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- 2021-05-13 发布
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抛物线
(1)抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.
【例1】P为抛物线上任一点,F为焦点,则以PF为直径的圆与y轴( )
相交 相切 相离 位置由P确定
【解析】如图,抛物线的焦点为,准线是
.作PH⊥于H,交y轴于Q,那么,
且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的
中位线,.故以
PF为直径的圆与y轴相切,选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则
分别是相离或相交的.
(2)焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的.
【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点,求证:
(1) (2)
【证明】(1)如图设抛物线的准线为,作
,
.两式相加即得:
(2)当AB⊥x轴时,有
成立;
当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:.代入抛物线方程:
.化简得:
∵方程(1)之二根为x1,x2,∴.
.
故不论弦AB与x轴是否垂直,恒有成立.
(3)切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功.
【例3】证明:过抛物线上一点M(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0)
【证明】对方程两边取导数:
.由点斜式方程:
y0y=p(x+x0)
(4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不到的收获.
例如:1.一动圆的圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则此动圆必过定点 ( )
显然.本题是例1的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选B.
2.抛物线的通径长为2p;
3.设抛物线过焦点的弦两端分别为,那么:
以下再举一例
【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1,证明:以A1B1为直径的圆必过一定点
【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A1B1=AB=2p,而A1B1与AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.
【证明】如图设焦点两端分别为,
那么:
设抛物线的准线交x轴于C,那么
.
这就说明:以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.
● 通法 特法 妙法
(1)解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等).
【例5】(07.四川文科卷.10题)已知抛物线
y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点
A、B,则|AB|等于( )
A.3 B.4 C.3 D.4
【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直,且线段
AB的中点必在直线x+y=0上,因得解法如下.
【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称,∴设直线AB的方程为:. 由
设方程(1)之两根为x1,x2,则.
设AB的中点为M(x0,y0),则.代入x+y=0:y0=.故有.
从而.直线AB的方程为:.方程(1)成为:.解得:
,从而,故得:A(-2,-1),B(1,2).,选C.
(2)几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状,人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法,其中最有成效的就是几何法.
【例6】(07.全国1卷.11题)抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,,垂足为,则的面积( )
A. B. C. D.
【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°.
△AFK为正三角形.设准线交x轴于M,则
且∠KFM=60°,∴.选C.
【评注】(1)平面几何知识:边长为a的正三角形的
面积用公式计算.
(2)本题如果用解析法,需先列方程组求点A的坐标,,再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难,但决没有如上的几何法简单.
(3)定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单.
【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线
的左准线为,左焦点和右焦点分别为和;抛物线的线为,焦点为与的一个交点为,则等于( )
A. B. C. D.
【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.
如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半
焦距c,离心率为e,作 ,令
.∵点M在抛物线上,
,
这就是说:的实质是离心率e.
其次,与离心率e有什么关系?注意到:
.
这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于.∴选 A..
(4)三角法——本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段,可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数,然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.
因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化计算.
【例8】(07.重庆文科.21题)如图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。
(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
(Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交
x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。
【解析】(Ⅰ)焦点F(2,0),准线.
(Ⅱ)直线AB:
代入(1),整理得:
设方程(2)之二根为y1,y2,则.
设AB中点为
AB的垂直平分线方程是:.
令y=0,则
故
于是|FP|-|FP|cos2a=,故为定值.
(5)消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何中的繁杂运算,是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求,它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线:(1)与抛物线有两个不同的交点A和B;(2)线段AB被直线:x+5y-5=0垂直平分.若不存在,说明理由,若存在,求出直线的方程.
【解析】假定在抛物线上存在这样的两点
∵线段AB被直线:x+5y-5=0垂直平分,且
.
设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是:
AB中点为.故存在符合题设条件的直线,其方程为:
(6)探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题,初看起来好似“树高荫深,叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析,探索规律,不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.
【例10】(07.安徽卷.14题)如图,抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为 .
【解析】∵
设OA上第k个分点为
第k个三角形的面积为:
.
