2017年全国卷2高考理科数学试题及答案 11页

绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设集合，．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ 11‎ A．2 B． C． D．‎ ‎10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．‎ ‎14.函数（）的最大值是 ．‎ ‎15.等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）‎ 的内角的对边分别为 ,已知．‎ ‎(1)求 ‎ ‎(2)若 , 面积为2,求 ‎ 11‎ ‎18.（12分）‎ 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：‎ （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；‎ （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎19.（12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.‎ ‎（1）证明：直线 平面PAB ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值 11‎ ‎ ‎ ‎20. （12分）‎ 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.‎ (1) 求点P的轨迹方程；‎ (2) 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. ‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数且.‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎ 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，证明：‎ ‎（1）；‎ 11‎ ‎（2）．‎ 11‎ 绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 一、选择题 ‎1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D ‎7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题 ‎13. 1.96 14. 1 15. 16. 6‎ 三、解答题 ‎17.解：‎ ‎（1）由题设及，故 上式两边平方，整理得 ‎ 解得 ‎ ‎（2）由，故 又 由余弦定理及得 所以b=2‎ ‎18.解：‎ ‎（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于” ，表示事件“新养殖法的箱产量不低于” ‎ 由题意知 ‎ 11‎ 旧养殖法的箱产量低于的频率为 故的估计值为0.62‎ 新养殖法的箱产量不低于的频率为 故的估计值为0.66‎ 因此，事件A的概率估计值为 ‎（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ 由于 故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为 ‎，‎ 箱产量低于的直方图面积为 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 ‎．‎ ‎19.解：‎ ‎（1）取中点，连结，．‎ 因为为的中点，所以,,由得，又 所以．四边形为平行四边形， ．‎ 又，，故 ‎（2）‎ 11‎ 由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 则，，，，‎ ‎,则 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以 ‎，‎ 即（x-1）²+y²-z²=0‎ 又M在棱PC上，设 由①，②得 所以M，从而 设是平面ABM的法向量，则 11‎ 所以可取m=（0，-，2）.于是 因此二面角M-AB-D的余弦值为 ‎20.解 ‎（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, ‎ 由得 因为M（x0,y0）在C上，所以 因此点P的轨迹方程为 ‎（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则 ‎，‎ 由得，又由（1）知，故 ‎3+3m-tn=0‎ 所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎21.解：‎ ‎（1）的定义域为 设，则等价于 因为 若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故 综上，a=1‎ 11‎ ‎（2）由（1）知 设 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增 又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.‎ 因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由 由得 因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得 所以 ‎22.解：‎ ‎（1）设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知 由得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为 ‎（2）设点B的极坐标为,由题设知 ‎,于是△OAB面积 11‎ 当时，S取得最大值 所以△OAB面积的最大值为 ‎23.解：‎ ‎（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此a+b≤2.‎ ‎ ‎ 11‎