高考数学理试题安徽卷 18页

‎2015年高考数学（理）试题（安徽卷）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1、设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ ‎（A）第一象限 （B）第二象限 ‎ ‎（C）第三象限 （D）第四象限 答案：B 解析：由题意，其对应的点坐标为(-1,1)，位于第二象限，故选B.‎ 知识点：复数的运算、复数的几何意义.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　复数的运算、复数的几何意义 ‎2、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A 解析：对于A，定义域为R，并且cos（-x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点； 对于B，sin（-x）=-sinx，是奇函数，由无数个零点； 对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点； 对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；‎ 知识点：函数的奇偶性、函数零点的概念.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　函数的奇偶性、函数零点的概念 ‎3、设p：1＜x＜2，q：2x＞1 ，则p是q成立的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由q：2x＞20，解得x>0，易知，p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要条件，选A.‎ 知识点：指数运算、充要条件的概念.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　指数运算、充要条件的概念 ‎4、下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ）‎ ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ 答案：C 解析：由题意，选项A、B的焦点在x轴，故排除A、B，C项的渐近线方程为，即y=±2x，故选C.‎ 知识点：双曲线的渐近线.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　双曲线的渐近线.‎ ‎5、已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）‎ ‎ （A）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 ‎ （B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行 ‎ （C）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 ‎ （D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 答案：D 解析：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误； 对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误； 对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误； 对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确； 故选D．‎ 知识点：直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.‎ ‎6、若样本数据的标准差为，则数据的标准差为（ ）‎ ‎ （A）8 （B）15 （C）16 （D）32‎ 答案：C 解析：设样本数据的标准差为，则=8‎ ‎，即方差DX=64，而数据的方差D(2X-1)=22DX=22×64，所以其标准差为 .故选C.‎ 知识点：样本的方差与标准差的应用.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　样本的方差与标准差的应用.‎ ‎7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ 答案：B 解析：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示：‎ ‎∴该几何体的表面积为 ‎=，故选B.‎ 知识点：由三视图求面积、体积 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　由三视图求面积、体积 ‎8、是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 答案：D 解析：由题意，，故 ，故A错误；，所以，又 ，所以，故B、C错误；设B、C中点为D，则，且，所以，故选D.‎ 知识点：平面向量的线性运算、平面向量的数量积.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　平面向量的线性运算、平面向量的数量积.‎ ‎9、函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）‎ ‎ （A）a＞0，b＞0，c＜0 （B）a＜0，b＞0，c＞0‎ ‎ （C）a＜0，b＞0，c＜0 （D）a＜0，b＜0，c＜0‎ 答案：C 解析：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以-c>0，得c<0， f(0)= ＞0，∴b＞0，由f(x)=0得ax+b=0，即x=-,即函数的零点x=-＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C 知识点：函数的图象与应用.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　函数的图象与应用 ‎10、已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A、ω、φ均为正的常数）的最小正周期为π，当时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ 答案：A 解析：依题意得，函数f(x)的周期为π，因为ω>0，所以，又因为当 时，函数f(x)取得最小值，所以，可解得：，所以，‎ 所以，，‎ ‎；又因为，而f(x)=Asinx在区间是单调递减的，所以f(2)＜f(-2)＜f(0)，故选A.‎ 知识点：三角函数的图象与应用、函数值的大小比较.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　三角函数的图象与应用、函数值的大小比较 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11、的展开式中x5的系数是 .（用数字填写答案）‎ 答案：35‎ 解析：由题意，令21-4r=5，得r=4，则x5的系数是 .‎ 知识点：二项式定理的展开式应用.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　二项式定理的展开式应用 ‎12、在极坐标中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值是 .‎ 答案：6‎ 解析：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y-4）2‎ ‎=16． 直线θ=(ρ∈R)化为，所以圆心C（0，4）到直线的距离 ‎ 所以圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．故答案为：6．‎ 知识点：极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、圆上的点到直线的距离.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、圆上的点到直线的距离.‎ ‎13、执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为 .‎ 答案：4.‎ 解析：模拟执行程序框图，可得：a=1，n=1； 满足条件|a-1.414|＞0.005，a=，n=2； 满足条件|a-1.414|＞0.005，a=，n=3； 满足条件|a-1.414|＞0.005，a=，n=4；‎ ‎ 不满足条件|a-1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4． 故答案为：4．‎ 知识点：程序框图的应用.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　程序框图的应用.‎ ‎14、已知数列是递增的等比数列，，则数列的前n项和等于 .‎ 答案： ‎ 解析：由题意， ，解得a1=1，a4=8或者a1=8，a4=1，而数列是递增的等比数列，所以a1=1，a4=8，即 ，所以q=2，因而数列的前n项和.‎ 知识点：等比数列的性质、等比数列的前n项和公式.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　等比数列的性质、等比数列的前n项和公式.