全国各地高考文科数学试卷及答案 122页

2013 年普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学（文科） 考生注意： 1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后 的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 2.本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1.不等式 12 x x ＜0 的解为 )2 1,0( . 【答案】 )2 1,0( 【解析】 )2 1,0(0)12(  xxx 2.在等差数列 na 中，若 a1+ a2+ a3+ a4=30，则 a2+ a3= 15 . 【答案】 15 【解析】 1530)(2 32324321  aaaaaaaa 3.设 m∈R,m2+m-2+( m2-1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m= . 【答案】 -2 【解析】 2 01 02)1(2 2 2 22       m m mmimmm 是纯虚数 4.已知 1 x 1 2 =0， 1 x 1 y =1，则 y= 1 . 【答案】 1 【解析】 11 1 2021 1 2  yxyxxxx ，又已知 ,1,2  yx联立上式，解得 5. 已知  ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若 a2+ab+b2-c2=0，则角 C 的大小 是  3 2 . 【答案】  3 2 【解析】  3 2 2 1 2 - cos0- 222 222  Cab cbaCcbaba 6. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考试中，男、女生平均分数分 别是 75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 . 【答案】 78 【解析】 7880100 6075100 40 平均成绩 7. 设常数 a∈R.若 5 2x       x a 的二项展开式中 x7 项的系数为-10，则 a= -2 . 【答案】 -2 【解析】 10,110)()()( 1 5 752 5 52   aCrxx axCx ax rrr 2,105  aa 8. 方程 x3113 9 x  的实数解为 4log3 . 【答案】 4log3 【解析】  01333131313 93113 9 xxx x x x 4log43 3 xx 9. 若 cosxcosy+sinxsiny= 3 1 ，则 cos(2x-2y)= 9 7 . 【答案】 9 7 【解析】 9 71)(cos2)(2cos3 1)cos(sinsincoscos 2  yxyxyxyxyx 10. 已知圆柱  的母线长为 l，底面半径为 r,O 是上底面圆心， A、B 是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线， 如图，若直线 OA 与 BC 所成角的大小为 6  ，则 r l = 3 . 【答案】 3 【解析】 33 3 6tan  r l l r由题知， 11. 盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的 编号之积为偶数的概率是 7 5 （结果用最简分数表示）. 【答案】 7 5 【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。 个个，共有个数中任取个偶数共个奇数和从 212734 2 7 C .622 2 4 个个数分别为奇数，共有个数之积为奇数  C 7 5 21 6112 2 7 2 4  C CP个数之积为偶数的概率所以 12. 设 AB 是椭圆  的长轴，点 C 在  上，且 4 CBA .若 AB=4，BC= 2 ，则  的两个 焦点之间的距离为 63 4 . 【答案】 63 4 【解析】 如右图所示。 ,1,145,2,4,  DBCDCBABCABABCDABD 上，且在设 )1,1(3 CAD  ,111)11(,42 22  baCa 代入椭圆标准方程得，把 3 8,3 4 22222  cbcba 63 42  c 13. 设常数 a＞0.若 1x9 2  ax a 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围为 ),5 1[  . 【答案】 ),5 1[  【解析】 考查均值不等式的应用。 5 116929)(,0 22  aaax axx axxfx 时由题知，当 14. 已知正方形 ABCD 的边长为 1.记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1a 、 2a 、 3a ；以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1c 、 2c 、 3c .若 i,j,k,l∈ 321 ，， 且 i≠j,k≠l， 则  ji aa ·  lk cc  的最小值是 -5 . 【答案】 -5 【解析】 根据对称性， 的模最大时互为相反向量，且它们与当向量 )()( lkji ccaa  D BA C ,,,,))(( CBcCAcADaACaccaa lkjilkji  最小。这时 5|)|))(( 2  jilkji aaccaa 。 二、选择题（本大题共有 4 小题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 15 .函数 1)(f 2  xx （x≥0）的反函数为 f -1(x)，则 f -1(2)的值是（ A ） （A） 3 （B）－ 3 （C）1+ 2 （D）1－ 2 【答案】 A 【解析】 31)(2,0 2  xxxfx由反函数的定义可知， 选 A 16. 设常数 a∈R，集合 A= 0)a()1(  xxx ，B= 1 axx .若 A∪B=R，则 a 的取值 范围为（ B ） （A）（－∞，2） （B）（－∞，2] （C）（2，+∞） （D）[2，+∞） 【答案】 B 【解析】 方法：代值法，排除法。当 a=1 时，A=R，符合题意；当 a=2 时， 符合题意。,)2),[]1,(),,1[ RBAAB  综上，选 B 标准解法如下: )1,(),,1[  aARBAaB 符合题意；当时，当由 1,10))(1(  aRxaaxx ，时当 ),[]1,(1  axa 11),1[],(1;2111  aaaaxaaa 时当解得 . 2综上， a 选 B 17. 钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 【答案】 A 【解析】 好货则不便宜便宜则不是好货便宜没好货  宜”的充分条件所以“好货”是“不便 选 A 18. 当点（x,y）分别在 1 ， 2 ，…上时，x+y 的最大值分别是 M1,M2,…，则 nlim Mn  =( D ) （A）0 （B） 4 1 （C）2 （D） 22 【答案】 D 【解析】 144144lim1144 222222     yx n yx n nyx n 椭圆方程为： 04224)(144 2222 22       uuxxxux yxu yx 联立 0)4(84 22  uu ],22,22[80)4(2 222  uuuu 22,的最大值为所以 yx  选 D 三、解答题（本大题共有 5 下题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分 12 分） 如图，正三棱锥 O-ABC 的底面边长为 2，高为 1， 求该三棱锥的体积及表面积。 【答案】 33;3 3   ABCOABCO SV 【解析】 33 113 1   ABCABCO SVABCO 的体积三棱锥 ，，则的中点为中的射影为在面设 3 31,,  QEOQEBCQABCO 中在 OQERT 3 2 3 4)3 3(1 22222  OEEQOQOE， 333233   OEBCSSSABCO ABCOBCABCO的表面积三棱锥 所以， 33,3 3   ABCOABCO SVABCO 表面积的体积三棱锥 20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分. 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1≤x≤10）， 每小时可获得的利润是 100       xx 315 元. （1）求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a       2 315 xx 元； （2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？ 并求此最大利润. 【答案】 （1） 见下 （2）当生产速度为 6 千克/小时，这时获得最大利润为 457500 元。 【解析】 （1）证明：由题知，生产 a 千克该产品所需要的时间 x at  小时， 所获得的利润 ，元))(315(100)315(100 2xxaxxx ay  10x1 其中 所以生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a       2 315 xx 元； （2）由（1）知，生产 900 千克该产品即 a=900 千克时，获得的利润 )]131(15[90000)315(900100 2 xxxxy  由二次函数的知识可知，当 x 1 = 6 1 ，即 x=6 时， )]6 131(6 15[90000 y )(4575007500450000 元 所以，当生产速度为 6 千克/小时，这时获得最大利润为 457500 元。 21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知函数 )sin(2)(f xx  ，其中常数ω＞0. （1）令ω=1，判断函数       2)()( xfxfxF 的奇偶性，并说明理由； （2）令ω=2，将函数 y=f(x)的图像向左平移 6  个单位，再向上平移 1 个单位， 得到函数 y=g(x)的图像.对任意 a∈R，求 y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数 的所有可能值. 【答案】 （1） 函数。不是奇函数，也不是偶 （2） 20, 21 【解析】（1） )2sin(2sin2)2()()(,sin2)(1   xxxfxfxFxxf时， ),4sin(22cos2sin2  xxx 是奇函数，周期 xyT sin22,22    是偶函数。，即不是奇函数，也不后得图像左移 )4sin(22)(4   xxf （2）ω=2，将函数 y=f(x)的图像向左平移 6  个单位，再向上平移 1 个单位， 得到函数 y=g(x). ,2sin2)( xxf    Txxfxg 最小正周期,1)6(2sin21)6()( . 个零点。个零点，最少在一个周期内最多有令 232 1)6(2sin0)(  xxf 所以 y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为 10 个周期上，零点个数可以取 20,21 个. 22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分. 已知函数 xx  2)(f ，无穷数列 na 满足 an+1=f(an),n∈N* （1）若 a1=0，求 a2，a3，a4； （2）若 a1＞0，且 a1，a2，a3 成等比数列，求 a1 的值. （3）是否存在 a1，使得 a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1； 若不存在，说明理由. 【答案】 （1） 2,0,2 432  aaa （2） 221 11  aa ，或 （3） 1,11  naa 且 【解析】 （1） 2,0,20.||2)( 432111   aaaaaaafa nnnn由 （2） ||-2|)|-2(||-2,, 1221 2 22 1 2 2 3321 aaaaaaa aaaaa  ，且成等比 |]-2|2[)-2(|]||-2|2[|)|-2( 11 2 111 2 1 aaaaaa  分情况讨论如何： 21]-22[)-2(0-2 11 2 111 2 11  aaaaaaa ，且）（时，当 )4(]22[)-2(0-2 1111 2 11 aaaaaa  ）（时，当 2440482 1 2 11 2 1  aaaa 2222)2( 11 2 1  aaa ，且 221 11  aa ，或综上， （3） daaaNnad nnnn   ||2*,,}{ 1则：满足题意，的等差数列假设存在公差为 .||2 nn aad  讨论如下: 1122,0}{ 1  aaadama nnnn 为常数数列时，即数列当 . ,0*,2020*,}{  nnn aNnddaNna ，不是常数数列时当数列 所以矛盾 ,故不符合题意。 满足题意。且的等差数列综上，存在 1},{11  nn aaa 23.（本题满分 18 分） 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分. 如图，已知双曲线 C1: 12 x 2 2  y ，曲线 C2: 1 xy ， P 是平面内一点.若存在过点 P 的直线与 C1、C2 都有共同点， 则称 P 为“C1-C2 型点”. （1）在正确证明 C1 的左焦点是“C1-C2 型点”时，要使用 一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方 程（不要求验证）； （2）设直线 y=kx 与 C2 有公共点，求证 k ＞1，进而证明圆点不是“C1-C2 型点”； （3）求证：圆 2 122  yx 内的点都不是“C1-C2 型点”. 【答案】 （1） 033  xy （2） 见下. （3） 见下. 【解析】 （1） )0,3(,3,1,212 1 222222 2 1  FbacbayxC 可知：方程：由 显然，由双曲线 1C 的几何图像性质可知，过 相交的任意直线都与曲线 11 CF . 在曲线 2C 图像上取点 P(0,1),则直线 均有交点、与两曲线 211 CCPF 。 这时直线方程为 033)3(3 3  xyxy 所以，C1 的左焦点是“C1-C2 型点”.过该焦点的一条直线方程是 033  xy . （2） 先证明“若直线 y=kx 与 2C 有公共点，则 k ＞1”. 双曲线 . 2 1 1 xxa byC 的渐近线： ）（有交点，则与若直线 2 1, 2 1-k双曲线 1  ACkxy . ），（），（有交点，则与若直线  11--k曲线 2 BCkxy . 所以，若直线 y = kx 与 2C 有公共点，则 k ＞1 . （证毕） 不能同时有公共交点、与直线 21曲线, CCkxyBA   。 所以原点不是“C1-C2 型点”；（完） （3）设直线l 过圆 2 122  yx 内一点，则斜率不存在时直线l 与双曲线 1C 无交点。 设直线l 方程为：y = kx + m，显然当 k=0 时直线l 与双曲线 1C 不相交。 经计算，圆 2 122  yx 内所有点均在曲线 2C 1 xy 的延长线所围成的区域内， 所以当 2 1 a bk 时，直线l 与曲线 1C 不相交。 若直线l 与曲线 2C 相交， 则 12 k ·····① 下面讨论 2 1k 时的情况。 圆心到直线l 的距离 22 2 12 2 1 1 || km k m   ·········② 假设直线l 与曲线 1C 相交，联立方程： 2)2(212 2222 2 2       mkmxxkx mkxy yx ，  2 10224)12( 222 kmkmxxk ， 0)22)(12(4)4( 222  mkkm 22 12 mk  ···············③ 由①②③得：                    m m m m mm mk mk k 2 2 2 22 22 22 2 1 1 12 124 12 242 22 所以，过圆 2 122  yx 内任意一点做任意直线， 均不存在与曲线 1C 和 2C 同时相交。 即圆 2 122  yx 内的点都不是“C1-C2 型点”. 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供文科考生使用） 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. （1）已知集合    1,2,3,4 , | 2 ,A B x x A B   则 （A） 0 （B） 0,1 （C） 0,2 （D） 0,1,2 （2）复数的 1 1Z i   模为 （A） 1 2 （B） 2 2 （C） 2 （D） 2 （3）已知点    1,3 , 4, 1 ,A B AB 则与向量 同方向的单位向量为 （A） 3 4 5 5      ，- （B） 4 3 5 5      ，- （C） 3 4 5 5     ， （D） 4 3 5 5     ， （4）下面是关于公差 0d  的等差数列 na 的四个命题：  1 : np a数列 是递增数列；  2 : np na数列 是递增数列； 3 : nap n     数列 是递增数列；  4 : 3np a nd数列 是递增数列； 其中的真命题为 （A） 1 2,p p （B） 3 4,p p （C） 2 3,p p （D） 1 4,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为       20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是 （A） 45 （B）50 （C）55 （D） 60 （6）在 ABC ，内角 , ,A B C 所对的边长分别为 , , .a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b  ,a b B  且 则 A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  （7）已知函数      2 1ln 1 9 3 1,. lg 2 lg 2f x x x f f          则 A． 1 B．0 C．1 D． 2 （8）执行如图所示的程序框图，若输入 8,n S 则输出的 A． 4 9 B． 6 7 C． 8 9 D．10 11 （9）已知点      30,0 , 0, , , . ABC ,O A b B a a 若 为直角三角形 则必有 A． 3b a B． 3 1b a a   C． 3 3 1 0b a b a a        D． 3 3 1 0b a b a a      （10）已知三棱柱 1 1 1 6 . 3 4ABC A B C O AB AC  的 个顶点都在球 的球面上若 ， ， ,AB AC 1 12AA O ，则球 的半径为 A． 3 17 2 B． 2 10 C．13 2 D．3 10 （11）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左焦点为 F ,F C与过原点的直线相交于 ,A B两点， 4, . 10, 8,cos ABF ,5AF BF AB B F C   连接 若 则 的离心率为 （A） 3 5 （B） 5 7 （C） 4 5 （D） 6 7 （12）已知函数        2 2 2 22 2 , 2 2 8.f x x a x a g x x a x a          设                 1 2max , , min , , max ,H x f x g x H x f x g x p q  表示 ,p q 中的较 大值，  min ,p q 表示 ,p q 中的较小值，记  1H x 得最小值为 ,A  2H x 得最小值为 B ,则 A B  （A） 2 2 16a a  （B） 2 2 16a a  （C） 16 （D）16 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 22 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. （13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . （14）已知等比数列    1 3n n na S a n a a是递增数列, 是 的前 项和.若 ， 是方程 2 65 4 0x x S   的两个根，则 . （15）已知 F 为双曲线 2 2 : 1 ,9 16 x yC P Q C PQ  的左焦点， 为 上的点，若 的长等于 虚轴长的2倍，  5,0A PQ PQF 点 在线段 上，则 的周长为 . （16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班 级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相不 相同，则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分） 设向量    3sin ,sin , cos ,sinx , 0, .2a x x b x x        （I）若 .a b x 求 的值； （II）设函数    , .f x a b f x  求 的最大值 18．（本小题满分 12 分） 如图， .AB O PA O C O是圆 的直径， 垂直圆 所在的平面， 是圆 上的点 （I）求证： BC PAC 平面 ； （II）设 / / .Q PA G AOC QG PBC为 的中点， 为 的重心，求证： 平面 19．