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  • 2021-05-13 发布

高考压轴题跟踪演练系列

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‎2011高考数学――压轴题跟踪演练系列 题海无涯,方法是岸 ‎1.(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求这三条曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.‎ 解:(Ⅰ)设抛物线方程为,将代入方程得 ‎………………………………………………(1分)‎ 由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………(2分)‎ 对于椭圆,‎ ‎………………………………(4分)‎ 对于双曲线,‎ ‎………………………………(6分)‎ ‎(Ⅱ)设的中点为,的方程为:,以为直径的圆交于两点,中点为 令………………………………………………(7分)‎ ‎…………(12分)‎ ‎2.(14分)已知正项数列中,,点在抛物线上;数列中,点在过点,以方向向量为的直线上.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,问是否存在,使成立,若存在,求出值;若不存在,说明理由;‎ ‎(Ⅲ)对任意正整数,不等式成立,求正数的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)将点代入中得 ‎…………………………………………(4分)‎ ‎(Ⅱ)………………………………(5分)‎ ‎……………………(8分)‎ ‎(Ⅲ)由 ‎………………………………(14分)‎ ‎3.(本小题满分12分)将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), ‎ 得到曲线C.‎ ‎(1) 求C的方程;‎ ‎(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,‎ 延长线段ON交C于点E.‎ 求证: 的充要条件是.‎ 解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分)‎ 又∴.‎ 所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分)‎ ‎(2)设点, , 点N的坐标为,‎ ㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, ‎ 不合题意,舍去; ………………(5分)‎ ㈡设直线l: ‎ 由消去x, ‎ 得………………①‎ ‎∴………………(6分)‎ ‎∴,‎ ‎∴点N的坐标为.………………(8分)‎ ‎①若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上, ‎ 得, 即 ∴舍去). ‎ 由方程①得 又 ‎∴.………………(10分)‎ ‎②若, 由①得∴‎ ‎∴点N的坐标为, 射线ON方程为: ,‎ 由 解得 ∴点E的坐标为 ‎∴.‎ 综上, 的充要条件是.………………(12分)‎ ‎4.(本小题满分14分)已知函数.‎ ‎(1) 试证函数的图象关于点对称;‎ ‎(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和 ‎(3) 设数列满足: , . 设.‎ 若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.‎ 解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.‎ 由 得 所以, 点P的坐标为P.………………(2分)‎ 由点在函数的图象上, 得.‎ ‎∵‎ ‎ ∴点P在函数的图象上.‎ ‎∴函数的图象关于点对称. ………………(4分)‎ ‎(2)由(1)可知, , 所以,‎ 即………………(6分)‎ 由, ……………… ①‎ 得 ………………②‎ 由①+②, 得 ‎∴………………(8分)‎ ‎(3) ∵, ………………③‎ ‎∴对任意的. ………………④‎ 由③、④, 得即.‎ ‎∴.……………(10分)‎ ‎∵∴数列是单调递增数列.‎ ‎∴关于n递增. 当, 且时, .‎ ‎∵‎ ‎∴………………(12分)‎ ‎∴即∴ ∴m的最大值为6. ……………(14分)‎ ‎5.(12分)、是椭圆的左、右焦点,是椭圆的右准线,点,过点的直线交椭圆于、两点.‎ (1) 当时,求的面积;‎ (2) 当时,求的大小;‎ (3) 求的最大值.‎ 解:(1)‎ ‎(2)因,‎ 则 (1) 设 ‎ ‎,‎ 当时,‎ ‎6.(14分)已知数列中,,当时,其前项和满足,‎ (2) 求的表达式及的值;‎ (3) 求数列的通项公式;‎ (4) 设,求证:当且时,.‎ 解:(1)‎ 所以是等差数列.则.‎ ‎.‎ ‎(2)当时,,‎ 综上,.‎ ‎(3)令,当时,有 (1)‎ 法1:等价于求证.‎ 当时,令 ‎,‎ 则在递增.‎ 又,‎ 所以即.‎ 法(2)‎ ‎ (2)‎ ‎ (3)‎ 因,所以 由(1)(3)(4)知.‎ 法3:令,则 所以 因则,‎ 所以 (5)‎ 由(1)(2)(5)知 ‎7. (本小题满分14分)‎ 第21题 设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点,从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.‎ ‎(1) 证明:无论P点在什么位置,总有||2 = |·| ( O为坐标原点);‎ ‎(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围;‎ 解:(1) 设OP:y = k x, 又条件可设AR: y = (x – a ), ‎ ‎ 解得:= (,), 同理可得= (,), ‎ ‎∴|·| =|+| =. 4分 ‎ 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:‎ m2 =, n2 = , ‎ ‎∴ ||2 = :m2 + n2 = + = ,‎ ‎∵点P在双曲线上,∴b2 – a2k2 > 0 . ‎ ‎ ∴无论P点在什么位置,总有||2 = |·| . 4分 ‎(2)由条件得:= 4ab, 2分 即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 2分