‎ ‎15、设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）‎ ‎①a=-3，b=-3．②a=-3，b=2．③a=-3，b＞2．‎ ‎④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．‎ 答案：①③④⑤‎ 解析：设f(x)=x3+ax+b，=3x2+a， ①a=-3，b=-3时，令=3x2-3=0，解得x=±1，x=1时f(1)=-5，‎ f(-1)=-1； 并且x＞1或者x＜-1时＞0，所以f(x)在（-∞，-1）和（1，+∞）都是增函数，所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图：‎ ‎②a=-3，b=2时，令=3x2-3=0，解得x=±1，x=1时f(1)=0，f(-1)=4；如图：‎ ‎③a=-3，b＞2时，函数f(x)=x3-3x+b，f(1)=-2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根； ④a=0，b=2时，函数f(x)=x3+2，=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根； ⑤a=1，b=2时，函数f(x)=x3+x+2，=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根； 综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤‎ ‎． 故答案为：①③④⑤．‎ 知识点：函数零点与方程的根之间的关系、函数的单调性及其极值.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　函数零点与方程的根之间的关系、函数的单调性及其极值.‎ 三、解答题 ‎16、（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，,点D在BC边上，AD=BD，求AD的长.‎ 答案： ‎ 解析：∵ ，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3 ；‎ ‎∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴，‎ ‎∴；∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，.‎ 知识点：正弦定理、余弦定理的应用.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　正弦定理、余弦定理的应用.‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.‎ ‎ （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 ‎（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）‎ 答案：（Ⅰ） ；（Ⅱ）350.‎ 解析：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则 ‎ ‎（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400，‎ ‎，，‎ ‎。‎ X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P X的分布列为：‎ EX=200×+300×+400×=350．‎ 知识点：概率、随机变量的分布列与期望.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　概率、随机变量的分布列与期望.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标 ‎（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，证明： ‎ 答案：（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明过程见解析.‎ 解析：（Ⅰ）y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1) 令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为；‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设和（Ⅰ）中计算结果可知：，当n=1时， ；‎ 当n≥2时， ，‎ 所以；‎ 综上所述，可得对任意的n∈N*，均有.‎ 知识点：曲线的切线方程、数列的通项公式、放缩法证明不等式.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　曲线的切线方程、数列的通项公式、放缩法证明不等式.‎ ‎19、（本小题满分13分）‎ 如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD，均为正方形，E为B1D1的中点，A1，D，E的平面交CD1于F.‎ ‎ （Ⅰ）证明：EF∥B1C ‎ （Ⅱ）求二面角E-A1D-B1余弦值.‎ 答案：（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ） ‎ 解析：（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D；又∵B1C平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD， 又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF，∴EF∥B1C； （Ⅱ）以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz如图，设边长为2，‎ ‎ ∵AD1⊥平面A1B1CD，∴为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD的一个法向量为，‎ 又∵，，∴ ，‎ 取y=1，，所以，所以二面角E-A1D-B1余弦值为。‎ 知识点：线面平行的判定定理与性质定理、二面角的求解. ‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　线面平行的判定定理与性质定理、二面角的求解.‎ ‎20、（本小题满分13分）‎ 设椭圆E的方程为 ，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0,b) ，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为.‎ ‎ （I）求E的离心率e；‎ ‎（II）设点C的坐标为(0,-b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ，求E的方程.‎ 答案：（I） ；（II）.‎ 解析：（I）由题设条件知，点M的坐标为 ，又 ，从而，进而得，故.‎ ‎（II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线AB的方程为 ，点N的坐标为，设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且 ,从而有 ‎ 解得b=3，所以 ，故椭圆E的方程为.‎ 知识点：椭圆的离心率、椭圆的标准方程、点点关于直线对称的应用.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　椭圆的离心率、椭圆的标准方程、点点关于直线对称的应用.‎ ‎21、（本小题满分13分）‎ 设函数f(x)=x2-ax+b.‎ ‎ （Ⅰ）讨论函数f(sinx)在 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；‎ ‎ （Ⅱ）记f0(x)=x2-a0x+b0，求函数|f(sinx)-f0(sinx)|在上的最大值D；‎ ‎ （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求满足D≤1时的最大值.‎ 答案：（Ⅰ）极小值为；（Ⅱ）D=|a-a0|+|b-b0|； （Ⅲ）1.‎ 解析：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈‎ 递增， 即有f(t)=t2-at+b（-1＜t＜1），=2t-a， ①当a≥2时，≤0，f(t)递减，即f(sinx)递减； 当a≤-2时，≥0，f(t)递增，即f(sinx)递增． 即有a≥2或a≤-2时，不存在极值． ②当-2＜a＜2时，-1＜t＜，＜0，f(sinx)递减； ＜t＜1，＞0，f(sinx)递增．f(sinx)有极小值f()=；‎ ‎（Ⅱ）时，|f(sinx)-f0(sinx)|=|（a-a0）sinx+b-b0|≤|a-a0|+|b-b0| 当(a-a0)(b-b0)≥0时，取x=，等号成立； 当(a-a0)(b-b0)≤0时，取x=-，等号成立． 由此可知，|f(sinx)-f0(sinx)|在上的最大值为D=|a-a0|+|b-b0|． （Ⅲ）D≤1即为|a|+|b|≤1，此时0≤a2≤1，-1≤b≤1，从而 z=≤1,取a=0，b=1，则|a|+|b|≤1，并且z==1． 由此可知，z=满足条件D≤1的最大值为1．‎ 知识点：函数的单调性、极值与最值、绝对值不等式的应用.‎ 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题　函数的单调性、极值与最值、绝对值不等式的应用