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- 2021-05-13 发布
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5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移
●知识梳理
1.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则=(x2-x1,y2-y1).
∴||=.
2.线段的定比分点是研究共线的三点P1,P,P2坐标间的关系.应注意:(1)点P是不同于P1,P2的直线P1P2上的点;(2)实数λ是P分有向线段所成的比,即P1→P,P→P2的顺序,不能搞错;(3)定比分点的坐标公式(λ≠-1).
3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系,
特别提示
1.定比分点的定义:点P为所成的比为λ,用数学符号表达即为=λ.当λ>0时,P为内分点;λ<0时,P为外分点.
2.定比分点的向量表达式:
P点分成的比为λ,则=+(O为平面内任一点).
3.定比分点的应用:利用定比分点可证共线问题.
●点击双基
1.(2004年东北三校联考题)若将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图象的解析式为
A.y=f(x+1)-2 B.y=f(x-1)-2
C.y=f(x-1)+2 D.y=f(x+1)+2
解析:由平移公式得a=(1,2),则平移后的图象的解析式为y=f(x-1)+2.
答案:C
2.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2-4y=4x,则向量a为
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(-4,2) D.(4,-2)
解析:设a=(h,k),由平移公式得
代入y2=4x得
(-k)2=4(-h),2-2k=4-4h-k2,
即y2-2ky=4x-4h-k2,
∴k=2,h=-1.
∴a=(-1,2).
答案:A
思考讨论
本题不用平移公式代入配方可以吗?
提示:由y2-4y=4x,配方得
(y-2)2=4(x+1),
∴h=-1,k=2.(知道为什么吗?)
3.设A、B、C三点共线,且它们的纵坐标分别为2、5、10,则A点分所得的比为
A. B.
C.- D.-
解析:设A点分所得的比为λ,则由2=,得λ=-.
答案:C
4.若点P分所成的比是λ(λ≠0),则点A分所成的比是____________.
解析:∵=λ,∴=λ(-+).∴(1+λ)=λ.
∴=.∴=-.
答案:-
5.(理)若△ABC的三边的中点坐标为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则△ABC的重心坐标为____________.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
则 ∴
∴重心坐标为(-,).
答案:(-,)
(文)已知点M1(6,2)和M2(1,7),直线y=mx-7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为3∶2,则m的值为____________.
解析:设M(x,y),则x===3,y===5,即M(3,5),代入y=mx-7得5=3m-7,∴m=4.
答案:4
●典例剖析
【例1】 已知点A(-1,6)和B(3,0),在直线AB上求一点P,使||=||.
剖析:||=||,则=或=.设出P(x,y),向量转化为坐标运算即可.
解:设P的坐标为(x,y),若=,则由(x+1,y-6)=(4,-6),得
解得
此时P点坐标为(,4).
若=-,则由(x+1,y-6)=-(4,-6)得
解得
∴P(-,8).综上所述,P(,4)或(-,8).
深化拓展
本题亦可转化为定比分点处理.由=,得=,则P为的定比分点,λ=,代入公式即可;若=-,则=-,则P为的定比分点,λ=-.
由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算,是解决向量问题的一般方法.
【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1),B(3,4),C(-1,2),BD是∠ABC的平分线,求点D的坐标及BD的长.
剖析:∵A、C两点坐标为已知,∴要求点D的坐标,只要能求出D分所成的比即可.
解:∵|BC|=2,|AB|=,∴D分所成的比λ=.
由定比分点坐标公式,得
∴D点坐标为(9-5,).
∴|BD|==.
评述:本题给出了三点坐标,因此三边长度易知,由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标,适当利用平面几何知识,可以使有些问题得以简化.
深化拓展
本题也可用如下解法:设D(x,y),∵BD是∠ABC的平分线,
∴〈,〉=〈,〉.
∴,
即=.
又=(1,-3),=(x-3,y-4),=(-4,-2),
∴=.
∴(4+)x+(2-3)y+9-20=0. ①
又A、D、C三点共线,∴,共线.
又=(x-4,y-1),=(x+1,y-2),
∴(x-4)(y-2)=(x+1)(y-1). ②
由①②可解得
∴D点坐标为(9-5,),|BD|=.
思考讨论
若BD是AC边上的高,或BD把△ABC分成面积相等的两部分,本题又如何求解?请读者思考.
【例3】 已知在□ABCD中,点A(1,1),B(2,3),CD的中点为E(4,1),将
□ABCD按向量a平移,使C点移到原点O.
(1)求向量a;
(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.
解:(1)由□ABCD可得=,
设C(x3,y3),D(x4,y4),
则
又CD的中点为E(4,1),
则
由①-④得
即C(,2),D(,0).
∴a=(-,-2).
(2)由平移公式得A′(-,-1),B′(-,1),C′(0,0),D′(-1,-2).
●闯关训练
夯实基础
1.(2004年福州质量检查题)将函数y=sinx按向量a=(-,3)平移后的函数解析式为
A.y=sin(x-)+3 B.y=sin(x-)-3
C.y=sin(x+)+3 D.y=sin(x+)-3
解析:由得
∴-3=sin(+).
∴=sin(+)+3,
即y=sin(x+)+3.
答案:C
2.(2003年河南调研题)将函数y=2sin2x的图象按向量a平移,得到函数y=2sin(2x+)+1的图象,则a等于
A.(-,1) B.(-,1)
C.(,-1) D.(,1)
解析:由y=2sin(2x+)+1得y=2sin2(x+)+1,∴a=(-,1).