故这些三角形的面积之和的极限
抛物线定义的妙用
对于抛物线有关问题的求解,若能巧妙地应用定义思考,常能化繁为简,优化解题思路,提高思维能力。现举例说明如下。
一、求轨迹(或方程)
例1. 已知动点M的坐标满足方程,则动点M的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
解:由题意得:
即动点到直线的距离等于它到原点(0,0)的距离
由抛物线定义可知:动点M的轨迹是以原点(0,0)为焦点,以直线为准线的抛物线。
故选C。
二、求参数的值
例2. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点到焦点距离为5,求m的值。
解:设抛物线方程为,准线方程:
∵点M到焦点距离与到准线距离相等
解得:
∴抛物线方程为
把代入得:
三、求角
例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为,则__________。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
图1
解:如图1,由抛物线的定义知:
则
由题意知:
即
故选C。
四、求三角形面积
例4. 设O为抛物线的顶点,F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦,若,。求△OPQ的面积。
解析:如图2,不妨设抛物线方程为,点、点
图2
则由抛物线定义知:
又,则
由得:
即
又PQ为过焦点的弦,所以
则
所以,
点评:将焦点弦分成两段,利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示,结合抛物线方程,利用韦达定理是常见的基本技能。
五、求最值
例5. 设P是抛物线上的一个动点。
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),求的最小值。
解:(1)如图3,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是
由抛物线的定义知:点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。
于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小。
显然,连结AF交曲线于P点,则所求最小值为,即为。
图3
(2)如图4,自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点,则
,则有
即的最小值为4
图4
点评:本题利用抛物线的定义,将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,从而构造出“两点间线段距离最短”,使问题获解。
六、证明
例6. 求证:以抛物线过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切。
证明:如图5,设抛物线的准线为,过A、B两点分别作AC、BD垂直于,垂足分别为C、D。取线段AB中点M,作MH垂直于H。
图5
由抛物线的定义有:
∵ABDC是直角梯形
即为圆的半径,而准线过半径MH的外端且与半径垂直,故本题得证。
抛物线与面积问题
抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时,要充分利用抛物线和面积的有关知识,重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离,得出相应的线段长或高,从而求解。
例1. 如图1,二次函数的图像与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0)。点C(0,5)、点D(1,8)在抛物线上,M为抛物线的顶点。
图1
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积。
解:(1)设抛物线的解析式为
,根据题意得
,解得
∴所求的抛物线的解析式为
(2)∵C点坐标为(0,5),∴OC=5
令,则,
解得
∴B点坐标为(5,0),OB=5
∵,
∴顶点M的坐标为(2,9)
过点M作MN⊥AB于点N,
则ON=2,MN=9
∴
例2. 如图2,面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上,二次函数的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。
图2
(1)求出这个二次函数的解析式和对称轴。
(2)在坐标轴上是否存一点P,使△PMA中PA=PM,如果存在,写出P点的坐标,如果不存在,说明理由。
解:(1)∵等腰直角△OAB的面积为18,
∴OA=OB=6
∵M是斜边OB的中点,
∴
∴点A的坐标为(6,0)
点M的坐标为(3,3)
∵抛物线
∴,解得
∴解析式为,
对称轴为
(2)答:在x轴、y轴上都存在点P,使△PAM中PA=PM。
①P点在x轴上,且满足PA=PM时,点P坐标为(3,0)。
②P点在y轴上,且满足PA=PM时,点P坐标为(0,-3)。
例3. 二次函数的图像一部分如图3,已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,1)。
图3
(1)请判断实数a的取值范围,并说明理由。
(2)设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c,当△AMC的面积为△ABC面积的倍时,求a的值。
解:(1)由图象可知:;图象过点(0,1),所以c=1;图象过点(1,0),则;
当时,应有,则
当代入
得,即
所以,实数a的取值范围为。
(2)此时函数,
要使
,
可求得。
例4. 如图4,在同一直角坐标系内,如果x轴与一次函数的图象以及分别过C(1,0)、D(4,0)两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。
图4
(1)求K的值;
(2)求过F、C、D三点的抛物线的解析式;
(3)线段CD上的一个动点P从点D出发,以1单位/秒的速度沿DC的方向移动(点P不重合于点C),过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P从点D出发t秒后,求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式,并确定t的取值范围。
解:(1)∵点A、B在一次函数的图象上,
∴
且
∵四边形ABDC的面积为7
∴
∴。
(2)由F(0,4),C(1,0),D(4,0)得
(3)∵PD=1×t=t
∴OP=4-t
∴
即。
抛物线
1已知抛物线D:y2=4x的焦点与椭圆Q:的右焦点F1重合,且点在椭圆Q上。(Ⅰ)求椭圆Q的方程及其离心率;(Ⅱ)若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2,且与椭圆相交于A,B两点,求△ABF1的面积。
解:(Ⅰ)由题意知,抛物线的焦点为(1,0)
∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为(1,0)。∴ ①
又点在椭圆Q上, ∴即 ②
由①②,解得 ∴椭圆Q的方程为 ∴离心离
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F2(-1,0)∴直线l的方程为 设由方程组 消y整理,得 ∴
又点F1到直线l的距离 ∴
2如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积
解法一 由题意,可设l的方程为y=x+m,其中-5<m<0 由方程组,消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,解得m<1,又-5<m<0,∴m的范围为(-5,0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,∴|MN|=4 点A到直线l的距离为d=
∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128
∴S△≤8,当且仅当2-2m=5+m,即m=-1时取等号 故直线l的方程为y=x-1,△AMN的最大面积为8
解法二 由题意,可设l与x轴相交于B(m,0), l的方程为x = y +m,其中0<m<5
由方程组,消去x,得y 2-4 y -4m=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,
∴方程①的判别式Δ=(-4)2+16m=16(1+m)>0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4,y 1·y 2=-4m,
∴S△==4=4
∴S△≤8,当且仅当即m=1时取等号
故直线l的方程为y=x-1,△AMN的最大面积为8
3已知O为坐标原点,P()()为轴上一动点,过P作直线交抛物线于A、B两点,设S△AOB=,试问:为何值时,t取得最小值,并求出最小值。
、解:交AB与轴不重叠时,设AB的方程为
合 消y可得:
设A B 则, 交AB与x轴重叠时,上述结论仍然成立∴又∴≥当时 取“=”, 综上 当