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- 2021-05-13 发布
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2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题
文科数学
第Ⅰ卷(选择题)
本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么
次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
(1)已知全集={1,2,3,4,5,6,7,8},={1,3,5,7},={5,6,7},则=
(A) {5,7} (B) {2,4} (C){2.4.8} (D){1,3,5,6,7}
(2)函数y=(x0)的反函数是
(A)(x0) (B)(x0)
(B)(x0) (D)(x0)
(3) 函数的图像
(A) 关于原点对称 (B)关于主线对称
(C) 关于轴对称 (D)关于直线对称
(4)已知△ABC中,,则
(A) (B) (C) (D)
(5) 已知正四棱柱中,=,为中点,则异面直线与所形成角的余弦值为
(A) (B) (C) (D)
(6) 已知向量a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= ,则︱b ︱=
(A) (B) (C)5 (D)25
(7)设则
(A) (B) (C) (D)
(8)双曲线的渐近线与圆相切,则r=
(A) (B)2 (C)3 (D)6
(9)若将函数的图像向右平移个单位长度后,与函数的图像重合,则的最小值为
(A) (B) (C) (D)
(10)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有
(A)6种 (B)12种 (C)24种 (D)30种
(11)已知直线与抛物线C:相交A、B两点,F为C的焦点。若,则k=
(A) (B) (C) (D)
(12)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位是
(A)南 (B)北 (C)西 (D)下
△
上
东
第Ⅱ卷(非选择题)
本卷共10小题,共90分。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.
(13)设等比数列{}的前n项和为。若,则= ×
(14)的展开式中的系数为 ×
(15)已知圆O:和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 ×
(16)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于,则球O的表面积等于 ×
三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。
(17)(本小题满分10分)
已知等差数列{}中,求{}前n项和
(18)(本小题满分12分)
设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,,,求B.
(19)(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,,分别为的中点,⊥平面
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)设二面角为60°,求与平面所成的角的大小
A
C
B
A1
B1
C1
D
E
(20)(本小题满分12分)
某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名工人,其中有6名女工人。现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。
(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。
(21)(本小题满分12分)
设函数,其中常数
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若当≥0时,恒成立,求的取值范围。
(22)(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,过右焦点的直线与相交于、两点,当的斜率为1是,坐标原点到的距离为
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)上是否存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立?
若存在,求出所有的的坐标与的方程;若不存在,说明理由。
2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案和评分参考
一. 选择题
(1)C (2)B (3)A (4)D (5)C (6)C
(7)B (8)A (9)D (10)C (11)D (12)B
二.填空题
(13)3 (14)6 (15) (16)8π
三.解答题
17. 解:
设的公差为,则
即
解得
因此
(18)解:
由及得
又由及正弦定理得
故 ,
或 (舍去),
于是或.
又由知或
所以
(19)解法一:
(Ⅰ)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA。
连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,
从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,
所以AB=AC。
(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知,∠AGC=600.
设AC=2,则AG=。又AB=2,BC=,故AF=。
由得2AD=,解得AD=。
故AD=AF。又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD。
连接CH,则∠ECH为与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,
所以∠ECH=300,即与平面BCD所成的角为300.
解法二:
(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),
则(1,0,2c),E(,,c).
于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC,
=0,求得b=1,
所以 AB=AC。
(Ⅱ)设平面BCD的法向量则
又
故
令, 则
又平面的法向量
由二面角为60°知,=60°,
故 ,求得
于是 ,
,
所以与平面所成的角为30°
(20)解:
(Ⅰ)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人。
(Ⅱ)记表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则
(Ⅲ)表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人,
表示事件:从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人,
表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人。
与独立, ,且
故
(21)解:
(Ⅰ)
由知,当时,,故在区间是增函数;
当时,,故在区间是减函数;
当时,,故在区间是增函数。
综上,当时,在区间和是增函数,在区间是减函数。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,在或处取得最小值。
由假设知 即 解得
故的取值范围是(1,6)
(22)解:
(Ⅰ)设 当的斜率为1时,其方程为到的距离为
故 ,
由
得 ,=
(Ⅱ)C上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立。
由(Ⅰ)知C的方程为+=6. 设
(ⅰ)
C上的点使成立的充要条件是点的坐标为,且
整理得
故 ①
将 ,并化简得
于是 , =,
代入①解得,,此时
于是=, 即
因此, 当时,, ;
当时,, 。
(ⅱ)当垂直于轴时,由知,C上不存在点P使成立。
综上,C上存在点使成立,此时的方程为