2012年高考理科数学-海南卷 20页

‎2012年海南省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎8‎ D．‎ ‎10‎ ‎2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎12种 B．‎ ‎10种 C．‎ ‎9种 D．‎ ‎8种 ‎3．下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（　　），p1：|z|=2，，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．‎ ‎　‎ A．‎ p2，p3‎ B．‎ p1，p2‎ C．‎ p2，p4‎ D．‎ p3，p4‎ ‎4．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．已知{an} 为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎7‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎﹣5‎ D．‎ ‎﹣7‎ ‎6．如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ A+B为a1，a2，…，an的和 ‎　‎ B．‎ 为a1，a2，…，an的算术平均数 ‎　‎ C．‎ A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 ‎　‎ D．‎ A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6‎ B．‎ ‎9‎ C．‎ ‎12‎ D．‎ ‎18‎ ‎8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎8‎ ‎9．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎（0，2]‎ ‎10．已知函数；则y=f（x）的图象大致为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎12．设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1﹣ln2‎ B．‎ C．‎ ‎1+ln2‎ D．‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知向量夹角为45°，且，则=　_________　．‎ ‎14．设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为　_________　．‎ ‎15．某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为　_________　．‎ ‎16．数列{an}满足，则{an}的前60项和为　_________　．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．‎ ‎18．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．‎ ‎（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．‎ ‎19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD ‎（1）证明：DC1⊥BC ‎（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．‎ ‎20．设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；‎ ‎（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为；求p的值及圆F的方程；‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ ‎21．已知函数f（x）满足满足；‎ ‎（1）求f（x）的解析式及单调区间；‎ ‎（2）若，求（a+1）b的最大值．‎ 四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．‎ ‎22．选修4﹣1：几何证明选讲 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：‎ ‎（1）CD=BC；‎ ‎（2）△BCD～△GBD．‎ ‎23．选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 ‎（1）求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎24．选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎2012年海南省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎8‎ D．‎ ‎10‎ 考点：‎ 元素与集合关系的判断。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项 解答：‎ 解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，‎ x=4时，y=1，2，3，‎ x=3时，y=1，2，‎ x=2时，y=1‎ 综上知，B中的元素个数为10个 故选D 点评：‎ 本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数 ‎2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎12种 B．‎ ‎10种 C．‎ ‎9种 D．‎ ‎8种 考点：‎ 排列、组合及简单计数问题。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果 解答：‎ 解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；‎ 第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；‎ 第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有2×6×1=12种 故选 A 点评：‎ 本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题 ‎3．下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（　　），p1：|z|=2，，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．‎ ‎　‎ A．‎ p2，p3‎ B．‎ p1，p2‎ C．‎ p2，p4‎ D．‎ p3，p4‎ 考点：‎ 复数的基本概念；命题的真假判断与应用。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．‎ 解答：‎ 解：∵z===﹣1﹣i，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ p3：z的共轭复数为﹣1+i，‎ p4：z的虚部为﹣1，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎4．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 椭圆的简单性质。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．‎ 解答：‎ 解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形 ‎∴|PF2|=|F2F1|‎ ‎∵P为直线x=上一点 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题 ‎5．已知{an} 为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎7‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎﹣5‎ D．‎ ‎﹣7‎ 考点：‎ 等比数列的性质；等比数列的通项公式。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可 解答：‎ 解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8‎ ‎∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4‎ 当a4=4，a7=﹣2时，，‎ ‎∴a1=﹣8，a10=1，‎ ‎∴a1+a10=﹣7‎ 当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1‎ ‎∴a1+a10=﹣7‎ 综上可得，a1+a10=﹣7‎ 故选D 点评：‎ 本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．‎ ‎6．如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ A+B为a1，a2，…，an的和 ‎　‎ B．‎ 为a1，a2，…，an的算术平均数 ‎　‎ C．‎ A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 ‎　‎ D．‎ A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 考点：‎ 循环结构。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．‎ 解答：‎ 解：解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，‎ 可知：该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．