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- 2021-05-13 发布
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2013-2014学年高中数学人教A版选修4-1知能达标演练:2-1圆周角定理
一、选择题
1.下列说法中:(1)直径相等的两个圆是等圆;(2)长度相同的两条弧是等弧;(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦;(4)一条弦把圆分成两条弧,这两条弧不可能是等弧,正确的有
( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 考查圆的一些基本概念.
答案 B
2.如图所示,若D是的中点,则与∠ABD相等的角的个数是
( ).
A.7 B.3
C.2 D.1
解析 由同弧或等弧所对的圆周角相等知∠ABD=∠CBD=∠ACD=∠DAC,故与∠ABD相等的角有3个.
答案 B
3.如图,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于
( ).
A.4π B.8π
C.12π D.16π
解析 连接OA、OB,
∵∠ACB=30°,
∴∠AOB=60°,
又∵OA=OB,
∴△AOB为等边三角形,
又AB=4,
∴OA=OB=4,
∴S⊙O=π·42=16π.
答案 D
4.如图所示,若圆内接四边形的对角线相交于E,则图中相似三角形有( ).
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
解析 由推论1知∠ADB=∠ACB,∠ABD=∠ACD,∠BAC=∠BDC,∠CAD=∠CBD,
∴△AEB∽△DEC,△AED∽△BEC.
答案 B
二、填空题
5.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边交于点P,则BP长为________.
解析 连接CP,由推论2知∠CPA=90°,
即CP⊥AB,由射影定理知AC2=AP·AB,
∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4.
答案 6.4
6.如图所示,AB为⊙O的直径,AC=4 cm,BC=3 cm,CD⊥AB于D,则CD的长为________ cm.
解析 由AB为⊙O的直径,可知∠ACB=90°,由勾股定理可得AB=5 cm,因S△ACB=AC·BC=AB·CD.
故3×4=5·CD,所以CD= cm.
答案
7.如图所示,在⊙O中,已知∠ACB=∠CDB=60°,AC=3,则△ABC的周长是________.
解析 由圆周角定理得∠A=∠D=∠ACB=60°,所以△ABC为等边三角形,所以周长等于9.
答案 9
8.如图所示,若△ABC为等腰三角形,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠A=40°,D是B的中点,E是A的中点,分别连接BD、DE、BE,则△BDE的三内角的度数分别是________.
解析 如图所示,连接AD.
∵AB=AC,D是B的中点,
∴AD过圆心O.
∵∠A=40°,
∴∠BED=∠BAD=20°.
∠CBD=∠CAD=20°.
∵E是A的中点,
∴∠CBE=∠CBA=35°.
∴∠EBD=∠CBE+∠CBD=55°.
∴∠BDE=180°-20°-55°=105°.
答案 55° 20° 105°
三、解答题
9.如图所示,AB是⊙O的直径,弦AC=3 cm,BC=4 cm,CD⊥AB,垂足为D,求AD、BD和CD的长.
解 ∴AB是⊙O的直径,
∵AC⊥BC.
∵CD⊥AB,
∴AC2=AD·AB,
BC2=BD·AB.
∵AC=3 cm,
BC=4 cm,
∴AB=5 cm.
∴AD= cm,
BD= cm.
∵CD2=AD·BD=×= cm2.
∴CD= = cm,AD= cm,
BD= cm.
10.如图,△ABC内接于⊙O,=,点D是上任意一点,AD=6 cm,BD=5 cm,CD=3 cm,求DE的长.
解 在题图中∵=,
∴∠ADB=∠CDE,
又∵=B,
∴∠BAD=∠ECD,∴△ABD∽△CED,
∴=,即=,
∴ED=2.5 cm.
11.(拓展深化)如图①所示,△ABC内接于⊙O,AB=AC,D是BC边上的一点,E是直线AD和△ABC外接圆的交点.
(1)求证:AB2=AD·AE;
(2)如图②所示,当D为BC延长线上的一点时,第(1)题的结论成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
证明 (1)如图③,连接BE.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠AEB,
∴∠ABC=∠AEB.
∴△ABD∽△AEB.
∴AB∶AE=AD∶AB,
即AB2=AD·AE.
(2)如图④,连接BE、EC,
∵四边形ABCE内接于⊙O,
∴∠CED=∠ABC,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠CED=∠ACB,
∵∠AEC=180°-∠CED,
∠ACD=180°-∠ACB,
∴∠AEC=∠ACD,∴△ACE∽△ADC,
∴=,∴AB2=AD·AE.