高考全国卷数学试题及答案 19页

1990年高考试题 （理工农医类） 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选 项前的字母填在题后括号内. 【 】 【 】 (3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 【 】 (4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【 】 (5) 【 】 【 】 (A){-2,4} (B){-2,0,4} (C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4} (7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么【 】 (C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6 【 】 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 【 】 (B){(2,3)} (C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1} 【 】 (11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、 F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等 于【 】 (A)90°(B)60° (C)45° (D)30° (12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命 题乙为:两个实数a,b满足│a－1│0,方程③变为x2＋2x=a. ④ . 由此可知:当a=0时,方程④无正根; (Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤ . 由此可知:当a=0时,方程⑤无负根; 当a>0时,方程⑤有负根 x=1- . (Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a. 由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0; 当a>0时,方程⑥无零解. 所以,原方程的实数解是: 当a=0时,z=0; . 情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的 纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. ⑦ (Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧ 由此可知:当a>1时,方程⑧无实根. 当a≤1时解方程⑧得 y=1± , 从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2; 当01时,方程⑨无实根. 当a≤1时解方程⑨得 y=-1± , 从而,当a=0时,方程⑨有负根 y=-2; 当01时,原方程无纯虚数解. 解法二:设z=x+yi代入原方程得 于是原方程等价于方程组 由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面 分别加以讨论. 情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. 即 | x |2+2│x│=a. ③ 解方程③得 , 所以,原方程的实数解是 . 情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的 纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. 即 -│y│2 +2│y│=a. ④ 当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2, 即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i. 当01时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解. 解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其 解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0). 情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1. 情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2. 解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得 r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a. 于是原方程等价于方程组 情形1.若r=0.①式变成 0=a. ③ 由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解. 当a>0时,方程③无解. 所以, 当a=0时,原方程有解z=0; 当a>0时,原方程无零解. 考查r>0的情形. (Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为 r2+2r=a. ④ . 由此可知:当a=0时,方程④无正根; 当a>0时,方程④有正根 . 所以,当a>0时,原方程有解 . (Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为 -r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, ⑤ 由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根; . 从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2; . 所以, 当a=0时,原方程有解z=±2i; 当01时,原方程无纯虚数解. (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力. 解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是 其中a>b>0待定,0≤θ<2π. 设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则 大值,由题设得 , 因此必有 , 由此可得 b=1,a=2. 所求椭圆的参数方程是 . 解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是 其中a>b>0待定. , 设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则 其中 -byb. 由此得 , 由此可得 b=1,a=2. 所求椭圆的直角坐标方程是 (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关 知识解决问题的能力. (Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是 1+2x+…(n-1)x+nxa>0 x∈(-∞,1],n≥2, 上都是增函数, 在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值 也就是a的取值范围为 (Ⅱ)证法一:2f(x)