（本小题满分 12 分） 现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答.试求： （I）所取的 2 道题都是甲类题的概率； （II）所取的 2 道题不是同一类题的概率. 20．（本小题满分 12 分） 如图，抛物线    2 2 1 2 0 0 2: 4 , : 2 0 . ,C x y C x py p M x y C    点 在抛物线 上， 1M C过 作   0, , . 1 2A B M O A B O x  的切线，切点为 为原点 时， 重合于 当 时， 1- .2MA切线 的斜率为 （I） P求 的值 ； （II） 2M C AB N当 在 上运动时，求线段 中点 的轨迹方程  , , .A B O O重合于 时 中点为 21．（本小题满分 12 分） （I）证明：当   20,1 sin ;2x x x x  时， （II）若不等式     3 2 2 2 cosx 4 0,12 xax x x x a     对 恒成立，求实数 的 取值 范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一 题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22．（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， .AB O CD O E AD CD D 为 直径，直线 与 相切于 垂直于 于 ，BC垂直于 , .CD C EF F AE BE于 ， 垂直于 ，连接 证明： （I） ;FEB CEB   （II） 2 .EF AD BC  22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 1C ，直线 2C 的极 坐标方程分别为 4sin , cos 2 2.4           . （I） 1 2C C求 与 交点的极坐标； （II） 1 1 2 .P C Q C C PQ设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点已知直线 的参数方程为   3 3 , , . 12 x t a t R a bby t       为参数 求 的值 22．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数   , 1.f x x a a  其中 （I）  =2 4 4 ;a f x x  当 时，求不等式 的解集 （II）       2 2 2 |1 2 ,x f x a f x x x    已知关于 的不等式 的解集为 .a求 的值 绝密★启用并使用完毕前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 文科数学 注意事项： 1. 本考试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名，准考证号，并在答题卡上填涂上对应的 试卷类型信息 3. 所有解答必须填写在答题卡上的指定区域内。考试结束后将本卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一 选择题 1.复数 )2( iiz  （i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在 .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 2.若集合 }01{ 2  axaxRxA 中只有一个元素，则 a .A 4 .B 3 .C 0 .D 0 或 4 3.若 3 3 2sin  ，则 cos .A 3 2 .B 3 1 .C 3 1 .D 3 2 4.集合 }3,2{A ， }3,2,1{B ，从 BA, 中各任取一个数，在这两个数之和等于 4 的概率是 .A 3 2 .B 2 1 .C 3 1 .D 6 1 5.总体由编号为 20,19,,02,01  的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选 取方法是从随机数表第1行的第5 列和第 6 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出 的第5 个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 .A 08 .B 07 .C 02 .D 01 6.下列选项中，不等式 21 xxx  成立的 x 的取值范围 .A )1,(  .B )0,1( .C )1,0( .D ),1(  7. 阅读如下程序框图，如果输入 4i ，那么在空白矩形框中应填入的语句为 .A 8S .B 9S .C 10S .D 11S 8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .A 9200  .B 18200  .C 9140  .D 18140  9.已知点 )0,2(A ，抛物线 :C yx 42  的焦点为 ,F 射线 FA 与抛物线C 相交于点 M ，与其 准线相交于点 N ，则 MNFM : .A 5:2 .B 2:1 .C 5:1 .D 3:1 10.如图，已知 21 ll  ，圆心在 1l 上，半径为 m1 的圆在 0t 时与 2l 相切于点 A ,圆O 沿 1l 以 sm /1 的速度匀速向上移动，圆被直线 2l 所截上方圆弧长记为 x ，令 xy cos ，则 y 与时 间t （ 10  t ，单位： s ）的函数 )(tfy  的图像大致为 A .B C D 第Ⅰ卷 二．填空题 11.函数 1 xy （ R ）在点 )2,1( 处的切线经过坐标原点，在  12.某住宅小区计划植树不小于100 棵，如第一天植树 2 棵，以后每一天植树的棵数是前1天 的两倍，则需要的最少天数 n ，（  Nn ）等于 13.设 xxxf 3cos3sin3)(  ，若对任意实数 x 都有 axf )( ，则实数 a 的取值范围 14.若圆C 经过坐标原点和点 )0,4( ，且与直线 1y 相切，则圆C 的方程 15．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 AB ∥CD ，则直线 EF 与 正方体的六个面所在的平面相交的平面个数是 。 a A B C D E F 四．解答题 16.正项数列 }{ na 满足： 02)12(2  nana nn （1）求数列 }{ na 的通项公式 na ； （2）令 n n anb )1( 1  ，求数列 }{ nb 的前 n 项和 nT 17. 在 ABC 中 ， 交 CBA ,, 所 对 的 边 分 别 为 cba ,, ， 已 知 12cossinsinsinsin  BCBBA （1）求证： cba ,, 成等差数列； （2）若  3 2C ，求 b a 的值。 18.小波以游戏方式决定是取打球，唱歌还是去下棋，游戏规则为：以 O 为起点，再从 654321 ,,,,, AAAAAA （如图），这 6 个点中任取两个点为终点得到两个向量，记这两个向量 的数量积为 X ，若 0X 就去打球，若 0X 就去唱歌，若 0X ，就去下棋。 （1）写出数量 X 的所有可能值； （2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率 19.如图，直四棱锥 1111 DCBAABCD  中， AB ∥CD , ABAD  , 2AB ， 2AD ， 31 AA , E 为CD 上一点， 3,1  ECDE （1）证明： BE 平面 CCBB 11 （2）求点 1B 到平面 11CEA 的距离 20.椭圆 :C 12 2 2 2  b y a x （ 0,0  ba ）的离心率 2 3e ， 3 ba 。 （1）求椭圆C 的方程。 （2）如图， DBA ,, 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴 于点 N ，直线 AD 交 BP 于 M ，设 BP 的斜率为 k ， MN 的斜率为 m 。 证明： km 2 为定值。 21.设函数         1),1(1 1 0,1 )( xaxa axxaxf a 为常数且 )1,0(a （1）当 2 1a ，求 ))3 1(( ff 的值； （2）若 0x 满足 00 ))(( xxff  ，但 00 )( xxf  ，则称 0x 为 )(xf 的二阶周期点，证明函数 )(xf 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点。 （3）对于（2）中的 21, xx ，设 )))((,( 11 xffxA ， )))((,( 22 xffxB ， )0,( 2aC ，记 ABC 的面积为为 )(aS ，求 )(aS 在区间 ]2 1,3 1[ 上的最大值和最小值。 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A 数学（文科） 本试卷共 4 页，21 题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相 应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。 漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：球的体积 34= 3V R ，其中 R 为球的半径. 锥体的体积公式为 1= 3V Sh ，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合 2 2S=|x|x +2 0, |, |x|x -2 0, |x x R T x x R     ，则 S T = A. |0| B. |0 2|， C. | 2,0 | D. | 2,0,2 | 2.函数 lg( 1) 1 xy x   的定义域是 A.( 1, )  B. 1, )  C.( 1,1) (1, )  D.  1,1 (1, )  3.若 ( ) 3 4 , , ,i x yi i x y R    则复数 x yi 的模是 A.2 B.3 C.4） D.5 4.已知 5 1sin( )2 5    ，那么 cos  2. 5A  1. 5B  1.5C 2. 5D 5.执行如图 1 所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输入 s 的值是 .1A .2B .3C .7D 6.某三棱锥的三视图如图 2 所示，则该三棱锥的体积是 1.6A 1.3B 2. 3C .1A 7.垂直于直线 1y x  且于圆 的直线方程是 . 2 0A x y   . 1 0B x y   . 1 0C x y   . 2 0D x y   8.设l 为直线， ,  是两个不同的平面.下列命题中正确的是 . , ,A l l     若 则 . , ,B l l     若 则 . , ,C l l     若 则 . , ,D l l    若 则 9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F（1,0），离心率等于 1 2 ，则 C 的方程是 2 2 . 13 4 x yA   2 2 . 14 3 x yB   2 2 . 14 2 x yC   2 2 . 14 3 x yD   10.设 是已知的平面向量且 0  .关于向量的分解，有如下四个命题： ①给定向量 b,总存在向量 c，使 a b c  ； ②给定向量 b 和 c,总存在实数  和  ，使 a b c   ； ③给定向量 b 和正数，总存在单位向量 c,使 a b c   . ④给定正数  和  ，总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a b c   . 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 （一）必做题（11~13 题） 11．设数列{ na }是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 1 2 3 4| | | |a a a a    ________。 12．若曲线 2 lny ax x  在点（1， a ）处的切线平行于 x 轴，则 a =________。 13．已知变量 x ， y 满足约束条件 3 0 1 1 1 x y x y         则 z x y  的最大值是________。 （二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的极坐标方程 =2cos  ，以极点为原点，极 轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________。 15．（几何证明选讲选做题）如图 3，在矩形 ABCD 中， 3AB  ， 3BC  ， BE AC ， 垂足为 E ，则 ED =________。 B A E D C 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 30 分，解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16、（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 cos( )12f x x   ， x R （1） 求 ( )3f  的值； （2） 3cos 5   ， 3( ,2 )2   ，求 ( )6f   。 17、（本小题满分 12 分） 从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） [80，85) [80，90) [90，95) [95，100 ) 频数（个） 5 10 20 15 （1） 根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95 ) 的频率； （2） 用分层抽样的方法从重量在[80，85 ) 和[95，100 ) 的苹果中共抽取 4 个，其中重量 在[80，85 ) 的有几个？ （3） 在（2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在[80，85 ) 和[95，100 ) 中各有 1 的概率。 18．（本小题满分 14 分） 如图 4，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D,E 分别是 AB,AC 上的点， AD AE ，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于 G，将 ABF 沿 AF 折起，得到如图 5 所示的三棱锥 A-BCF,其中 2 2BC  （1） 证明： DE BCF 平面 ; （2） 证明：CF ABF 平面 ； （3） 当 2 3AD  时，求：棱锥 F DEG 的体积 F DEGV  。 19．（本小题满分 14 分） 设各项均为正数的数列 n{ }a 的前 n 项和为 ns ，满足 2 n 14s 4 1na n   ， n N  ，且 2a ， 4a ， 2a ， 6a 构成等比数列。 （1） 证明： 2 14 5a a  ； （2） 求数列 na 的通项公式； （3） 证明：对一切正整数 n ，有 1 2 2 3 1 1 1 1 1 2n na a a a a a     20．（本小题满分 14 分） 已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 (0, )( 0)F c c  到直线 : 2 0l x y   的距离为 3 2 2 ， 设 P 为直线l 上的点，过点 P 做抛物线 C 的两条切线 PA,PB 其中 A,B 为切点。 （1） 求抛物线 C 的方程； （2） 当点 0 0( , )p x y 为直线l 上的定点时，求直线 AB 的方程； （3） 当点 P 在直线l 上移动时，求| | | |AF BP 的最小值。 21.（本小题满分 14 分） 设函数 3 2( ) ( )f x x kx x k R    (1) 当 1k  时，求函数 ( )f x 的单调区间； (2) 当 0k  时，求函数 ( )f x 在{1, }k 上最小值 m 和最大值 M. 数学（文科）试卷 A 第 4 页（共 4 页） 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学（文史类） 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.复数 z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件。为了 解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调 查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n= A.9 B.10 C.12 D.13 4.已知 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且 f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4， 则 g（1）等于 A.4 B.3 C.2 D.1 5.在锐角  ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b. 若 2sinB= 3 b，则角 A 等于 A. 3  B. 4  C. 6  D. 12  6.函数 f（x）=㏑ x 的图像与函数 g（x）=x2-4x+4 的图像的交点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 2 的 矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A． 3 2 B.1 C. 2 1 2  D. 2 8.已知 a,b 是单位向量，a·b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为 A. 2 1 B. 2 C. 2 1 D. 2 2 9.已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为 2 8, 0 4, 0 3, x y x y         ，则 AD AB = A. 1 2 B. 1 4 C. 3 2 D. 7 4 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 10.已知集合 {2,3,6,8}, {2,3}, {2,6,8}U A B   ,则 ( )C A B   11.在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 1 2 1,: x sl y s     （s 为参数）和直线 2 ,: 2 1 x atl y t     （t 为参数）平行，则常数 a 的值为________ 12.执行如图 1 所示的程序框图，如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为______ 13.若变量 x,y 满足约束条件 2 8, 0 4, 0 3, x y x y         则 x+y 的最大值为________ 14.设 F1，F2 是双曲线 C， 2 2 2 2 1a x y b   (a>0,b>0)的两个焦点。若在 C 上存在一点 P。使 PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则 C 的离心率为________________. 15.对于 E={a1，a2,….a100}的子集 X={a1，a2,…,an},定义 X 的“特征数列” 为 x1,x2…,x100,其中 x1=x10=…xn=1.其余项均为 0，例如子集{a2，a3}的 “特征数列”为 0，1，0，0，…,0 (1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于________________; (2) 若 E 的子集 P 的“特征数列”P1，P2，…,P100 满足 P1+Pi+1=1, 1≤i≤99; E 的子集 Q 的“特征数列” q1，q2，q100 满足 q1=1，q1+qj+1+qj+2=1， 1≤j≤98，则 P∩Q 的元素个数为___________. 三、解答题；本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= （1） 求 2( )3f  的值； （2） 求使 1( ) 4f x  成立的 x 的取值集合 17.(本小题满分 12 分) 如图 2.在直菱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ABC=90°，AB=AC= ，AA1=3，D 是 BC 的中点，点 E 在菱 BB1 上运动。 （I） 证明：AD⊥C1E； （II） 当异面直线 AC，C1E 所成的角为 60°时， 求三菱子 C1-A2B1E 的体积 18.（本小题满分 12 分） 某人在如图 3 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及 三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收 货量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示： 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。 （Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量; (Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48kg 的概率. 19.（本小题满分 13 分） 设 nS 为数列{ na }的前项和，已知 01 a ，2 nn SSaa  11 ， n N  （Ⅰ）求 1a ， 2a ，并求数列｛ na ｝的通项公式； (Ⅱ)求数列｛ nna ｝的前 n 项和。 20.（本小题满分 13 分） 已知 1F ， 2F 分别是椭圆 15: 2 2  yxE 的左、右焦点 1F ， 2F 关于直线 02  yx 的对 称点是圆C 的一条直径的两个端点。 （Ⅰ）求圆C 的方程； (Ⅱ)设过点 2F 的直线l 被椭圆 E 和圆C 所截得的弦长分别为 a ，b 。当 ab 最大时，求直线l 的方程。 21.（本小题满分 13 分） 已知函数 f（x）= xe x 21 x1   . （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：当 f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0. 绝密★启用并使用完毕 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（文） 本试卷共 5 页，150 分.考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、 选择题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的一项。 （1）已知集合 A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1≤x<1｝,则 A∩B= ( ) （A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝ （C）{0，1} （D）｛-1，,0，1} （2）设 a,b,c∈R,且 abc （B） < （C）a2>b2 （D）a3>b3 （3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 （A）y= (B)y=e-3 （C）y=x2+1 (D)y=lg∣x∣ （4）在复平面内，复数 i（2-i）对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA= ,则 sinB （A） （B） （C） （D）1 （6）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 （A）1 （B） （C） （D） （7）双曲线 x²- =1 的离心率大于 的充分必要条件是 （A）m＞ （B）m≥1 （C）m 大于 1 （D）m＞2 (8)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 为对角线 BD1 的三等分点，P 到各顶点 的距离的不同取值有 （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为（1,0）则 p=____;准线方程为_____ (10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________. (11)若等比数列｛an｝满足 a2+a4=20，a3+a5=40，则公比 q=__________; 前 n 项 sn=_____. (12)设 D 为不等式组 ，表示的平面区域，区域 D 上的点与点（L，0）之间的 距离的最小值为___________. (13)函数 f（x）= 的值域为_________. （14）已知点 A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面区域 D 由所有满足 AP =λAB+ μAC （1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点 P 组成，则 D 的面积为__________. 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分） 已知函数f（x）=（2cos2x-1）sin2x= cos4x. （1） 求f（x）的最小正周期及最大值 （2） （2）若α∈（ ，π）且f（α）= ，求α的值 (16)(本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量 优良，空气质量指数大于 200 表示空气质量重度污染，某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日 中的某一天到达该市，并停留 2 天。 （Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率 （Ⅱ）求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率。 （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17.（本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证： （Ⅰ）PA⊥底面 ABCD; （Ⅱ）BE∥平面 PAD （Ⅲ）平面 BEF⊥平面 PCD. （18）（本小题共 13 分） 已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. （Ⅰ）若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切，求 a 与 b 的值。 （Ⅱ）若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同的交点，求 b 的取值范围。 （19）（本小题共 14 分） 直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y2 相交与 A，C 两点，O 为坐标原电。 （Ⅰ）当点 B 的左边为（0，1），且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长； （Ⅱ）当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形。 （20）（本小题共 13 分） 给定数列 a1，a2，…，an。对 i-1，2，…n-l，该数列前 i 项的最大值记为 Ai，后 n-i 项 ai+1，ai+2，…，an 的最小值记为 Bi，di=ni-Bi. （Ⅰ）设数列{an}为 3，4，7，1，写出 d1，d2，d3 的值. （Ⅱ）设 a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于 1 的等比数列，且 a1＞0.证明：d1，d2，… dn-1 是等比数列。 （Ⅲ）设 d1，d2，…dn-1 是公差大于 0 的等差数列，且 d1＞0，证明：a1，a2，…，an-1 是等差数列。 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考生注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题 卡上所粘帖的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定 的地方填写姓名和座位号后两位。 2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上．．．．对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。 作图题时可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答．．．．． 题无效．．．。 4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、 选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）设 i 是虚数单位，若复数 a-- （a∈R）是纯虚数，则 a 的值为 （ ） （A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3 （2）已知 A=｛x|x+1>0｝，B=｛-2，-1，0，1｝，则（ RA）∩B= （ ） （A）｛-2，-1｝ （B）｛-2｝ （C）{-2，0，1} （D）{0，1} （3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为 （A） （B） （C） （D） （4）“（2x-1）x=0”是“x=0”的 （A）充分不必要条件 （B）必要补充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这无人被录用的机会均 等，则甲或乙被录用的概率为 （A）2/3 (B)2/5 (C)3/5 （D）9/10 （6）直线 x+2y-5+ =0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 （A）1 （B）2 （C）4 （D） （7）设 sn 为等差数列｛an｝的前 n 项和，s1=4a3，a2=-2，则 a9= （A）6 （B）4 （C）-2 （D）2 (8)函数 y=f（x）的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到 n（n≥2）个不同的数 x1，x2，…xn， 使得 f(x1)/x1=f(x2)/x2=…=f(xn)/xn,则 n 的取值范围为 (A) {2,3} (B){2,3,4} (C){3,4} (D){3,4,5} (9)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，若 b+c=2a，3sinA=5sinB,则角 C= (A) π/3 (B)2π/3 (C)3π/4 (D)5π/6 （10）已知函数 f（s）=x3+ax2+bx+c 有两个极致点 x1，x2，若 f（x1）则关于 x 的方程 3(f（x）)2+2af （x）+b=0 的不同实根个数为 （A）3 (B)4 (C) 5 (D)6 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。 （11） 函数 y=ln（1+1/x）+ 的定义域为_____________。 （12）若非负数变量 x、y 满足约束条件 ，则 x+y 的最大值为__________。 （13）若非零向量 a，b 满足|a|=3|b|=|a+2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_______。 （14）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+1）=2f（x）.若当 0≤x≤1 时。f（x）=x（1-x）， 则当-1≤x≤0 时，f（x）=________________。 （15）如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，p 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1 上的动点， 过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的洁面记为 S，则下列命题正确的是 （写出所 有正确命题的编号）。 ①当 0b>0）的焦距为 4，且过点 p（ ， ）。 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 Q（xa，ya）（xa，ya≠0）为椭圆 C 上一点，过点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E。 取点 A(Q,2 ),连接 AE，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D。点 C 是点 D 关于 y 轴的 对称点，作直线 QC，问这样作出的直线 QC 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理 由。 绝密★启封并使用完毕前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页， 第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页， 第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的一项。 （1）已知集合 A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则 A∩B= ( ) （A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝ （C）{0，1} （D）｛-1，,0，1} （2） = ( ) （A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i （3）从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 （ ） （A） （B） （C） （D） （4）已知双曲线 C： = 1（a>0,b>0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程 为 （ ） （A）y=± x （B）y=± x （C）y=± x （D）y=±x （5）已知命题 p： ，则 下列命题中为真命题的是： （ ） （A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q （6）设首项为 1，公比为 的等比数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，则 （ ） （A）Sn =2an-1 （B）Sn =3an-2 （C）Sn =4-3an （D）Sn =3-2an （ 7 ） 执 行 右 面 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 t∈[-1 ， 3] ， 则 输 出 的 s 属 于 （A）[-3,4] （B）[-5,2] （C）[-4,3] （D）[-2,5] （8）O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y²=4 x 的焦点，P 为 C 上一点，若丨 PF 丨=4 ，则 △POF 的面积为 （A）2 （B）2 （C）2 （D）4 （9）函数 f（x）=（1-cosx）sinx 在[-π，π]的图像大致为 （10）已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7， c=6，则 b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5 （11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 （A）18+8π （B）8+8π （C）16+16π （D）8+16π （12）已知函数 f（x）= 若|f（x）|≥ax，则 a 的取值范围是 （A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0] 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作 答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 （13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+（1-t）b，若b·c=0，则t=_____. (14)设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x-y 的最大值为______. （15）已知H是求O的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB⊥平面a，H为垂足，a截球o所得截面的面 积为π，则求o的表面积为_______. (16)设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知等差数列｛an｝的前n项和Sn满足S3=0，S5=-5. （Ⅰ）求｛an｝的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前n项和 18（本小题满分共 12 分） 为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间 （单位：h）实验的观测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 19.（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB,AB=A A1,∠ BA A1=600. （Ⅰ）证明 AB⊥A1C; （Ⅱ）若 AB=CB=2, A1C= ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 （20）（本小题满分共 12 分） 已知函数 f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为 y=4x+4 （Ⅰ）求 a，b 的值 （Ⅱ）讨论 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值 (21)(本小题满分 12 分) 已知圆 M：（x+1）2+y2=1,圆 N：（x+1）2+y2=9,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内 切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求 C 得方程； （Ⅱ）l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长是，求|AB|. （10）已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7， c=6，则 b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点 为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。 （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为 1，BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求△BCF 外接圆的半径。 （23）（本小题 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 x=4+5cost， y=5+5sint，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线 C2 的 极坐标方程为ρ=2sinθ。 （Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣2x-1∣+∣2x+a∣,g(x)=x+3. （Ⅰ）当 a=2 时，求不等式 f(x) ＜g(x)的解集； （Ⅱ）设 a＞-1,且当 x∈[- , )时，f(x) ≤g(x),求 a 的取值范围. 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（理工类） 【34】（A，湖北，理 1）在复平面内，复数 2i 1 iz   （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点 位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点名称 数系的扩充与复数的概念 【34】（A，湖北，理 1）D 解析： i1i)i(1i1 i2 z ，则 i1z ，其对应点 Z（1，－1）位于第四象限. 【1】（A，湖北，理 2）已知全集为 R ，集合 1{ ( ) 1}2 xA x  ， 2{ 6 8 0}B x x x    ，则 A B R ð A．{ 0}x x  B．{ 2 4}x x  C．{ 0 2 4}x x x  或 D．{ 0 2 4}x x x  或 考点名称 集合 【1】（A，湖北，理 2）C 解 析 ： ∵ 4,20862  xxxx ， 012 1      x x ， ∴ A B R ð { 0 2 4}x x x  或 . 【2】（A，湖北，理 3 文 3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题 p 是“甲 降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指 定范围”可表示为 A． ( )p ∨ ( )q B． p ∨ ( )q C． ( )p ∧ ( )q D． p ∨ q 考点名称 常用逻辑语句 【2】（A，湖北，理 3 文 3）A 解析：因为 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则 p 是“没有降落在指 定范围”， q 是“乙 没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( )p ∨ ( )q . 