‎ ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6‎ B．‎ ‎9‎ C．‎ ‎12‎ D．‎ ‎18‎ 考点：‎ 由三视图求面积、体积。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．‎ 解答：‎ 解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；‎ 底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，‎ 此几何体的体积为．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．‎ ‎8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎8‎ 考点：‎ 圆锥曲线的综合。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．‎ 解答：‎ 解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），‎ y2=16x的准线l：x=﹣4，‎ ‎∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，‎ ‎∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），‎ 将A点坐标代入双曲线方程得=4，‎ ‎∴a=2，2a=4．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．‎ ‎9．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎（0，2]‎ 考点：‎ 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．‎ 法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．‎ 解答：‎ 解：法一：令：不合题意 排除（D）‎ 合题意 排除（B）（C）‎ 法二：，‎ 得：．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．‎ ‎10．已知函数；则y=f（x）的图象大致为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图像与性质。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，D，这一性质可利用导数加以证明 解答：‎ 解：设 则g′（x）=‎ ‎∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数 ‎∴g（x）＜g（0）=0‎ ‎∴f（x）=＜0‎ 得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，D 故选 B 点评：‎ 本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题 ‎11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积。766398 ‎ 分析：‎ 先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC是边长为1的正三角形，‎ ‎∴△ABC的外接圆的半径，‎ ‎∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径 ‎∴点S到面ABC的距离为 ‎∴棱锥的体积为 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．‎ ‎12．设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1﹣ln2‎ B．‎ C．‎ ‎1+ln2‎ D．‎ 考点：‎ 点到直线的距离公式；反函数。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，‎ 设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求 解答：‎ 解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称 函数上的点到直线y=x的距离为 设g（x）=，（x＞0）则 由≥0可得x≥ln2，‎ 由＜0可得0＜x＜ln2‎ ‎∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增 ‎∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2‎ 由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为 故选B 点评：‎ 本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知向量夹角为45°，且，则=　3　．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由已知可得，=，代入|2|====可求 解答：‎ 解：∵，=1‎ ‎∴=‎ ‎∴|2|====‎ 解得 故答案为：3‎ 点评：‎ 本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法 ‎14．设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为　[﹣3，3]　．‎ 考点：‎ 简单线性规划。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围 解答：‎ 解：作出不等式组表示的平面区域 由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小 结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大 由可得B（1，2），由可得A（3，0）‎ ‎∴Zmax=3，Zmin=﹣3‎ 则z=x﹣2y∈[﹣3，3]‎ 故答案为：[﹣3，3]‎ 点评：‎ 平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．‎ ‎15．某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为　　．‎ 考点：‎ 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可 解答：‎ 解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）‎ 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}‎ C={该部件的使用寿命超过1000小时}‎ 则P（A）=，P（B）=‎ P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=‎ 故答案为 点评：‎ 本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题 ‎16．数列{an}满足，则{an}的前60项和为　1830　．‎ 考点：‎ 数列递推式；数列的求和。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16可得数列{bn}是以16为公差的等差数列，而{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和，由等差数列的求和公式可求 解答：‎ 解：∵，‎ ‎∴‎ 令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4‎ 则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16‎ ‎∴数列{bn}是以16为公差的等差数列，{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和 ‎∵b1=a1+a2+a3+a4=10‎ ‎∴=1830‎ 点评：‎ 本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．‎ 考点：‎ 解三角形。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A ‎（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c 解答：‎ 解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0‎ ‎∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0‎ ‎∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC ‎∵sinC≠0‎ ‎∴sinA﹣cosA=1‎ ‎∴sin（A﹣300）=‎ ‎∴A﹣30°=30°‎ ‎∴A=60°‎ ‎（2）由 由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA 即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12‎ ‎∴b+c=4‎ 解得：b=c=2‎ 点评：‎ 本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式 ‎18．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．‎ ‎（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．‎ 考点：‎ 概率的应用；离散型随机变量的期望与方差。