- 493.00 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
高考《向量》专题复习
1.向量的有关概念:
(1)向量的定义:既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。
(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:.
(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化:与共线的单位向量是.
(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
(5)平行向量又叫共线向量,记作:∥.
①向量与共线,则有且仅有唯一一个实数,使;
②规定:零向量和任何向量平行;
③两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
④平行向量无传递性!(因为有);
⑤相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
(6)向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则;
2.平面向量的坐标表示及其运算:
(1)设,,则;
(2)设,,则;
(3)设、两点的坐标分别为,,则=;
(4)设,,向量平行;
(5)设两个非零向量,,则,
所以;
(6)若,则;
(7)定比分点:设点是直线上异于的任意一点,若存在一个实数,使
,则叫做点分有向线段所成的比,点叫做有向线段的以定比为的定比分点;当分有向线段所成的比为,则点分有向线段所成的比为.
注意:①设、,分有向线段所成的比为,则,
在使用定比分点的坐标公式时,应明确,、的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比.当时,就得到线段的中点公式.
②的符号与分点的位置之间的关系:
当点在线段上时;
当点在线段的延长线上时 ;
当点在线段的反向延长线上时;
3.平面向量的数量积:
(1)两个向量的夹角:对于非零向量、,作,,称为向量、的夹角。
(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量、,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积),记作:,即.
零向量与任一向量的数量积是0,注意:向量的数量积是一个实数,不再是一个向量。
(3)在上的投影为,投影是一个实数,不一定大于0.
(4)的几何意义:数量积等于与在上的投影的乘积。
(5)向量数量积的应用:设两个非零向量、,其夹角为,则,
当时,为直角;
当时,为锐角或同向;注意:是为锐角的_____________条件;
当时,为钝角或反向;注意:是为钝角的_____________条件;
(6)向量三角不等式:
当同向,;
当反向,;
当不共线;
4.平面向量的分解定理
(1)平面向量分解定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使成立,我们把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。
(2)O为平面任意一点,A、B、C为平面另外三点,则A、B、C三点共线且.
5.空间向量
空间向量是由平面向量拓展而来的,它是三维空间里具有大小和方向的量,它的坐标表示有x,y,z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似,故在学习空间向量时,可进行类比学习。
如,若、、三个向量共面,则.同时,对于空间任意一点O,存在,其中=_____________
例1.下列命题:
①若a与b共线,则存在唯一的实数λ,使b=λa;
②若向量a、b所在的直线为异面直线,则向量a、b一定不共面;
③向量a、b、c共面,则它们所在直线也共面;
④若A、B、C三点不共线,O是平面ABC外一点,若OM=13OA+13OB+13OC,则点M一定在平面ABC上,且在内部;
⑤若,且,则 ;
⑥若,则它们的夹角为锐角;
其中正确的命题有__________________(填序号)
例2.已知向量a,b夹角为π3,|b|=2,对任意x∈R,有|b+xa|≥|a-b|,则|tb-a|+|tb-a2|(t∈R)的最小值是______________
例3.如图,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=120°,E、F分别是AB、AC上的点,且AE=λAB,AF=μAC,且λ,μ∈(0,1),且λ+4μ=1,若线段EF、BC的中点分别为M、N,则MN的最小值为_____________
例4.已知平面向量a,b,c满足|a|=2,|b|=1,a•b=-1,且a-c与b-c的夹角为π4,则|c|的最大值为______________
变式训练:
1.已知向量a=(-1,-2),b=(1,λ),若a,b的夹角为钝角,则λ的取值范围是_____________
2.在△ABC中,|AB|=5,|AC|=6,若B=2C,则向量BC在BA上的投影是_________
3.如图,在中,已知∠BAC=π3,|AB|=2,|AC|=3,点D为边BC上一点,满足AC+2AB=3AD,点E是AD上一点,满足AE=2ED,则|BE|=______________
4.在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB=1,EF=2,CD=3.若AD⋅BC=15,则AC⋅BD的值为_____________
5.向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=2,|c|=4,则|a+b-c|的最大值为__________
6.已知O是面α上一定点,A,B,C是平面α上的三个顶点,∠B、∠C分别是边AC、AB的对角。以下命题正确的是________________(填序号)
①动点P满足OP=OA+PB+PC,则的外心一定在满足条件的P点集合中;
②动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|+AC|AC|)(λ>0),则的内心一定在满足条件的P点集合中;
③动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)(λ>0),则的重心一定在满足条件的P点集合中;
④动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)(λ>0),则的垂心一定在满足条件的P点集合中;
⑤动点P满足OP=OB+OC2+λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)(λ>0),则的外心一定在满足条件的P点集合中;
7.已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心,且∠A=,若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO,
则m=_____________
8.(2017全国)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA•(PB+PC)的最小值是_______
9.在中,点A在OM上,点B在ON上,且AB//MN,2OA=OM,若OP=xOA+yOB
,则终点P落在四边形ABNM内(含边界)时,y+x+2x+1的取值范围为____________
10.如图,在直角坐标系中,△ABC是以(2,1)为圆心,1为半径的圆的内接正三角形,
△ABC可绕圆心旋转, M、N分别是边AC、AB的中点,的取值范围是_____________
11.如图,已知点P(2,0),且正方形ABCD内接于⊙O:x2+y2=1,M、N分别为边AB、BC的中点.当正方形ABCD绕圆心O旋转时,PM⋅ON的取值范围为_________
12.如图,矩形ORTM内放置5个边长均为3的小正方形,其中A,B,C,D在矩形的边上,且E为AD的中点,则(AE-BC)•BD= ______
13.(2017浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则( )
A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3
14.在坐标系中,O点坐标为(0,0),点A(3,4),点B(-4,3),点P在∠AOB的角平分线上,且OP长度为,则点P坐标为_____________
15.(2017浙江)已知向量,满足,,则的最小值是 ,最大值是
16.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,…P10,记=,则m1+m2+…+m10的值为_____________
17.已知向量、满足||=1,||=2,若对任意单位向量,均有|•|+|•|≤,则当取最小值时,向量与的夹角为_________________(用反三角表示)
18.正十二边形A1A2…A12内接于半径为1的圆,从、、、…、这12个向量中任取两个,记它们的数量积为S,则S的最大值等于_________________
19.已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1,若P点在正方体的内部且满足AP=34AB+12AD+23AE,则P点到直线AB的距离为_________
20.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为____________
相关文档
- 高考语文全国卷1试题及答案精校版2021-05-1310页
- 函数高考综合题含答案2021-05-134页
- 山西省高考数学一轮单元复习测试算2021-05-139页
- 赢在起点高考生物第一轮复习学案生2021-05-1314页
- 赢在起点2014高考生物第一轮复习学2021-05-1311页
- 2020高考物理 月刊专版 专题8 电场2021-05-139页
- 2020-2021年高考生物一轮复习知识2021-05-138页
- 2019人教高考生物一轮选训习题21含2021-05-136页
- 高考物理一轮复习教案—40光的本性2021-05-135页
- 2009-2011高考生物真题之生命的物2021-05-1317页