【6】（B，湖北，理 4 文 6）将函数 3cos sin ( )y x x x   R 的图象向左平移 ( 0)m m  个单 位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 A． π 12 B． π 6 C． π 3 D． 5π 6 考点名称 三角函数及其图象与性质 【6】（B，湖北，理 4 文 6）B 解析：因为 3cos sin ( )y x x x   R 可化为 )6cos(2  xy （x∈R），将它向左平移 π 6 个 单位得 xxy cos26)6(cos2       ，其图像关于 y 轴对称. 【17】（B，湖北，文 2 理 5）已知 π0 4   ，则双曲线 1C ： 2 2 2 2 1cos sin x y    与 2C ： 2 2 2 2 2 1sin sin tan y x     的 A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 考点名称 圆锥曲线及其标准方程 【17】（B，湖北，文 2 理 5）D 解析：对于双曲线 C1，有 1sincos 222  c ， cos 1 a ce . 对于双曲线 C2，有  222222 tansecsin)tan1(sin c ，   cos 1 sin tan  a ce .即这两双曲线的 离心率相等. 【7】（B，湖北，理 6 文 7）已知点 ( 1, 1)A  、 (1, 2)B 、 ( 2, 1)C   、 (3, 4)D ，则向量 AB  在 CD  方向上的投影为 A． 3 2 2 B． 3 15 2 C． 3 2 2  D． 3 15 2  考点名称 平面向量的概念及其运算 【7】（A，湖北，理 6 文 7）A 解析： AB =（2,1），CD =（5,5），则向量 AB 在向量CD 方向上的射影为 2 23 25 5152 55 )5,5()1,2(cos 22    CD CDABAB  . 【31】（C，湖北，理 7）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 25( ) 7 3 1v t t t     （t 的单位：s，v 的单位：m/s）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离 （单位：m）是 A．1 25ln5 B． 118 25ln 3  C． 4 25ln5 D． 4 50ln 2 考点名称 定积分与微积分基本定理 【31】（C，湖北，理 7）C 解析：令 25( ) 7 3 1v t t t     =0，解得 t ＝4 或 t＝ 3 8 （不合题意，舍去），即汽车经过 4 秒 中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为   4 0 4 0 d)1 2537(d)( tttttv 4 0 2 )1ln(252 37       ttt ＝ 5ln254  . 【21】（B，湖北，理 8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几 何体组成，其体积分别记为 1V ， 2V ， 3V ， 4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面 两个简单几何体均为多面体，则有 A． 1 2 4 3V V V V   B． 1 3 2 4V V V V   C． 2 1 3 4V V V V   D． 2 3 1 4V V V V   考点名称 空间几何体与三视图 【21】（B，湖北，理 8） C 解析：显然 32 VV  ，所以 B 不正确. 又  3 7)1212(3 22 1 V ，  221 2 2 V ， 823 3 V ， 3 28)2424(3 1 22 4 V ，从而 2 1 3 4V V V V   . 【26】（B，湖北，理 9）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小 的小正方体. 经过搅 第 8 题图 第 9 题图 拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X ，则 X 的均值 ( )E X  A． 126 125 B． 6 5 C． 168 125 D． 7 5 考点名称 统计 【26】（B，湖北，理 9）B 125 个同样大小的小正方体的面数共有 125×6=750，涂了油漆 的面数有 25×6=150. 每 一 个 小 正 方 体 的 一 个 面 涂 漆 的 频 率 为 5 1 750 150  ， 则 它 的 涂 漆 面 数 为 X 的 均 值 ( )E X  5 665 1  . 【29】（C，湖北，理 10）已知 a 为常数，函数 ( ) (ln )f x x x ax  有两个极值点 1x ， 2 1 2( )x x x ， 则 A． 1( ) 0f x  ， 2 1( ) 2f x   B． 1( ) 0f x  ， 2 1( ) 2f x   C． 1( ) 0f x  ， 2 1( ) 2f x   D． 1( ) 0f x  ， 2 1( ) 2f x   考点名称 导数及其应用 【29】（C，湖北，理 10）D 解析： axxxf 21ln)('  ，由 ( ) (ln )f x x x ax  由两个极值点，得 0)(' xf 有两个 不等的实数解，即 12ln  axx 有两个实数解，从而直线 12  axy 与曲线 xy ln 有两 个交点. 过点（0，－1）作 xy ln 的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率 0 1 xk  ， 切线方程为 11 0  xxy . 切点在切线上，则 01 0 0 0  x xy ，又切点在曲线 xy ln 上， 则 10ln 00  xx ，即切点为（1，0），切线方程为 1 xy . 再由直线 12  axy 与 曲线 xy ln 有两个交点.，知直线 12  axy 位于两直线 0y 和 1 xy 之间，如图所 示，其斜率 2a 满足：0＜2a＜1，解得 0＜a＜ 2 1 . .则这函数的两个极点 21, xx 满足 21 10 xx  ，所以 )()1()( 21 xffxf  ，而 )0,2 1()1(  af ，即 )()( 21 xfaxf  ，所以 2 1)(,0)( 21  xfxf . 【26】（A，湖北，理 11）从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中 x 的值为_________； （Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250) 内的户数为_________. 考点名称 统计 【26】（A，湖北，理 11）（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 解析：（Ⅰ） )]0012.00024.020036.00060.0(501[50 1 x ＝0.0044； （Ⅱ）用电量落在区间[100,250) 内的户数为 7010050)0044.00060.00036.0(  . 【24】（A，湖北，理 12）阅读如图所示的程序框图，运行相应的 程序，输出的结果 i  _________. 考点名称 算法初步与框图 【24】（A，湖北，理 12）5 解析：已知初始值 1,10  ia ，∵ 410 a ，则执行程序，得 2,5  ia ；因为 45 a ， 则执行程序，得 3,16  ia ； 416 a ，则第三 次执行程序，得 4,8  ia ；∵ 48 a ，则第四 次执行程序，得 5,4  ia ；∵ 4a ，执行输出 i， 5i . 【13】（C，湖北，理 13）设 , ,x y z R ，且满足： 2 2 2 1x y z   ， 2 3 14x y z   ， 则 x y z   _________. 考点名称 【13】（C，湖北，理 13） 3 14 7 解析： 【39】（湖北理 14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1，3， 6，10， ，第 n 个三角形数为 2( 1) 1 1 2 2 2 n n n n   . 记第 n 个 k 边形数为 ( , ) ( 3)N n k k  ， 以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 三角形数 21 1( ,3) 2 2N n n n  ， 否 1i i  ?4a  10, 1a i  开始 是 结束 a 是奇数 ? 3 1a a  2 aa  是 否 输出 i 第 11 题图 第 12 题图 正方形数 2( ,4)N n n ， 五边形数 23 1( ,5) 2 2N n n n  ， 六边形数 2( ,6) 2N n n n  ， ……………………………………… 可以推测 ( , )N n k 的表达式，由此计算 (10,24)N  _________. 考点名称 创新与拓展 【13】（C，湖北，理 13）1000 解析：三角形数 21 1( ,3) 2 2N n n n  ， 正方形数 2( ,4)N n n = nn )2 1 2 1()2 1 2 1( 2 2 12   个 ， 五边形数 23 1( ,5) 2 2N n n n  = nn )2 1 2 1 2 1()2 1 2 1 2 1( 2 2 13   个 ， 六边形数 2( ,6) 2N n n n  = nn )2 1 2 1 2 1 2 1()2 1 2 1 2 1 2 1( 2 12 2 2 14      个个 = ， ……………………………………… 推 测 k 边 形 ),( knN nn kk )2 1...2 1 2 1 2 1 2 1()2 1 2 1...2 1 2 1( 2 1)4( 2 2 1)2(        个个 nknk )4(2 1)2(2 1 2  . 所以 1000100110010)424(2 110)224(2 1)24,10( 2 N . 【37】（B，湖北，理 15）如图，圆 O 上一点C 在直径 AB 上的射影为 D ，点 D 在半径 OC 上 的射影为 E ．若 3AB AD ，则 CE EO 的值为_________． 考点名称 选修 4-1：几何证明选讲 【37】（B，湖北，理 15）8 解析：根据题设，易知 DOAOOC 3 ， Rt△ODE∽Rt△DCE∽Rt△OCD，∴ 1 3 OD OC DE CD OE OD ，即 CO=3OD=9OE， 在 Rt△ODE 中， 222222 89 OEOEOEOEDODE  ， OD E BA 第 15 题图 C 在 Rt△CDE 中， 222222 89 DEDEDEDECDCE  264OE ，即 642 2  EO CE ， ∴ 8 EO CE . 【36】（A，湖北，理 16） 在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为 cos , sin x a y b      （ 为参数， 0a b  ）. 在 极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴 为极轴）中，直线 l 与圆O 的极坐标方程分别为 π 2sin( )4 2 m    （m 为非零常数） 与 b  . 若直线 l 经过椭圆 C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆 C 的离心率为_________. 考点名称 选修 4-4：坐标系与参数方程 【36】（A，湖北，理 16） 6 3 椭圆 C 的方程可以化为 12 2 2 2  b y a x ，圆 O 的方程可化为 222 byx  ，直线 l 的方程可化为 myx  ，因为直线 l 经过椭圆的焦点，且与圆 O 相切， 则 mc  ， mb 2 2 ， mmma 2 6 2 2 2  ，所以椭圆的离心率 3 6 2 6  m m a ce . 【10】（B，湖北，理 17）在△ ABC 中，角 A ，B ，C 对应的边分别是 a ，b ，c . 已知 cos2 3cos( ) 1A B C   . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若△ ABC 的面积 5 3S  ， 5b  ，求 sin sinB C 的值. 考点名称 解三角形 【10】（B，湖北，理 17）（Ⅰ）由 cos2 3cos( ) 1A B C   ，得 22cos 3cos 2 0A A   , 即 (2cos 1)(cos 2) 0A A   ，解得 1cos 2A  或 cos 2A   （舍去）. 因为 0 πA  ，所以 π 3A  . （Ⅱ）由 1 1 3 3sin 5 3,2 2 2 4S bc A bc bc     得 20bc  . 又 5b  ，知 4c  . 由余弦定理得 2 2 2 2 cos 25 16 20 21,a b c bc A       故 21a  . 又由正弦定理得 2 2 20 3 5sin sin sin sin sin 21 4 7 b c bcB C A A Aa a a       . 【19】（B，湖北，理 18）已知等比数列{ }na 满足： 2 3| | 10a a  ， 1 2 3 125a a a  . （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数 m ，使得 1 2 1 1 1 1 ma a a     ？若存在，求 m 的最小值；若不存 在，说明理由. 考点名称 等比数列 【19】（B，湖北，理 18）（Ⅰ）设等比数列{ }na 的公比为 q，则由已知可得 3 3 1 2 1 1 125, | | 10, a q a q a q     解得 1 5 ,3 3, a q     或 1 5, 1. a q      故 15 33 n na   ，或 15 ( 1)n na     . （Ⅱ）若 15 33 n na   ，则 11 3 1( )5 3 n na   ，故 1{ } na 是首项为 3 5 ，公比为 1 3 的等比数列， 从而 1 3 1[1 ( ) ]1 9 1 95 3 [1 ( ) ] 11 10 3 101 3 m m m n na           . 若 1( 5) ( 1)n na     ，则 11 1 ( 1)5 n na    ，故 1{ } na 是首项为 1 5  ，公比为 1 的等比数列， 从而 1 1 , 2 1 ( ),1 5 0 2 ( ). m n n m k k a m k k             N N, 故 1 1 1 m n na  . 综上，对任何正整数 m ，总有 1 1 1 m n na  . 故不存在正整数 m ，使得 1 2 1 1 1 1 ma a a     成立. 【23】（B，湖北，理 19）如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 ,A B 的 点，直线 PC  平面 ABC ， E ， F 分别是 PA ， PC 的中点. （Ⅰ）记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ，试判断直线 l 与平面 PAC 的位置 关系，并加以证明； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ，且点 Q 满足 1 2DQ CP  . 记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 ，异面直线 PQ 与 EF 所成的角为  ，二面角 E l C  的大小为  ，求证： sin sin sin   . 考点名称 空间向量与立体几何 【23】（B，湖北，理 19）（Ⅰ）直线 l ∥平面 PAC ，证明如下： 第 19 题图 连接 EF ，因为 E ， F 分别是 PA ， PC 的中点，所以 EF ∥ AC . 又 EF  平面 ABC ，且 AC  平面 ABC ，所以 EF ∥平面 ABC . 而 EF  平面 BEF ，且平面 BEF  平面 ABC l ，所以 EF ∥ l . 因为 l  平面 PAC ， EF  平面 PAC ，所以直线 l ∥平面 PAC . （Ⅱ）（综合法）如图 1，连接 BD ，由（Ⅰ）可知交线 l 即为直线 BD ，且 l ∥ AC . 因为 AB 是 O 的直径，所以 AC BC ，于是l BC . 已知 PC  平面 ABC ，而 l  平面 ABC ，所以 PC l . 而 PC BC C ，所以 l  平面 PBC . 连接 BE ， BF ，因为 BF  平面 PBC ，所以l BF . 故 CBF 就是二面角 E l C  的平面角，即 CBF   . 由 1 2DQ CP  ，作 DQ ∥ CP ，且 1 2DQ CP . 连接 PQ ， DF ，因为 F 是CP 的中点， 2CP PF ，所以 DQ PF ， 从而四边形 DQPF 是平行四边形， PQ ∥ FD . 连接 CD ，因为 PC  平面 ABC ，所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影， 故 CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角，即 CDF   . 又 BD  平面 PBC ，有 BD BF ，知 BDF 为锐角， 故 BDF 为异面直线 PQ 与 EF 所成的角，即 BDF   ， 于是在 Rt △ DCF ， Rt △ FBD ， Rt △ BCF 中，分别可得 sin CF DF   ， sin BF DF   ，sin CF BF   ， 从而 sin sin sinCF BF CF BF DF DF       ，即 sin sin sin   . （Ⅱ）（向量法）如图 2，由 1 2DQ CP  ，作 DQ ∥CP ，且 1 2DQ CP . 连接 PQ ， EF ， BE ， BF ， BD ，由（Ⅰ）可知交线 l 即为直线 BD . 以点 C 为原点，向量 , ,CA CB CP    所在直线分别为 , ,x y z 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系，设 , , 2CA a CB b CP c   ，则有 (0, 0, 0), ( , 0, 0), (0, , 0), (0, 0, 2 ), ( , , )C A a B b P c Q a b c , 1( , 0, ), (0, 0, )2E a c F c . 于是 1( , 0, 0)2FE a ， ( , , )QP a b c   ， (0, , )BF b c  ， 所以 2 2 2 | |cos | | | | FE QP a FE QP a b c           ，从而 2 2 2 2 2 2 sin 1 cos b c a b c        . 第 19 题解答图 1 第 19 题解答图 2 又取平面 ABC 的一个法向量为 (0, 0, 1)m ，可得 2 2 2 | |sin | | | | QP c QP a b c        m m ， 设平面 BEF 的一个法向量为 ( , , )x y zn ， 所以由 0, 0, FE BF        n n 可得 1 0,2 0. ax by cz      取 (0, , )c bn . 于是 2 2 | || cos | | | | | b b c     m n m n ，从而 2 2 2 sin 1 cos c b c      . 故 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sinb c c c a b c b c a b c            ，即 sin sin sin   . 【40】（B，湖北，理 20）假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 2(800, 50 )N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 0p . （Ⅰ）求 0p 的值； （参考数据：若 X ～ 2( , )N   ，有 ( ) 0.6826P X        ， ( 2 2 ) 0.9544P X        ， ( 3 3 ) 0.9974P X        .） （Ⅱ）某客运公司用 A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每 天往返一次. A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营 运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车 队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆. 若每天要以不小于 0p 的概率运完从甲地去 乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、B 型 车各多少辆? 考点名称 随机变量及其分布，简单的线性规划 【40】（B，湖北，理 20）（Ⅰ）由于随机变量 X 服从正态分布 2(800, 50 )N ，故有 800  ， 50  (700 900) 0.9544P X   . 由正态分布的对称性，可得 0 ( 900) ( 800) (800 900)p P X P X P X       1 1 (700 900) 0.97722 2 P X     . （Ⅱ）设 A 型、 B 型车辆的数量分别为 , x y 辆，则相应的营 运成本为1600 2400x y . 依题意, , x y 还需满足： 021, 7, ( 36 60 )x y y x P X x y p       . 