第五讲：2013年高考导数与积分命题热点研讨(2) 9页

第五讲：2013年高考导数与积分命题热点研讨（2）‎ 第三部分：模拟演练 导数与积分一直以来都是高考的热点，其重要性就不必多说了.导数与积分在高考中主要考察求切线斜率（导数的背景、定义、几何意义、瞬时变化率）、求极值、求单调性、和数列三角函数不等式联合起来考察学生的计算能力、转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.‎ 孟老师大胆预测点1双基检测 ‎2012年安徽高考 ‎（）·（4）=‎ ‎（A） （B） （C） 2 （D） 4‎ ‎【解析】选 孟老师大胆预测点2对函数图像的考察 ‎1（孟老师模拟举例）‎ 函数y＝5x与函数y＝－的图像关于 A．x轴对称　　　　B．y轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称 解析：因y＝－＝－5－x，所以关于原点对称．答案：C ‎2．(2011·北京海淀一模)‎ 函数f(x)＝图像的对称中心为 A．(0,0) B．(0,1)C．(1,0) D．(1,1)‎ 解析：f(x)＝＝1＋，把函数y＝的图像向上平移1个单位，即得函数f(x)的图像．‎ 由y＝的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图像的对称中心为(0,1)．答案：B ‎3（孟老师模拟举例）‎ 函数y＝ln的图像为 解析：易知2x－3≠0，即x≠，排除C，D项．当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数．答案：A ‎4．(2012·福建质检)‎ 函数f(x)＝的图像上关于y轴对称的点共有 A．0对 B．1对C．2对 D．3对 解析：因为y＝cosπx是偶函数，图像关于y轴对称．‎ 所以，本题可转化成求函数y＝log3x与y＝cosπx图像的交点个数的问题．‎ 作函数图像如图，可知有三个交点，即函数f(x)图像上关于y轴对称的点有3对．‎ 答案：D 孟老师大胆预测3对函数性质的考察 ‎1．(2012·昆明模拟)‎ 已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m、n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是 A．m－n<0 B．m－n>‎0‎C．m＋n<0 D．m＋n>0‎ 解析：因为f(x)是定义域为R的减函数，所以－f(－x)也是定义域为R的减函数，则f(x)－f(－x)是定义域为R的减函数，由于f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)，所以m0，则函数f(x)在[a，b]上有 A．最小值f(a) B．最大值f(b)C．最小值f(b) D．最大值f()‎ 解析：设x10.∴f(x1)>f(x2)．即f(x)在R上为减函数．∴f(x)在[a，b]上亦为减函数．∴f(x)min＝f(b)，f(x)max＝f(a)，故选C.答案：C ‎3(2012·揭阳一模)‎ 已知函数y＝是偶函数，f(x)＝logax的图像过点(2,1)，则y＝g(x)对应 的图像大致是下图中的 解析：依题意易得f(x)＝log2x(x>0)，函数的图像关于y轴对称，可得g(x)＝log2(－x)(x<0)．‎ 答案：B ‎4（2009年江苏卷）‎ 函数的单调减区间为 ‎【答案】 ‎【解析】，由得单调减区间为.‎ ‎5（2010年新课标全国）‎ 设函数.‎ ‎（I）若，求的单调区间；‎ ‎（II）若当时，求的取值范围.‎ 解：（1）时，，.‎ 当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加 ‎（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故 ，从而当，‎ 即时，，而，于是当时，. ‎ 由可得.‎ 从而当时， ，‎ 故当时，，而，于是当时，.‎ 综合得的取值范围为.‎ 孟老师大胆预测4：三个二次的考察 ‎1(2012·金华月考)‎ 若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于 A．－2 B．－‎1‎C．1 D．2‎ 解析：∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数，∴1－a＝0，∴a＝1.答案：C ‎2(2012·福建质检)‎ 设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是 A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]‎ 解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，‎ 则a≠0，f′(x)＝‎2a(x－1)<0，x∈[0,1]，‎ 所以a>0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x＝1.‎ 所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.答案：D 孟老师热点预测5：指数函数与对数函数 ‎1（2012年安徽卷）‎ ‎（）·（4）=‎ ‎（A） （B）（C） 2 （D） 4‎ ‎【解析】选 ‎2（孟老师模拟举例）‎ 函数y＝log2|x|的图像大致为 解析：显然函数y＝log2|x|为偶函数，且当x>0时单调递增，与C选项相符．答案：C ‎3(2012·哈师大附中月考)‎ 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈(－，0)时，f(x)＝log(1－x)，则f(2 011)＋f(2 013)＝‎ A．1 B．‎2C．－1 D．－2‎ 解析：由已知得，f(2 011)＋f(2 013)＝f(670×3＋1)＋f(671×3)＝f(1)＋f(0)＝－f(－1)＝1.答案：A ‎4（孟老师模拟举例）‎ 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是__________．‎ 解析：∵a＝log3π>1，b＝log2∈(，1)，c＝log3＝log32<，∴a>b>c.‎ 答案：a>b>c 孟老师大胆预测6：导数及其综合应用 ‎1（孟老师模拟举例）‎ 定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足：x·f ′(x)0，∴x0＝1，∴y0＝1，即M(1,1)．此时点M到直线的最小距离为d＝＝＝2.‎ ‎4（2010年新课标全国卷）‎ 设函数.‎ ‎（I）若，求的单调区间；‎ ‎（II）若当时，求的取值范围 解：（1）时，，.‎ 当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加 ‎（II） 由（I）知，当且仅当时等号成立.故 ，‎ 从而当，即时，，而，‎ 于是当时，.‎ 由可得.从而当时，‎ ，‎ 故当时，，而，于是当时，.‎ 综合得的取值范围为.‎ ‎5（2009年安徽卷）‎ 已知函数，讨论的单调性.‎ 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力.本小题满分12分.‎ 解：的定义域是(0,+), 设,二次方程的判别式.‎ ‎（1）当，即时，对一切都有.‎ 此时在上是增函数.‎ ‎（2）当,即时，仅对有,对其余的都有, 此时在上也是增函数.‎ ‎（3）当，即时，‎ 方程有两个不同的实根,,.‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增↑‎ 极大 单调递减↓‎ 极小 单调递增↑‎ 此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.‎ ‎6(12分)(2011·江西卷)‎ 设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.‎ ‎(1)若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；‎ ‎(2)当00，得a>－.‎ 所以，当a>－时，f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间．‎ ‎(2)令f ′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.‎ 所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在[x1，x2]上单调递增．‎ 当0