766398 ‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；‎ ‎（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；‎ ‎（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；‎ 当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：‎ ‎（2）（i）X可取60，70，80‎ P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=0.7‎ X的分布列为 X ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44‎ ‎（ii）购进17枝时，当天的利润为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4‎ ‎∵76.4＞76，∴应购进17枝 点评：‎ 本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．‎ ‎19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD ‎（1）证明：DC1⊥BC ‎（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．‎ 考点：‎ 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系。766398 ‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；‎ ‎（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°‎ 同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°‎ ‎∴DC1⊥DC，DC1⊥BD ‎∵DC∩BD=D ‎∴DC1⊥面BCD ‎∵BC⊂面BCD ‎∴DC1⊥BC ‎（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，‎ ‎∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC 取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH ‎∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，‎ ‎∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，‎ ‎∴C1O⊥面A1BD ‎∵OH⊥BD，∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角 设AC=a，则，，‎ ‎∴sin∠C1DO=‎ ‎∴∠C1DO=30°‎ 即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°‎ 点评：‎ 本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．‎ ‎20．设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；‎ ‎（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为；求p的值及圆F的方程；‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ 考点：‎ 圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质。766398 ‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．‎ ‎（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．‎ 解答：‎ 解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点A到准线l的距离，‎ ‎∵△ABD的面积S△ABD=，‎ ‎∴=，‎ 解得p=2，‎ ‎∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．‎ ‎（2）由题设，则，‎ ‎∵A，B，F三点在同一直线m上，‎ 又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．‎ 由点A，B关于点F对称得：‎ 得：，直线切点 直线 坐标原点到m，n距离的比值为．‎ 点评：‎ 本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ ‎21．已知函数f（x）满足满足；‎ ‎（1）求f（x）的解析式及单调区间；‎ ‎（2）若，求（a+1）b的最大值．‎ 考点：‎ 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性。766398 ‎ 专题：‎ 综合题；探究型；转化思想。‎ 分析：‎ ‎（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；‎ ‎（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值 解答：‎ 解：（1）‎ 令x=1得：f（0）=1‎ 得：‎ g'（x）=ex+1＞0⇒y=g（x）在x∈R上单调递增f'（x）＞0=f'（0）⇔x＞0，f'（x）＜0=f'（0）⇔x＜0‎ 得：f（x）的解析式为 且单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）‎ ‎（2）得h'（x）=ex﹣（a+1）‎ ‎①当a+1≤0时，h'（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾 ‎②当a+1＞0时，h'（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）‎ 得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1）（a+1＞0）‎ 令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0）；则F'（x）=x（1﹣2lnx）‎ 当时，‎ 当时，（a+1）b的最大值为 点评：‎ 本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，难度较大，计算量也大，易马虎出错 四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．‎ ‎22．选修4﹣1：几何证明选讲 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：‎ ‎（1）CD=BC；‎ ‎（2）△BCD～△GBD．‎ 考点：‎ 综合法与分析法(选修）。766398 ‎ 专题：‎ 证明题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，利用CF∥AB，可得四边形BCFD是平行四边形，进一步可证四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；‎ ‎（2）证明DGB=∠EFC=∠DBC，即可证得△BCD～△GBD．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点 ‎∴DE∥BC ‎∵CF∥AB，‎ ‎∴四边形BCFD是平行四边形 ‎∴CF=BD=AD ‎∵CF∥AD 连接AF，则四边形ADCF是平行四边形，∴CD=AF ‎（2）∵FG∥BC，∴GB=CF 由（1）知BD=CF，∴GB=BD ‎∴∠DGB=∠BDG ‎∵CF∥AB，∴AF=BC ‎∵AF=CD，∴BC=CD，∴∠DBC=∠BDC ‎∵∠EFC=∠DBC=∠DGB ‎∴∠DGB=∠DBC，∠GDB=∠BDC ‎∴△BCD～△GBD．‎ 点评：‎ 本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．‎ ‎23．选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 ‎（1）求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ 考点：‎ 椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化。766398 ‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）点A，B，C，D的极坐标为 点A，B，C，D的直角坐标为 ‎（2）设P（x0，y0），则为参数）‎ t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ ‎∵sin2φ∈[0，1]‎ ‎∴t∈[32，52]‎ 点评：‎ 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．‎ ‎24．选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ 考点：‎ 绝对值不等式的解法；带绝对值的函数。766398 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．‎ ‎（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即 ，或，或．‎ 解得 x≤1或x≥4，故不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．‎ ‎（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，‎ 解得﹣3≤a≤0，故a的取值范围为[﹣3，0]．‎ 点评：‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