由（Ⅰ）知， 0 ( 900)p P X  ，故 0( 36 60 )P X x y p   第 20 题解答图 等价于 36 60 900x y  . 于是问题等价于求满足约束条件 21, 7, 36 60 900, , 0 , , x y y x x y x y x y           N， 且使目标函数 1600 2400z x y  达到最小的 ,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 (5,12), (7,14), (15,6)P Q R . 由图可知，当直线 1600 2400z x y  经过可行域的点 P 时，直线 1600 2400z x y  在 y 轴上截距 2400 z 最小，即 z 取得最小值. 故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆. 【16】（C，湖北，理 21）如图，已知椭圆 1C 与 2C 的中心在坐标原点O ，长 轴均为 MN 且在 x 轴上，短轴长分别为 2m ，2 ( )n m n ，过原点且不与 x 轴 重合的直线 l 与 1C ， 2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D．记 m n   ，△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 1S 和 2S . （Ⅰ）当直线 l 与 y 轴重合时，若 1 2S S ，求  的值； （Ⅱ）当  变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 1 2S S ？ 并说明理由． 考点名称 直线与圆锥曲线 【16】（C，湖北，理 21）依题意可设椭圆 1C 和 2C 的方程分别为 1C ： 2 2 2 2 1x y a m   ， 2C ： 2 2 2 2 1x y a n   . 其中 0a m n   ， 1.m n    （Ⅰ）解法 1：如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，即直线 l 的方程为 0x  ，则 1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD   ， 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB   ，所以 1 2 | | | | S BD S AB  . 在 C1 和 C2 的方程中分别令 0x  ，可得 Ay m ， By n ， Dy m  ， 于是 | || | 1 | | | | 1 B D A B y yBD m n AB y y m n          . 若 1 2 S S  ，则 1 1     ，化简得 2 2 1 0    . 由 1  ，可解得 2 1   . 故当直线 l 与 y 轴重合时，若 1 2S S ，则 2 1   . 解法 2：如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，则 | | | | | |BD OB OD m n    ，| | | | | |AB OA OB m n    ； O x y B A 第 21 题图 C D M N 1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD   ， 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB   . 所以 1 2 | | 1 | | 1 S BD m n S AB m n        . 若 1 2 S S  ，则 1 1     ，化简得 2 2 1 0    . 由 1  ，可解得 2 1   . 故当直线 l 与 y 轴重合时，若 1 2S S ，则 2 1   . （Ⅱ）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 1 2S S . 根据对称性， 不妨设直线 l ： ( 0)y kx k  ， 点 ( , 0)M a ， ( , 0)N a 到直线 l 的距离分别为 1d ， 2d ，则 因为 1 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k      ， 2 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k     ，所以 1 2d d . 又 1 1 1 | |2S BD d ， 2 2 1 | |2S AB d ，所以 1 2 | | | | S BD S AB   ，即| | | |BD AB . 由对称性可知| | | |AB CD ，所以| | | | | | ( 1) | |BC BD AB AB    ， | | | | | | ( 1) | |AD BD AB AB    ，于是 | | 1 | | 1 AD BC     . ① 将 l 的方程分别与 C1，C2 的方程联立，可求得 2 2 2A amx a k m   ， 2 2 2B anx a k n   . 根据对称性可知 C Bx x  ， D Ax x  ，于是 2 2 2 2 2 2 22 1 | | 2| | | | 21 | | A D A BB C k x x xAD m a k n BC x n a k mk x x        . ② 从而由①和②式可得 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) a k n a k m       . ③ O x y B A 第 21 题解答图 1 C D M N O x y B A 第 21 题解答图 2 C D M N 令 1 ( 1)t      ，则由 m n ，可得 1t  ，于是由③可解得 2 2 2 2 2 2 ( 1) (1 ) n tk a t    . 因为 0k  ，所以 2 0k  . 于是③式关于 k 有解，当且仅当 2 2 2 2 2 ( 1) 0(1 ) n t a t    ， 等价于 2 2 2 1( 1)( ) 0t t    . 由 1  ，可解得 1 1t   ， 即 1 1 1( 1)       ，由 1  ，解得 1 2   ，所以 当1 1 2   时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 1 2S S ； 当 1 2   时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 1 2S S . 解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 1 2S S . 根据对称性， 不妨设直线 l ： ( 0)y kx k  ， 点 ( , 0)M a ， ( , 0)N a 到直线 l 的距离分别为 1d ， 2d ，则 因为 1 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k      ， 2 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k     ，所以 1 2d d . 又 1 1 1 | |2S BD d ， 2 2 1 | |2S AB d ，所以 1 2 | | | | S BD S AB   . 因为 2 2 1 | || | | | 1 | | B D A B A BA B k x x x xBD AB x xk x x       ，所以 1 1 A B x x     . 由点 ( , )A AA x kx ， ( , )B BB x kx 分别在 C1，C2 上，可得 2 2 2 2 2 1A Ax k x a m   ， 2 2 2 2 2 1B Bx k x a n   ，两式相减可得 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0A B A Bx x k x x a m    ， 依题意 0A Bx x  ，所以 2 2 A Bx x . 所以由上式解得 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) A B B A m x xk a x x   . 因为 2 0k  ，所以由 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0( ) A B B A m x x a x x   ，可解得1 A B x x   . 从而 11 1     ，解得 1 2   ，所以 当1 1 2   时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 1 2S S ； 当 1 2   时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 1 2S S . 【40】（湖北理 22）设 n 是正整数， r 为正有理数. （Ⅰ）求函数 1( ) (1 ) ( 1) 1 ( 1)rf x x r x x       的最小值； （Ⅱ）证明： 1 1 1 1( 1) ( 1) 1 1 r r r r rn n n nnr r          ； （Ⅲ）设 xR ，记 x   为不小于．．．x 的最小整数，例如 2 2   ， π 4   ， 3 12       . 令 3 3 3 381 82 83 125S      ，求 S   的值. （参考数据： 4 380 344.7 ， 4 381 350.5 ， 4 3124 618.3 ， 4 3126 631.7 ） 考点名称 导数，函数的性质，不等式，创新与拓展，交汇与整合 【40】（湖北理 22）（Ⅰ）因为 ( ) ( 1)(1 ) ( 1) ( 1)[(1 ) 1]r rf x r x r r x          ，令 ( ) 0f x  ， 解得 0x  . 当 1 0x   时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 ( 1,0) 内是减函数； 当 0x  时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 (0, ) 内是增函数. 故函数 ( )f x 在 0x  处取得最小值 (0) 0f  . （Ⅱ）由（Ⅰ），当 ( 1, )x   时，有 ( ) (0) 0f x f  ，即 1(1 ) 1 ( 1)rx r x    ，且等号当且仅当 0x  时成立， 故当 1x   且 0x  时，有 1(1 ) 1 ( 1)rx r x    . ① 在①中，令 1x n  （这时 1x   且 0x  ），得 11 1(1 ) 1r r n n     . 上式两边同乘 1rn  ，得 1 1( 1) ( 1)r r rn n n r     ，即 1 1( 1) .1 r r r n nn r     ② 当 1n  时，在①中令 1x n   （这时 1x   且 0x  ），类似可得 1 1( 1) .1 r r r n nn r     ③ 且当 1n  时，③也成立. 综合②，③得 1 1 1 1( 1) ( 1) .1 1 r r r r rn n n nnr r          ④ （Ⅲ）在④中，令 1 3r  ， n 分别取值 81，82，83，…，125，得 4 4 4 4 33 3 3 33 381 80 81 (82 81 )4 4   （ ）< ， 4 4 4 4 33 3 3 33 382 81 82 (83 82 )4 4   （ ）< ， 4 4 4 4 33 3 3 33 383 82 83 (84 83 )4 4    （ ） ， ……… 4 4 4 4 33 3 3 33 3125 124 125 (126 125 )4 4    （ ） . 将以上各式相加，并整理得 4 4 4 4 3 3 3 33 3125 80 (126 81 )4 4S   （ ） . 代入数据计算，可得 4 4 3 33 125 80 210.24  （ ） ， 4 4 3 33 126 81 210.94  （ ） . 由 S   的定义，得 211S    . 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（文史类） 本试题卷共 5 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方 框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无 效。 3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知全集 {1,2,3,4,5}U  ，集合 {1,2}A  ， {2,3,4}B  ，则 UB A  ð A．{2} B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5} 2．已知 π0 4   ，则双曲线 1C ： 2 2 2 2 1sin cos x y    与 2C ： 2 2 2 2 1cos sin y x    的 A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A． ( )p ∨ ( )q B． p ∨ ( )q C． ( )p ∧ ( )q D． p ∨ q 4．四名同学根据各自的样本数据研究变量 ,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论： ① y 与 x 负相关且  2.347 6.423y x  ； ② y 与 x 负相关且  3.476 5.648y x   ； ③ y 与 x 正相关且  5.437 8.493y x  ； ④ y 与 x 正相关且  4.326 4.578y x   . 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A．①② B．②③ C．③④ D． ①④ 5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快 速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 6．将函数 3cos sin ( )y x x x   R 的图象向左平移 ( 0)m m  个单位长度后，所得到的图 象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 A． π 12 B． π 6 C． π 3 D． 5π 6 7．已知点 ( 1, 1)A  、 (1, 2)B 、 ( 2, 1)C   、 (3, 4)D ，则向量 AB  在 CD  方向上的投影为 A． 3 2 2 B． 3 15 2 C． 3 2 2  D． 3 15 2  8．x 为实数，[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 ( ) [ ]f x x x  在 R 上为 A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数 9．某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行， A 、 B 两种车辆的载客量 分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆，旅行社要求租车总数不 超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆．则租金最少为 A．31200 元 B．36000 元 C．36800 元 D．38400 元 10．已知函数 ( ) (ln )f x x x ax  有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 A． ( , 0) B． 1(0, )2 C． (0, 1) D． (0, )  距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 A B C D 时间 时间 时间 时间 O O O O 距学校的距离 第 17 题图 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11． i 为虚数单位，设复数 1z ， 2z 在复平面内对应的点关于原点对称， 若 1 2 3iz   ，则 2z  . 12．某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 . 13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入 m 的值为 2， 则输出的结果 i  . 14．已知圆 O ： 2 2 5x y  ，直线l ： cos sin 1x y   （ π0 2   ）. 设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k ，则 k  . 15．在区间[ 2,4] 上随机地取一个数 x，若 x 满足| |x m 的概率为 5 6 ， 则 m  . 16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天 池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆 中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 17．在平面直角坐标系中，若点 ( , )P x y 的坐标 x ， y 均为整数，则称点 P 为格点. 若一个多 边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为 S ，其内部 的格点数记为 N ，边界上的格点数记为 L . 例如图中 △ ABC 是格点三角形，对应的 1S  ， 0N  ， 4L  . （Ⅰ）图中格点四边形 DEFG 对应的 , ,S N L 分别 是 ； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为 S aN bL c   ，其中 a，b，c 为常数. 若某格点多边形对应的 71N  ， 18L  ， 则 S  （用数值作答）. 否 A A m  1i i  输入 m 1, 1, 0A B i   开始 结束 是 ?A B 输出 i 第 13 题图 B B i  三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分 12 分） 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 对应的边分别是 a ，b ，c . 已知 cos2 3cos( ) 1A B C   . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若△ ABC 的面积 5 3S  ， 5b  ，求 sin sinB C 的值. 19．（本小题满分 13 分） 已知 nS 是等比数列{ }na 的前 n 项和， 4S ， 2S ， 3S 成等差数列，且 2 3 4 18a a a    . （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数 n ，使得 2013nS  ？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合； 若不存在，说明理由． 20．（本小题满分 13 分） 如图，某地质队自水平地面 A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏， 再继续下钻到 A2 处后下面已无矿，从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 1 2 1A A d ．同样可 得在 B，C 处正下方的矿层厚度分别为 1 2 2B B d ， 1 2 3C C d ，且 1 2 3d d d  . 过 AB ， AC 的中点 M ， N 且与直线 2AA 平行的平面截多面体 1 1 1 2 2 2A B C A B C 所得的截面 DEFG 为该 多面体的一个中截面，其面积记为 S中 ． （Ⅰ）证明：中截面 DEFG 是梯形； （Ⅱ）在△ABC 中，记 BC a ，BC 边上的高为 h ，面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内 正下方的矿藏储量（即多面体 1 1 1 2 2 2A B C A B C 的体积 V ）时，可用近似公式 V S h 估 中 来估算. 已知 1 2 3 1 ( )3V d d d S   ，试判断V估 与 V 的大小关系，并加 以证明. 第 20 题图 21．（本小题满分 13 分） 设 0a  ， 0b  ，已知函数 ( ) 1 ax bf x x   . （Ⅰ）当 a b 时，讨论函数 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）当 0x  时，称 ( )f x 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数. （i）判断 (1)f , ( )bf a , ( )bf a 是否成等比数列，并证明 ( ) ( )b bf fa a  ； （ii） a 、 b 的几何平均数记为 G. 称 2ab a b 为 a 、b 的调和平均数，记为 H. 若 ( )H f x G  ，求 x 的取值范围. 22．