答案:B
3.(2004年东城区模拟题)已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点,定点A(0,-1),若点M分所成的比为2,则点M的轨迹方程是____________,它的焦点坐标是____________.
解析:设P(x0,y0),M(x,y).
代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1,即18x2=3y+1,x2=y+=(y+),∴p=,焦点坐标为(0,-).
答案:x2=(y+) (0,-)
4.把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后,得到y=2x2的图象,且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b=____________.
解析:a=(0,0)-(1,3)=(-1,-3).设b=(x,y),由题意得
则b=(3,-1).
答案:(3,-1)
5.已知向量=(3,1),=(-1,2),⊥,∥.试求满足+=的的坐标.
解:设=(x,y),则=(x,y)+(3,1)=(x+3,y+1),
=-=(x+3,y+1)-(-1,2)=(x+4,y-1),
则
所以=(11,6).
6.已知A(2,3),B(-1,5),且满足=,=3,=-,求C、D、E的坐标.
解:用向量相等或定比分点坐标公式均可,读者可自行求解.C(1,),D(-7,9),E(,).
培养能力
7.(2004年福建,17)设函数f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),x∈R.
(1)若f(x)=1-,且x∈[-,],求x;
(2)若y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.
解:(1)依题设f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+),
由1+2sin(2x+)=1-,得
sin(2x+)=-.
∵|x|≤,∴-≤2x+≤.
∴2x+=-,即x=-.
(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象,即y=f(x)的图象.由(1)得f(x)=2sin2(x+)+1.又|m|<,∴m=-,n=1.
8.有点难度哟!
(2004年广州综合测试)已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=(2,1)平移后得到曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点D(0,2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设=λ,求实数λ的取值范围.
解:(1)原曲线即为(x+2)2+2(y+1)2=2,则平移后的曲线C为x2+2y2=2,
即+y2=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则
由于点M、N在椭圆x2+2y2=2上,则
即
消去x22得,2λ2+8λy2+8=2λ2+4λ+2,
即y2=.
∵-1≤y2≤1,∴-1≤≤1.
又∵λ>0,故解得λ≥.
故λ的取值范围为[,+∞).
思考讨论
本题若设出直线l的方程y=kx+2,然后与x2+2y2=2联立,利用韦达定理能求解吗?(不要忘记讨论斜率不存在的情况)读者可尝试一下.
探究创新
9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行,速度为15 n mile/h,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发,朝北偏东θ(θ=arctan)的方向作匀速直线航行,速度为10 n mile/h.(如下图所示)
(1)求出发后3 h两船相距多少海里?
(2)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?
解:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.
设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1),Q(x2,y2),
则
由θ=arctan,可得cosθ=,sinθ=,
x2=10tsinθ=10t,
y2=10tcosθ-40=20t-40.
(1)令t=3,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20).
|PQ|===5,
即两船出发后3 h时,两船相距5 n mile.
(2)由(1)的解法过程易知
|PQ|=
=
=
=≥20.
∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20,
即两船出发4 h时,相距20 n mile为两船最近距离.
●思悟小结
1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题:
(1)弄清起点、分点、终点,并由此决定定比λ;
(2)在计算点分有向线段所成比时,首先要确定是内分点,还是外分点,然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义=λ获解.
2.线段的定比分点的坐标表示,强化了坐标运算的应用,确定λ的值是公式应用的关键.
3.关于平面图形的平移,主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用,并特别注意分清新旧函数解析式.
4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.
●教师下载中心
教学点睛
1.线段的定比分点公式=λ,该式中已知P1、P2及λ可求分点P的坐标,并且还要注意公式的变式在P1、P2、P、λ中知三可求第四个量.
2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量(形)与数之间的转化具有一般性.
3.平移前后坐标之间的关系极易出错,要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.
拓展题例
【例1】 (2004年豫南三市联考)已知f(A,B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2.
(1)设△ABC的三内角为A、B、C,求f(A,B)取得最小值时,C的值;
(2)当A+B=且A、B∈R时,y=f(A,B)的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A的图象,求满足上述条件的一个向量p.
解:(1)f(A,B)=(sin2A-)2+(cos2B-)2+1,
由题意得
∴C=或C=.
(2)∵A+B=,∴2B=π-2A,cos2B=-cos2A.
∴f(A,B)=cos2A-sin2A+3=2cos(2A+)+3=2cos2(A+)+3.
从而p=(,-3)(只要写出一个符合条件的向量p即可).
【例2】 设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后,得到曲线C1.
(1)写出曲线C1的方程;
(2)证明:曲线C与C1关于点A(,)对称.
(1)解:C1:y-s=(s-t)3-(x-t). ①
(2)分析:要证明曲线C1与C关于点A(,)对称,只需证明曲线C1上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上,反过来,曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C1上即可.
证明:设P1(x1,y1)为曲线C1上任意一点,它关于点A(,)的对称点为
P(t-x1,s-y1),把P点坐标代入曲线C的方程,左=s-y1,右=(t-x1)3-(t-x1).
由于P1在曲线C1上,∴y1-s=(x1-t)3-(x1-t).
∴s-y1=(t-x1)3-(t-x1),即点P(t-x1,s-y1)在曲线C上.
同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上.
从而证得曲线C与C1关于点A(,)对称.