高考压轴题跟踪演练系列 8页

‎2011高考数学――压轴题跟踪演练系列 题海无涯，方法是岸 ‎1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求这三条曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.‎ 解：（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得 ‎………………………………………………（1分）‎ 由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………（2分）‎ 对于椭圆，‎ ‎………………………………（4分）‎ 对于双曲线，‎ ‎………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为 令………………………………………………（7分）‎ ‎…………（12分）‎ ‎2．（14分）已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）将点代入中得 ‎…………………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）………………………………（5分）‎ ‎……………………（8分）‎ ‎（Ⅲ）由 ‎………………………………（14分）‎ ‎3.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), ‎ 得到曲线C.‎ ‎(1) 求C的方程;‎ ‎(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,‎ 延长线段ON交C于点E.‎ 求证: 的充要条件是.‎ 解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分)‎ 又∴.‎ 所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分)‎ ‎(2)设点, , 点N的坐标为,‎ ㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, ‎ 不合题意,舍去; ………………(5分)‎ ㈡设直线l: ‎ 由消去x, ‎ 得………………①‎ ‎∴………………(6分)‎ ‎∴,‎ ‎∴点N的坐标为.………………(8分)‎ ‎①若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上, ‎ 得, 即 ∴舍去). ‎ 由方程①得 又 ‎∴.………………(10分)‎ ‎②若, 由①得∴‎ ‎∴点N的坐标为, 射线ON方程为: ,‎ 由 解得 ∴点E的坐标为 ‎∴.‎ 综上, 的充要条件是.………………(12分)‎ ‎4.（本小题满分14分）已知函数.‎ ‎(1) 试证函数的图象关于点对称;‎ ‎(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和 ‎(3) 设数列满足: , . 设.‎ 若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.‎ 解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.‎ 由 得 所以, 点P的坐标为P.………………(2分)‎ 由点在函数的图象上, 得.‎ ‎∵‎ ‎ ∴点P在函数的图象上.‎ ‎∴函数的图象关于点对称. ………………(4分)‎ ‎(2)由(1)可知, , 所以,‎ 即………………(6分)‎ 由, ……………… ①‎ 得 ………………②‎ 由①＋②, 得 ‎∴………………(8分)‎ ‎(3) ∵, ………………③‎ ‎∴对任意的. ………………④‎ 由③、④, 得即.‎ ‎∴.……………(10分)‎ ‎∵∴数列是单调递增数列.‎ ‎∴关于n递增. 当, 且时, .‎ ‎∵‎ ‎∴………………(12分)‎ ‎∴即∴ ∴m的最大值为6. ……………(14分)‎ ‎5．（12分）、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.‎ （1） 当时，求的面积；‎ （2） 当时，求的大小；‎ （3） 求的最大值.‎ 解：（1）‎ ‎（2）因，‎ 则 （1） 设 ‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎6．（14分）已知数列中，，当时，其前项和满足，‎ （2） 求的表达式及的值；‎ （3） 求数列的通项公式；‎ （4） 设，求证：当且时，.‎ 解：（1）‎ 所以是等差数列.则.‎ ‎.‎ ‎（2）当时，，‎ 综上，.‎ ‎（3）令，当时，有 （1）‎ 法1：等价于求证.‎ 当时，令 ‎，‎ 则在递增.‎ 又，‎ 所以即.‎ 法（2）‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ 因，所以 由（1）（3）（4）知.‎ 法3：令，则 所以 因则，‎ 所以 （5）‎ 由（1）（2）（5）知 ‎7． (本小题满分14分)‎ 第21题 设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.‎ ‎(1) 证明：无论P点在什么位置，总有||2 = |·| ( O为坐标原点)；‎ ‎(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；‎ 解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x – a ), ‎ ‎ 解得：= (,), 同理可得= (,), ‎ ‎∴|·| =|+| =. 4分 ‎ 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:‎ m2 =, n2 = , ‎ ‎∴ ||2 = :m2 + n2 = + = ,‎ ‎∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 . ‎ ‎ ∴无论P点在什么位置，总有||2 = |·| . 4分 ‎（2）由条件得：= 4ab, 2分 即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 2分