（本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆 1C 与 2C 的中心在坐标原点 O ，长轴均为 MN 且在 x 轴上，短轴长分别 为 2m ， 2 ( )n m n ，过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 1C ， 2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A，B，C，D．记 m n   ，△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 1S 和 2S . （Ⅰ）当直线 l 与 y 轴重合时，若 1 2S S ，求  的值； （Ⅱ）当  变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 1 2S S ？并说明理由． O x y B A 第 22 题图 C D M N 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（文史类） 本试题卷共 5 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方 框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无 效。 3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知全集 {1,2,3,4,5}U  ，集合 {1,2}A  ， {2,3,4}B  ，则 UB A  ð A．{2} B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5} 2．已知 π0 4   ，则双曲线 1C ： 2 2 2 2 1sin cos x y    与 2C ： 2 2 2 2 1cos sin y x    的 A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A． ( )p ∨ ( )q B． p ∨ ( )q C． ( )p ∧ ( )q D． p ∨ q 4．四名同学根据各自的样本数据研究变量 ,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论： ① y 与 x 负相关且  2.347 6.423y x  ； ② y 与 x 负相关且  3.476 5.648y x   ； ③ y 与 x 正相关且  5.437 8.493y x  ； ④ y 与 x 正相关且  4.326 4.578y x   . 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A．①② B．②③ C．③④ D． ①④ 5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快 速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 6．将函数 3cos sin ( )y x x x   R 的图象向左平移 ( 0)m m  个单位长度后，所得到的图 象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 A． π 12 B． π 6 C． π 3 D． 5π 6 7．已知点 ( 1, 1)A  、 (1, 2)B 、 ( 2, 1)C   、 (3, 4)D ，则向量 AB  在 CD  方向上的投影为 A． 3 2 2 B． 3 15 2 C． 3 2 2  D． 3 15 2  8．x 为实数，[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 ( ) [ ]f x x x  在 R 上为 A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数 9．某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行， A 、 B 两种车辆的载客量 分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆，旅行社要求租车总数不 超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆．则租金最少为 A．31200 元 B．36000 元 C．36800 元 D．38400 元 10．已知函数 ( ) (ln )f x x x ax  有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 A． ( , 0) B． 1(0, )2 C． (0, 1) D． (0, )  距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 A B C D 时间 时间 时间 时间 O O O O 距学校的距离 第 17 题图 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11． i 为虚数单位，设复数 1z ， 2z 在复平面内对应的点关于原点对称， 若 1 2 3iz   ，则 2z  . 12．某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 . 13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入 m 的值为 2， 则输出的结果 i  . 14．已知圆 O ： 2 2 5x y  ，直线l ： cos sin 1x y   （ π0 2   ）. 设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k ，则 k  . 15．在区间[ 2,4] 上随机地取一个数 x，若 x 满足| |x m 的概率为 5 6 ， 则 m  . 16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天 池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆 中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 17．在平面直角坐标系中，若点 ( , )P x y 的坐标 x ， y 均为整数，则称点 P 为格点. 若一个多 边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为 S ，其内部 的格点数记为 N ，边界上的格点数记为 L . 例如图中 △ ABC 是格点三角形，对应的 1S  ， 0N  ， 4L  . （Ⅰ）图中格点四边形 DEFG 对应的 , ,S N L 分别 是 ； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为 S aN bL c   ，其中 a，b，c 为常数. 若某格点多边形对应的 71N  ， 18L  ， 则 S  （用数值作答）. 否 A A m  1i i  输入 m 1, 1, 0A B i   开始 结束 是 ?A B 输出 i 第 13 题图 B B i  三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分 12 分） 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 对应的边分别是 a ，b ，c . 已知 cos2 3cos( ) 1A B C   . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若△ ABC 的面积 5 3S  ， 5b  ，求 sin sinB C 的值. 19．（本小题满分 13 分） 已知 nS 是等比数列{ }na 的前 n 项和， 4S ， 2S ， 3S 成等差数列，且 2 3 4 18a a a    . （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数 n ，使得 2013nS  ？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合； 若不存在，说明理由． 20．（本小题满分 13 分） 如图，某地质队自水平地面 A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏， 再继续下钻到 A2 处后下面已无矿，从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 1 2 1A A d ．同样可 得在 B，C 处正下方的矿层厚度分别为 1 2 2B B d ， 1 2 3C C d ，且 1 2 3d d d  . 过 AB ， AC 的中点 M ， N 且与直线 2AA 平行的平面截多面体 1 1 1 2 2 2A B C A B C 所得的截面 DEFG 为该 多面体的一个中截面，其面积记为 S中 ． （Ⅰ）证明：中截面 DEFG 是梯形； （Ⅱ）在△ABC 中，记 BC a ，BC 边上的高为 h ，面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内 正下方的矿藏储量（即多面体 1 1 1 2 2 2A B C A B C 的体积 V ）时，可用近似公式 V S h 估 中 来估算. 已知 1 2 3 1 ( )3V d d d S   ，试判断V估 与 V 的大小关系，并加 以证明. 第 20 题图 21．（本小题满分 13 分） 设 0a  ， 0b  ，已知函数 ( ) 1 ax bf x x   . （Ⅰ）当 a b 时，讨论函数 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）当 0x  时，称 ( )f x 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数. （i）判断 (1)f , ( )bf a , ( )bf a 是否成等比数列，并证明 ( ) ( )b bf fa a  ； （ii） a 、 b 的几何平均数记为 G. 称 2ab a b 为 a 、b 的调和平均数，记为 H. 若 ( )H f x G  ，求 x 的取值范围. 22．（本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆 1C 与 2C 的中心在坐标原点 O ，长轴均为 MN 且在 x 轴上，短轴长分别 为 2m ， 2 ( )n m n ，过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 1C ， 2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A，B，C，D．记 m n   ，△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 1S 和 2S . （Ⅰ）当直线 l 与 y 轴重合时，若 1 2S S ，求  的值； （Ⅱ）当  变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 1 2S S ？并说明理由． O x y B A 第 22 题图 C D M N 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学 参考公式：如果事件 BA, 互斥，那么 )()()( BPAPBAP  一．选择题:本题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分。 (1)、复数 )()2( 2 为虚数单位ii iz  ，则 || z (A)25 (B) 41 (C)6 (D) 5 (2)、已知集合 BA、 均为全集 }4,3,2,1{U 的子集，且 ( ) {4}U A B ð , {1,2}B  ,则 UA B ð (A){3} (B){4} (C){3,4} (D) (3)、已知函数 )(xf 为奇函数，且当 0x 时， xxxf 1)( 2  ， 则  )1(f (A)2 (B)1 (C)0 (D)-2 (4)、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形， 其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 (A) 4 5,8 (B) 84 5, 3 (C) 84( 5 1), 3  (D) 8,8 (5)、函数 1( ) 1 2 3 xf x x     的定义域为 (A)(-3，0] (B) (-3，1] (C) ( , 3) ( 3,0]   (D) ( , 3) ( 3,1]   (6)、执行右边的程序框图，若第一次输入的 a 的值 为-1.2，第二次输入的 a 的值为 1.2，则第一次、 第二次输出的 a 的值分别为 (A)0.2，0.2 (B) 0.2，0.8 (C) 0.8，0.2 (D) 0.8，0.8 (7)、 ABC 的内角 A B C、 、 的对边分别是 a b c、 、 ， 若 2B A ， 1a  ， 3b  ，则 c  (A) 2 3 (B) 2 (C) 2 (D)1 (8)、给定两个命题 qp, ， p q 是 的必要而不充分条件，则 p q是 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条 件 (9)、函数 xxxy sincos  的图象大致为 (10)、将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91， 现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示： 8 7 7 9 4 0 1 0 9 1x 则 7 个剩余分数的方差为 (A)116 9 (B) 36 7 (C)36 (D) 6 7 7 (11)、抛物线 )0(2 1: 2 1  pxpyC 的焦点与双曲线 2 2 2 : 13 xC y  的右焦点的连线交 1C 于第一象限的点 M，若 1C 在点 M 处的切线平行于 2C 的一条渐近线，则 p = (A) 16 3 (B) 8 3 (C) 3 32 (D) 3 34 (12)、设正实数 zyx ,, 满足 043 22  zyxyx ，则当 z xy 取得最大值时， 2x y z  的 最大值为 (A)0 (B) 9 8 (C)2 (D) 9 4 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 (13)、过点(3，1)作圆 2 2( 2) ( 2) 4x y    的弦，其中最短的弦长为__________ (14)、在平面直角坐标系 xOy 中， M 为不等式组 2 3 6 0 2 0 0 x y x y y          所表示的区域上一动点， 则直线 OM 的最小值为_______ (15)、在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ( 1, )OA t  ， (2,2)OB  ，若 90oABO  ，则实 数t 的值为______ (16).定义“正对数”： 0 (0 1)ln ln ( 1) xx x x      ， ， ， 现有四个命题： ①若 0,0  ba ，则 aba b   ln)(ln ； ②若 0,0  ba ，则 baab   lnln)(ln ③若 0,0  ba ，则 bab a   lnln)(ln ④若 0,0  ba ，则 2lnlnln)(ln   baba 其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号) 三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分， (17)(本小题满分 12 分) 某小组共有 A B C D E、 、 、 、 五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位: 千克/米 2） 如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概 率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5， 23.9)中的概率 (18)(本小题满分 12 分) 设函数 23( ) 3sin sin cos ( 0)2f x x x x       ，且 ( )y f x 的图象的一个 对称中心到最近的对称轴的距离为 4  ， (Ⅰ)求 的值 (Ⅱ)求 ( )f x 在区间 3[ , ]2  上的最大值和最小值 (19)(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 P ABCD 中， ,AB AC AB PA  , , 2AB CD AB CD∥ , , , , ,E F G M N 分别为 , , , ,PB AB BC PD PC 的中点 (Ⅰ)求证：CE PAD∥平面 (Ⅱ)求证： EFG EMN平面 平面 (20)(本小题满分 12 分) 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 24 4SS  , 122  nn aa (Ⅰ)求数列 na 的通项公式 (Ⅱ)设数列 nb 满足 *1 2 1 2 11 ,2 n n n bb b n Na a a       ，求 nb 的前 n 项和 nT (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 2( ) ln ( , )f x ax bx x a b R    (Ⅰ)设 0a  ，求 )(xf 的单调区间 (Ⅱ) 设 0a  ，且对于任意 0x  ， ( ) (1)f x f 。试比较 ln a 与 2b 的大小 (22)(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在 x 轴上，短轴长为 2， 离心率为 2 2 (I)求椭圆 C 的方程 (II)A,B 为椭圆 C 上满足 AOB 的面积为 6 4 的任意两点，E 为线段 AB 的中点，射线 OE 交椭圆 C 与点 P，设OP tOE  ，求实数t 的值 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科数学 注意事项: （3） 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题. （4） 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对 应的试卷类型信息. （5） 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并 交回. 第一部分(共 50 分) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 10 小题，每 小题 5 分，共 50 分） 1. 设全集为 R, 函数 ( ) 1f x x  的定义域为 M, 则 C MR 为 (A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) ( ,1] (D) [1, ) 2. 已知向量 (1, ), ( ,2)a m b m  , 若 a//b, 则实数 m 等于 (A) 2 (B) 2 (C) 2 或 2 (D) 0 3. 设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·loglog loga c cb ab  (B) ·log lolog gaa ab a b (C) ( ) log ·lg olo ga a ab cbc  (D) ( ) logg ogo ll a a ab b cc   4. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标 准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区 间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为 二等品的概率为 (A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 6. 设 z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若 2 0z  , 则 z 是实数 (B) 若 2 0z  , 则 z 是虚数 输入 x If x≤50 Then y = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x-50) End If 输出 y (C) 若 z 是虚数, 则 2 0z  (D) 若 z 是纯虚数, 则 2 0z  7. 若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x－y 的最小值为 (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2 7. 已知点 M(a,b)在圆 2 2 1:O x y  外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定 7. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 cos cos sinb C c B a A  , 则△ABC 的 形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [－x] = －[x] (B) [x + 1 2 ] = [x] (C) [2x] = 2[x] (D) 1[ ] [ ] [2 ]2x x x   二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分， 共 25 分） 11. 