元．
（附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b.）
16．已知点为圆与圆的公共点，， ，若
，则点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
（I）求的值；
（II）若，求△ABC的面积．
18．(本小题满分12分）
某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2015年1月-2015年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：
指数API
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,250]
(250,300]
>300
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中重度污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
（I）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；
（II）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季节
合计
100
下面临界值表供参考.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中.
19．（本小题满分12分）
在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，．
（I）求证：平面平面；
（II）设为棱上一点，，
试确定的值使得二面角为．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点作垂直于轴的直线，设直线与定直线交于点，试探索当变化时，直线
是否过定点？
21．（本小题满分12分）
已知函数，.
（I）设.
① 若函数在处的切线过点，求的值；[来源:学科网ZXXK]
② 当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；
（II）设函数，且，求证：当时，.
请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，作CM⊥AB，垂足为点M.
求证：（Ⅰ）DC是⊙O的切线；
（Ⅱ） AM · MB=DF · DA.
23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为.
（I）求曲线C的直角坐标方程；
（II）设曲线C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|的值.
24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.
（I）试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范围；
（II）若关于x的不等式f(x)0；
当x∈(2,4)时，h′(x)<0，即函数h(x)在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，
因此当x＝2时，h(x)取得最大值，最大值是h(2)＝，故满足题意的实数a的取值范围是.
故选D.
二、填空题：
13．9 14．9 15．8 16．
16．设则圆，
圆，[来源:学.科.网]
故是关于的方程的两根
因此由韦达定理得，所以点在圆上，其到直线距离就是点与直线上任意一点之间的距离的最小值，为
17．（I）因为，，所以．
又由正弦定理，得，， ，
化简得，．因为，所以．
所以． ………………………6分
（II）因为，所以．
因为，所以．
因为， ，所以．
所以△ABC的面积． ………………………12分
18．（I）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈（200，600]元”为事件A
由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，∴.………5分
（II）根据以上数据得到如表：
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63[来源:学科网ZXXK]
7
70
合计
85
15
100
K2的观测值≈4.575＞3.841.
所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关．………12分
19．（I）∵平面，平面，平面，∴，，
在梯形中，过点作作于，在中，，
又在中，，
∴，①
∵，，，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，②[来源:学科网ZXXK]
由①②，∵，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面；………6分
（II）以为原点，，，所在直线为，，
轴建立空间直角坐标系(如图)
则，，，，
令，则，，
∵，∴，∴，
∵平面，∴是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则 ，即 即 ，
不妨令，得，
∵二面角为，∴，解得，
∵在棱上，∴，故为所求．………12分
20．（I）由题设，得解得从而，
所以椭圆的标准方程为． ………………………4分
（II）令，则，或者，．
当，时，；直线
当，时，，直线
所以，满足题意的定点只能是． 设为D点 .下面证明P,B,D三点共线．
设，，由于垂直于轴，所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上．
由得，
，，．①
∵，
①式代入上式，得， 所以 ．
∴点恒在直线上，从而P,B,D三点共线．即直线恒过定点． ………………12分
21．（I）①由题意，得，
所以函数在处的切线斜率，
又，所以函数在处的切线方程，
将点代入，得. ……………3分
②当，可得，因为，所以，
1）当时，，函数在上单调递增，而，
所以只需，解得，从而.
2）当时，由，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以函数在上有最小值为，
令，解得，所以.
综上所述，. ……………6分[来源:学科网ZXXK]
（II）由题意，，
而等价于，
令，
则，且，，
令，则，
因， 所以，
所以导数在上单调递增，于是，
从而函数在上单调递增，即. ……………12分
22.（Ⅰ）连结OC，则∠OAC=∠OCA. 又∠OAC=∠FAC，所以∠FAC=∠OCA，所以OC∥AD，因为CD⊥AD，所以CD⊥OC，即CD是⊙O的切线.
（Ⅱ）连结BC. 在Rt△ACB中，CM2=AM · MB.因为CD是⊙O的切线，所以CD2=DF·DA.又Rt△AMC≌Rt△ADC，所以CM=CD， 所以AM · MB=DF · DA.
23．（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为．.¼¼¼4分
（Ⅱ）将带入得，
所以.¼¼¼10分
24.（I）f(x)＝|x－4|＋|x＋5|＝
又|2x＋1|＝
所以若f(x)＝|2x＋1|，则x的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞)．.¼¼¼5分
（II）因为f(x)＝|x－4|＋|x＋5|≥|(x－4)－(x＋5)|＝9，∴f(x)min＝9.
所以若关于x的不等式f(x)f(x)min＝9，
即a的取值范围是(9，＋∞)．.¼¼¼10分
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