北京高考导数大题分类 7页

导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤：‎ ‎ ①确定定义域（易错点）‎ ‎ ②求导函数 ‎ ③对进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理.‎ ‎ ④中的最高次系数是否为0，为0时求出单调区间.‎ ‎ 例1：，则要首先讨论情况 ‎ ⑤最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若，则在定义域内单调递增；若，则在定义域内单调递减. ‎ ‎ 例2：，则 = ，显然时，此时的单调区间为.‎ ‎ ⑥最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现或者的情况 ‎ 求出=0的根，（一般为两个），判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段.‎ ‎ 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即.‎ ‎ 例3:若，则，‎ ‎ 解方程得 ‎ 时，只有在定义域内.‎ ‎ 时,比较两根要分三种情况：‎ ‎ 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论在每个子区间内的正负，求得 ‎ 的单调区间。 ‎ ‎（1）求函数的单调区间 ‎1.已知函数 ‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程.‎ ‎（Ⅱ）求得单调区间.‎ ‎2. 已知函数，. ‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论的单调性.‎ ‎3.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数值域；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间.‎ ‎4．已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）当时，试确定函数的单调区间.‎ ‎（二）求函数在给定的区间的最值问题 ‎5．已知函数 ，.‎ ‎（Ⅰ）若曲线与在它们的交点处具有公切线，求的值.‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间，并求其在上的最大值.‎ ‎6．已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间的最小值为，求的值．‎ ‎7.已知函数（其中为常数且）在处取得极值.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间[0,e]上的最大值为1，求的值.‎ ‎8．已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若是的极值点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.‎ ‎9.已知，其中．‎ ‎(Ⅰ)若函数在点处切线斜率为，求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅲ)若在上的最大值是，求的取值范围．‎ ‎10.设函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ；‎ ‎（Ⅲ）当时，求函数在上的最大值．‎ 二、恒成立问题的几种问法：‎ ‎1．对于，恒成立，等价于函数在上的最小值.诉讼 ‎2．对于，恒成立，等价于函数在上的最大值.‎ ‎3.对于，，等价于在区间上的最小值，大于等于 在区间上的最大值，即.‎ ‎4. 对于，，等价于在区间上的最大值，小于等于 在区间上的最小值，即.‎ ‎5.对于，，等价于构造函数，在区间上的最小值 ‎.‎ ‎6.对于，，等价于构造函数，在区间上的最大值 ‎.‎ ‎7.在区间上单调递增，等价于.‎ ‎8.在区间上单调递减，等价于.‎ ‎1.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间.‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围.‎ ‎2.设为曲线C:在点处的切线.‎ ‎（Ⅰ）求的方程.‎ ‎（Ⅱ）证明：除切点外，曲线C在直线下方.‎ ‎3.已知函数，‎ ‎（Ⅰ）求证：‎ ‎（Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值和的最小值.‎ ‎5.已知，函数，. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：对于任意的，都有.‎ ‎6.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎7.已知函数 ‎ ‎ （Ⅰ）当时求的极小值 . ‎ ‎（Ⅱ） 若函数在区间上为增函数，求得取值范围 ‎8. 已知.‎ ‎（I）求函数在上的最小值；‎ ‎（II）对一切恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎9.已知函数 ‎（I）若函数在处的切线垂直于轴，求实数a的值；‎ ‎(II) 在（I）的条件下，求函数的单调区间；‎ ‎(III) 若恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎10.已知函数，其中a R ．‎ ‎⑴ 当 时，求 f (x)的单调区间；‎ ‎⑵ 当a＞ 0时，证明：存在实数m ＞ 0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．‎ 三、存在性问题的几种问法：‎ ‎1.,使得成立，等价函数在上的最大值.‎ ‎2.,使得成立，等价函数在上的最小值.‎ ‎3.，使得成立，等价于在区间上的最大值，大于等于 ‎ 在区间上的最小值，即.‎ ‎4.，使得，等价于在区间上的最小值，小于等于 ‎ 在区间上的最大值，即.‎ ‎5.，使得，等价于构造函数，在区间上的最大值 ‎.‎ ‎6. ，使得，等价于构造函数，在区间上的最小值 ‎ ‎ .‎ ‎7.在区间上存在单调递增区间，等价于的最大值.‎ ‎8.在区间上存在单调递减区间，等价于的最小值.‎ ‎1.已知曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点（）处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围.‎ ‎2.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎3.已知函数 ‎（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；‎ ‎（Ⅱ） 若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎4.已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）当时，求在区间上的最小值；‎ ‎ （Ⅱ）求证：存在实数，有.‎ 四、切线问题 ‎1.已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．‎ ‎2.已知函数．‎ ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，如果过点可作曲线的三条切线， 证明：．‎ 五、 特殊问题 ‎1.已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的零点及单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标.‎ 六、构造函数模型 ‎1.设函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：当时，．‎ ‎ ‎