双曲线 2 2 116 9 x y  的离心率为 . 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 13. 观察下列等式: 2 3 (1 1) 2 1 (2 1)(2 2) 2 1 3 (3 1)(3 2)(3 3) 2 1 3 5                … 照此规律, 第 n 个等式可为 . 14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其 边长 x 为 (m). 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A. (不等式选做题) 设 a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数 x 的不等式 | | | | 2x a x b    的解集 是 . B. (几何证明选做题) 如图, AB 与 CD 相交于点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 A C   , PD = 2DA = 2, 则 PE = . C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 2 2 x t y t     (t 为参数)的焦点坐标 是 . 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 1(cos , ), ( 3sin ,cos2 ),2x x x x   a b R , 设函数 ( ) ·f x  a b . (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求 f (x) 在 0, 2      上的最大值和最小值. 17. (本小题满分 12 分) 设 Sn 表示数列{ }na 的前 n 项和. (Ⅰ) 若{ }na 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式; (Ⅱ) 若 1 1, 0a q  , 且对所有正整数 n, 有 1 1 n n qS q   . 判断{ }na 是否为等比数列. 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, 1 2AB AA  . (Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD－A1B1D1 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年 龄将大众评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽到的 评委中分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 20. (本小题满分 13 分) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 ( ) e ,xf x x  R . (Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 2 11 2y xx   有唯一公共点. (Ⅲ) 设 a0, 则 1 | | 2 | | a a b  的最小值为 . 三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则 该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取 2 件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率. (16) (本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 sin 3 sinb A c B , a = 3, 2cos 3B  . (Ⅰ) 求 b 的值; (Ⅱ) 求 sin 2 3B     的值. (17) (本小题满分 13 分) 如图, 三棱柱 ABC－A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且 各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. (18) (本小题满分 13 分) 设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F, 离心率为 3 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭 圆截得的线段长为 4 3 3 . (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 · · 8AC DB AD CB     , 求 k 的值. (19) (本小题满分 14 分) 已知首项为 3 2 的等比数列{ }na 的前 n 项和为 ( *)nS n  N , 且 2 3 4,2 , 4SS S 成等差数列. (Ⅰ) 求数列{ }na 的通项公式; (Ⅱ) 证明 13 *)6 1 (n n S nS    N . (20) (本小题满分 14 分) 设 [ 2,0]a  , 已知函数 3 3 2 ( 5) , 0 3 , 0 ( , ) .2 x f a x x ax x x x x a          (Ⅰ) 证明 ( )f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (Ⅱ) 设曲线 ( )y f x 在点 ( , ( ))( 1,2,3)i i ix f x iP  处的切线相互平行, 且 1 2 3 0,x xx  证明 1 2 3 1 3xx x   . 绝密★启封并使用完毕前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页， 第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页， 第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 二、 选择题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的一项。 （1）已知集合 A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则 A∩B= ( ) （A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝ （C）{0，1} （D）｛-1，,0，1} （2） = ( ) （A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i （3）从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 （ ） （A） （B） （C） （D） （4）已知双曲线 C： = 1（a>0,b>0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程 为 （ ） （A）y=± x （B）y=± x （C）y=± x （D）y=±x （5）已知命题 p： ，则 下列命题中为真命题的是： （ ） （A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q （6）设首项为 1，公比为 的等比数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，则 （ ） （A）Sn =2an-1 （B）Sn =3an-2 （C）Sn =4-3an （D）Sn =3-2an （ 7 ） 执 行 右 面 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 t∈[-1 ， 3] ， 则 输 出 的 s 属 于 （A）[-3,4] （B）[-5,2] （C）[-4,3] （D）[-2,5] （8）O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y²=4 x 的焦点，P 为 C 上一点，若丨 PF 丨=4 ，则 △POF 的面积为 （A）2 （B）2 （C）2 （D）4 （9）函数 f（x）=（1-cosx）sinx 在[-π，π]的图像大致为 （10）已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7， c=6，则 b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5 （11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 （A）18+8π （B）8+8π （C）16+16π （D）8+16π （12）已知函数 f（x）= 若|f（x）|≥ax，则 a 的取值范围是 （A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0] 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作 答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 （13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+（1-t）b，若b·c=0，则t=_____. (14)设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x-y 的最大值为______. （15）已知H是求O的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB⊥平面a，H为垂足，a截球o所得截面的面 积为π，则求o的表面积为_______. (16)设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知等差数列｛an｝的前n项和Sn满足S3=0，S5=-5. （Ⅰ）求｛an｝的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前n项和 18（本小题满分共 12 分） 为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间 （单位：h）实验的观测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 19.（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB,AB=A A1,∠ BA A1=600. （Ⅰ）证明 AB⊥A1C; （Ⅱ）若 AB=CB=2, A1C= ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 （20）（本小题满分共 12 分） 已知函数 f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为 y=4x+4 （Ⅰ）求 a，b 的值 （Ⅱ）讨论 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值 (21)(本小题满分 12 分) 已知圆 M：（x+1）2+y2=1,圆 N：（x+1）2+y2=9,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内 切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求 C 得方程； （Ⅱ）l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长是，求|AB|. （10）已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7， c=6，则 b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点 为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。 （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为 1，BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求△BCF 外接圆的半径。 （23）（本小题 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 x=4+5cost， y=5+5sint，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线 C2 的 极坐标方程为ρ=2sinθ。 （Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣2x-1∣+∣2x+a∣,g(x)=x+3. （Ⅰ）当 a=2 时，求不等式 f(x) ＜g(x)的解集； （Ⅱ）设 a＞-1,且当 x∈[- , )时，f(x) ≤g(x),求 a 的取值范围. 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文科） 选择题部分（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1、设集合 S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则 S∩T= A、[-4,+∞） B、（-2, +∞） C、[-4,1] D、(-2,1] 2、已知 i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)= A、5-5i B、7-5i C、5+5i D、7+5i 3、若αR，则“α=0”是“sinαf(1)，则 A、a>0,4a+b=0 B、a<0,4a+b=0 C、a>0,2a+b=0 D、a<0,2a+b=0 8、已知函数 y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数 y=f’(x)的 图像如右图所示，则该函数的图像是 9、如图 F1、F2 是椭圆 C1：x2 4 +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点 A、B 分别是 C1、C2 在第二、四象限的公共点，若四边形 AF1BF2 为 矩形，则 C2 的离心率是 A、 2 B、 3 C、3 2 D、 6 2 10、设 a，bR，定义运算“∧”和“∨”如下： a∧b= a∨b= 若正数 a、b、c、d 满足 ab≥4,c+d≤4,则 （第 8 题图） A DCB (11) ≤b, b, a≤b, a, a>b. （第 9 题图） A、a∧b≥2,c∧d≤2 B、a∧b≥2,c∨d≥2 C、a∨b≥2,c∧d≤2 D、a∨b≥2,c∨d≥2 非选择题部分（共 100 分） 注意事项： 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分. 11.已知函数 f(x)= x-1 若 f(a)=3，则实数 a= ____________. 12.从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则 2 名都是女同学的概率等于_________. 13.直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长等于__________. 14.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________. 15.设 z=kx+y，其中实数 x、y 满足 若 z 的最大值为 12， 则实数 k=________ . 16.设 a,b∈R，若 x≥0 时恒有 0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则 ab 等于______________. 17. 设e1、e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2,x、y∈R. 若e1、e2的夹角为30°，则|x| |b| 的最大值等于_______. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 2asinB= 3b . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ) 若 a=6，b+c=8，求△ABC 的面积. (11) 在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1=10，且 a1，2a2+2，5a3 成等比数列. （Ⅰ）求 d，an； （Ⅱ) 若 d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| . X≥2, x-2y+4≥0, 2x-y-4≤0 (12) 如图，在在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥面 ABCD，AB=BC=2， AD=CD= 7，PA= 3，∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点. （Ⅰ）证明：BD⊥面 PAC ; （Ⅱ)若 G 是 PC 的中点，求 DG 与 PAC 所成的角的正切值； （Ⅲ）若 G 满足 PC⊥面 BGD，求PG GC 的值. 21.已知 a∈R，函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax （Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程； （Ⅱ)若|a|>1，求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. (13) 已知抛物线 C 的顶点为 O（0,0），焦点 F（0,1） （Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ) 过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点.若直线 OA、OB 分别交直线 l：y=x-2 于 M、N 两点， 求|MN|的最小值. 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（文史类） 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个 备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．zhangwlx （1）已知集合 {1,2,3,4}U  ，集合 ={1,2}A ， ={2,3}B ，则 ( )U A B ð （A）{1,3,4} （B）{3,4} （C）{3} （D）{4} 【答案】D． （2）命题“对任意 x R ，都有 2 0x  ”的否定为 （A）对任意 x R ，使得 2 0x  （B）不存在 x R ，使得 2 0x  （C）存在 0x R ，都有 2 0 0x  （D）存在 0x R ，都有 2 0 0x  【答案】A． （3）函数 2 1 log ( 2)y x   的定义域为 （A） ( ,2) （B） (2, ) （C） (2,3) (3, ) （D） (2,4) (4, ) 【答案】C． （4）设 P 是圆 2 2( 3) ( 1) 4x y    上的动点，Q 是直线 3x   上的动 点，则 PQ 的最小值为 zhangwlx （A）6 （B）4 （C）3 （D）2 【答案】B． （5）执行如题（5）图所示的程序框图，则输出的 k 的值是 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】C． 1 8 9 2 1 2 2 7 9 3 0 0 3 （6）下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量（单位： 台）的茎叶图，则数据落在区间[20,30）内的概率为 （A）0.2 （B）0.4 （C）0.5 （D）0.6 【答案】B． （7）关于 x 的不等式 2 22 8 0x ax a   （ 0a  ）的解集为 1 2( , )x x ，且： 2 1 15x x  ， 则 a  （A） 5 2 （B） 7 2 （C）15 4 （D）15 2 【答案】A．zhangwlx （8）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为 （A）180 （B） 200 （C） 220 （D） 240 【答案】D． （ 9 ） 已 知 函 数 3( ) sin 4( , )f x ax b x a b R    ， 2(lg(log 10)) 5f  ，则 (lg(lg 2))f  （A） 5 （B） 1 （C）3 （D） 4 【答案】C． （10）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为 060 的直线 1 1A B 和 2 2A B ，使 1 1 2 2A B A B ，其中 1A 、 1B 和 2A 、 2B 分别是这对直线与双曲线 C 的交 点，则该双曲线的离心率的取值范围是 zhangwlx （A） 2 3( ,2]3 （B）2 3[ ,2)3 （C） 2 3( , )3  （D）2 3[ , )3  【答案】A． 二．填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答 案填写在答题卡相应位置上． （11）已知复数 1 2z i  （i 是虚数单位），则 z  ． 【答案】 5 ．zhangwlxzhangwlx （12）若 2、 a 、b 、 c 、9 成等差数列，则 c a ． 【答案】 7 2 ．zhangwlx （13）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为． 题（6）图 【答案】 2 3 ． （14）OA为边，OB 为对角线的矩形中， ( 3,1)OA   ， ( 2, )OB k  ，则实数 k  ． 【答案】 4 ． （15）设 0    ，不等式 28 (8sin ) cos2 0x x    对 x R 恒成立，则 a 的取值范 围为． 【答案】 5[0, ] [ , ]6 6    ． 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． （16）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 6 分） 设数列 na 满足： 1 1a  ， 1 3n na a  ， n N ． （Ⅰ）求 na 的通项公式及前 n 项和 nS ；zhangwlx （Ⅱ）已知 nb 是等差数列， nT 为前 n 项和，且 1 2b a ， 3 1 2 3b a a a   ，求 20T ． 【答案】 （17）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 9 分，（Ⅱ）、（Ⅲ）小问各 2 分） 从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第i 个家庭的月收入 ix （单位：千元）与月储蓄 iy （单位：千元）的数据资料，算得 10 1 80i i x   ， 10 1 20i i y   ， 10 1 184i i i x y   ， 10 2 1 720i i x   ． （Ⅰ）求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y bx a  ； （Ⅱ）判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关；zhangwlx （Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程 y bx a  中， 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx        ， a y bx  ， 其中 x ， y 为样本平均值，线性回归方程也可写为  y bx a  ．zhangwlx （18）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 9 分） 在△ ABC 中，内角 A 、 B 、C 的对边分别是 a 、b 、 c ，且 2 2 2 3a b c ab   ． （Ⅰ）求 A ； （Ⅱ）设 3a  ，S 为△ ABC 的面积，求 3cos cosS B C 的最大值，并指出此时 B 的值． （19）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分） 如题（19）图，四棱锥 P ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ， 2 3PA  ， 2BC CD  ， 3ACB ACD     ．zhangwlx （Ⅰ）求证： BD ⊥平面 PAC ； （Ⅱ）若侧棱 PC 上的点 F 满足 7PF FC ，求三棱锥 P BDF 的 体积． （20）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分） 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为 r 米， 高为 h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12000 元（ 为圆周率）． （Ⅰ）将V 表示成 r 的函数 ( )V r ，并求该函数的定义域；zhangwlx （Ⅱ）讨论函数 ( )V r 的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大．zhangwlx （21）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 8 分） 如题（21）图，椭圆的中心为原点O ，长轴在 x 轴上，离心率 2 2e  ， 过左焦点 1F 作 x 轴的垂线交椭圆于 A 、 A两点， 4AA  ． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；zhangwlx （Ⅱ）取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、P，过 P 、P作圆心为Q 的 圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求 PP Q 的面积 S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程． 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考(新课标Ⅱ卷) 数学(文科) 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 }3,2,1,0,1{},13{  NxxM ,则 NM  ( ) (A) }2,1,0{ (B) }2,1,0,1{ (C) }3,2,0,1{ (D) }3,2,1,0{ (2)  i1 2 ( ) (A) 22 (B) 2 (C) 2 (D)1 (3)设 yx, 满足约束条件       3 01 01 x yx yx ，则 yxz 32  的最小值是( ) (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 3 (4)在 ABC 中内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，已知 4,6,2   CBb 则 ABC 的面积为( ) (A) 232  (B) 13  (C) 232  (D) 13  (5)设椭圆 :C )0(12 2 2 2  bab y a x 左右焦点分别为 21, FF , P 是C 的点， 212 FFPF  ,  3021FPF 则C 的离心率为( ) (A) 6 3 (B) 3 1 (C) 2 1 (D) 3 3 (13) 已知 2sin ，则  )4(cos2  ( ) (A) 6 1 (B) 3 1 (C) 2 1 (D) 3 2 (12) 执行右图的程序框图，如果输入的 4N ，则输出的 S ( ) (A) 4 1 3 1 2 11  (B) 234 1 23 1 2 11  (C) 5 1 4 1 3 1 2 11  (D) 2345 1 234 1 23 1 2 11  (8)设 2log3a , 2log5b , 3log2c 则( ) (A) bca  (B) acb  (C) abc  (D) cba  (9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 )1,0,1( ， )0,1,1( , )1,1,1( ， )0,0,0( 画该四面体三视图中的正视图时， 以 zOx 平面为搞影面，则正视图可以为( ) (A) (B) (C) (D) (10)设抛物线 :C xy 42  )0( p 的焦点为 F ,直线l 过 F 且与C 交于 BA, 两点，若 BFAF 3 ，则直线l 的方程为( ) (A) 1 xy 或 1 xy (B) )1(3 3  xy 或 )1(3 3  xy (C) )1(3  xy 或 )1(3  xy (D) )1(2 2  xy 或 )1(2 2  xy (11)已知函数 cbxaxxxf  23)( ,则下列结论中错误的是( ) (A) 0)(, 00  xfRx (B)函数 )(xfy  的图像是中心对称图形 (C)若 0x 是 )(xf 的极小值点，则 )(xf 在区间 ),( 0x 单调递减 (D)若 0x 是 )(xf 的极值点，则 0)( 0  xf (12)若存在正数 x 使 1)(2  axx 成立，则将 a 的取值范围是( ) (A) ),(  (B) ),2(  (C) ),0(  (D) ),1(  第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为 选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 (13)从 5,4,3,2,1 任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 . (14)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE BD  =_______. (15)已知正四棱锥 ABCDO  的体积为 2 23 ，地面边长为 3 则以O 为球心， OA为半径的球的表面积为_________. (16)函数 ))(2cos(   xxy 的图像向右平移 2  个单位后,与函数 )32sin(  xy 的图像重合，则  ________. 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)（本小题满分 12 分） 已知数列 }{ na }{ na 的公差不为零， 251 a ，且 13111 ,, aaa 成等比数列. (Ⅰ)求 }{ na 的通项公式； (Ⅱ)求 23741  naaaa  ； (14) （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 111 CBAABC  中 ED, 分别是 1, BBAB 的中. (Ⅰ)证明： CDABC 11 // 平面 ; (Ⅱ)设 21  CBACAA ， 22AB ，求三棱锥 DEAC 1 的体积. (19)（本小题满分 12 分） 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获利润 500 元， 未售出的产品，没 1t 亏损 300 元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量 的频率分布直方图，如有图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产 品。以 X (单位：t， 150100  X )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ)将T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于 57000 元的概率； (20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 22 ，在 y 轴上截得 线段长为 32 . (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程； (Ⅱ)若 P 点到直线 xy  的距离为为 2 2 ，求圆 P 的方程. (21)（本小题满分 12 分） 已知函数 xexxf  2)( . (Ⅰ)求 )(xf 的极大值和极小值； (Ⅱ)曲线 )(xfy  的切线l 的斜率为负数时，求l 在 x 轴上截距的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分， 做答时请写清题号。 (22)（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，CD 为 ABC 外接圆的切线，AB 的延长线教直线CD 于点 FED ,, 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 AFDCAEBC  , B 、 E 、 F 、C 四点共圆。 (Ⅰ)证明: AC 是 ABC 外接圆的直径； (Ⅱ)若 EABEDB  ,求过 CFEB ,,, 四点圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值. (23)（本小题满分 10 分）选修 4—4:坐标系与参数方程 已知动点 QP, 都在曲线      ty txC sin2 cos2: （t 为参数）上，对应参数分别为 t 与 Mt 2 （  20  ）, M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. (24)（本小题满分 10 分）选修 4—5:不等式选讲 设 cba ,, 均为正数，且 1 cba ，证明： (Ⅰ) 3 1 cabcab ; (Ⅱ) 1 222  a c c b b a ; 绝密 启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（文史类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 4 页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共 50 分） 注意事项： 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的。 1、设集合 {1,2,3}A  ，集合 { 2,2}B   ，则 A B  （ ） （A） （B）{2} （C）{ 2,2} （D）{ 2,1,2,3} 2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A）棱柱 （B）棱台 （C）圆柱 （D）圆台 3、如图，在复平面内，点 A 表示复数 z ，则图中表示 z 的共轭复数的点是（ ） （A） A （B） B （C）C （D） D 4、设 x Z ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集。若命题 : ,2p x A x B   ，则（ ） （A） : ,2p x A x B    （B） : ,2p x A x B    （C） : ,2p x A x B    （D） : ,2p x A x B    5、抛物线 2 8y x 的焦点到直线 3 0x y  的距离是（ ） （A） 2 3 （B） 2 （C） 3 （D）1 6、函数 ( ) 2sin( )( 0, )2 2f x x           的部分图象如图所示，则 ,  的值分别是（ ） （A） 2, 3  （B） 2, 6  （C） 4, 6  （D） 4, 3  7、某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得 数据的茎叶图如图所示。以组距为5将数据分组成[0,5) ，[5,10) ，…， [30,35) ，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ） 8、若变量 ,x y 满足约束条件 8, 2 4, 0, 0, x y y x x y         且 5z y x  的最大值为 a ，最小值为b ，则 a b 的值是（ ） （A） 48 （B）30 （C） 24 （D）16 9、从椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 1F ， A 是椭圆 与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 / /AB OP （O 是坐标原点），则 该椭圆的离心率是（ ） （A） 2 4 （B） 1 2 （C） 2 2 （D） 3 2 10、设函数 ( ) xf x e x a   （ a R ， e 为自然对数的底数）。若存在 [0,1]b 使 ( ( ))f f b b 成立，则 a 的取值范围是（ ） （A）[1, ]e （B）[1,1 ]e （C）[ ,1 ]e e （D）[0,1] 第二部分 （非选择题 共 100 分） 注意事项： 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用 铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11、 lg 5 lg 20 的值是____________。 12、 如 图， 在 平 行 四边 形 ABCD 中 ， 对角 线 AC 与 BD 交 于 点 O ， AB AD AO    ，则   ____________。 13、已知函数 ( ) 4 ( 0, 0)af x x x ax     在 3x  时取得最小值，则 a ____________。 14、设 sin 2 sin   ， ( , )2   ，则 tan 2 的值是____________。 15、在平面直角坐标系内，到点 (1,2)A ， (1,5)B ， (3,6)C ， (7, 1)D  的距离之和最小的点 的坐标是_______。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 在等比数列{ }na 中， 2 1 2a a  ，且 22a 为 13a 和 3a 的等差中项，求数列{ }na 的首项、 公比及前 n 项和。 17、(本小题满分 12 分) 在 ABC 中 ， 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c ， 且 3cos( )cos sin( )sin( ) 5A B B A B A c      。 （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）若 4 2a  ， 5b  ，求向量 BA  在 BC  方向上的投影。 18、(本小题满分 12 分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在1,2,3, ,24 这 24 个整数中等可能随机产生。 （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 ( 1,2,3)iP i  ； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 n 次后，统计记录 了输出 y 的值为 ( 1,2,3)i i  的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。 甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分） 运行 次数 n 输出 y 的值 为1的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2100 1027 376 697 当 2100n  时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 ( 1,2,3)i i  的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可 能性较大。 19、(本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 1 1ABC A B C 中，侧棱 1AA  底面 ABC ， 12 2AB AC AA   ， 120BAC   ， 1,D D 分别是线段 1 1,BC B C 运行 次数 n 输出 y 的值 为1的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2100 1051 696 353 的中点， P 是线段 AD 上异于端点的点。 （Ⅰ）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l  平面 1 1ADD A ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交 AC 于点Q ，求三棱锥 1 1A QC D 的体积。（锥体体积公式： 1 3V Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高） 20、(本小题满分 13 分) 已知圆 C 的方程为 2 2( 4) 4x y   ，点 O 是坐标原点。直线 :l y kx 与圆 C 交于 ,M N 两点。 （Ⅰ）求 k 的取值范围； （Ⅱ）设 ( , )Q m n 是线段 MN 上的点，且 2 2 2 2 1 1 | | | | | |OQ OM ON   。请将 n 表示为 m 的 函数。 21、(本小题满分 14 分) 已知函数 2 2 , 0( ) ln , 0 x x a xf x x x       ，其中 a 是实数。设 1 1( , ( ))A x f x ， 2 2( , ( ))B x f x 为 该函数图象上的两点，且 1 2x x 。 （Ⅰ）指出函数 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数 ( )f x 的图象在点 ,A B 处的切线互相垂直，且 2 0x  ，证明： 2 1 1x x  ； （Ⅲ）若函数 ( )f x 的图象在点 ,A B 处的切线重合，求 a 的取值范围