四川高考数学模拟试题文科 16页

‎2015年四川高考数学模拟试题 ‎（文科）‎ 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（共10小题，每题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）‎ ‎1．设全集U=,则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2．复数满足，则=（ ）‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎3．设，则=（ ）‎ A、2 B、 1 C、-1 D、-2‎ ‎4．将正三棱柱截去三个角（如图（1）所示A、B、C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图（2），则该几何体按图（2）所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）‎ A B C D ‎5．已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6．如下面的程序框图，则该程序运行后输出结果是（ ）‎ A、4 ‎ B、5 ‎ C、6 ‎ D、7‎ ‎7．设为正实数，则“”是“”成立的（ ）．‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎8．已知是等比数列，其中是关于的方程的两根，且，则锐角的值为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9．如图，、分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若△是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）‎ ‎ ‎ A、 B、2 C、 D、 ‎ ‎10．给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程 有个实数根，其中正确命题的个数为 （ ）‎ A、4 B、3 C、2 D、1‎ 第II卷（非选择题，共100分）‎ 二、填空题（共5小题，每题5分，共25分，请将答案填在答题卷中的横线上）‎ ‎11．下图是某公司10个销售店某月销售某品牌 电脑数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[19，30)内的频率为 ．‎ ‎ ‎ ‎（第11题图） （第13题图）‎ ‎12．过点(-1，2)的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为 ．‎ ‎13．如右上图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东 ，与观测站A距离 海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北 的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．‎ ‎14．对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________.‎ ‎15．已知函数的定义域为，部分对应值如下表, 的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎①函数的极大值点为，；‎ ‎②函数在上是减函数；‎ ‎③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；‎ ‎④当时，函数有个零点；‎ ‎⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．‎ 其中正确命题的序号是 ．‎ 三、解答题（共6小题，满分75分，解答应写出必要的步骤和答题过程）‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知，其中，．‎ ‎（Ⅰ）求的周期和单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，，求边长和的值（）．‎ 17． ‎（本小题满分12分)‎ 设为数列的前n项和，且对任意都有 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ 18． ‎（本小题满分12分）‎ 如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）证明：//平面；‎ ‎（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体的体积.‎ E A B C D B1‎ A1‎ D1‎ C1‎ F ‎19．（本小题满分12分）‎ 某中学举行了一次“社会主义核心价值观知识竞赛”‎ 活动，为了解本次竞赛中学生成绩情况，从全体学生中随机抽取了部分学生的分数（得分取整数且不低于50分，满分100分），作为样本（样本容量为n）进行统计.按照的分组作出频率分布直方图，并作出茎叶图（图中仅列出来这两组的数据）.‎ ‎（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从样本中竞赛成绩80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加社会主义核心价值观知识宣传志愿者活动.求所抽取的2名同学来自不同组的概率.‎ 20． ‎（本小题满分13分）‎ 已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于两点.‎ ‎（1）若轴上一点满足，求直线斜率的值；‎ ‎（2）是否存在这样的直线，使的最大值为（其中为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由. ‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）设上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，求的单调区间.‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】由题意可知，全集，所以,从而得出，故选C.‎ ‎2．D ‎【解析】依题意可得.故选D.‎ ‎3．A ‎【解析】由题意可知，，故选.A ‎4．A ‎【解析】由正三棱柱的性质得侧面AED⊥底面EFD， 则侧视图必为直角梯形，又线段BE在梯形内部，A正确.‎ 考点：三视图 ‎5．B ‎【解析】由点中的x,y满足的可行域区域如图.所以目标函数过点A,B的分别是z的最小，最大值即-1,2.故选B.‎ ‎6．B ‎【解析】由题意，得：n=5，k=0n="16，k=1，" n="8，k=2，" n="4，k=3，" n="2，k=4，" ‎ n=1，k=5终止，当n=2时，执行最后一次循环； 当n=1时，循环终止，这是关键，输出k=5．故选B．‎ ‎7．‎ ‎【解析】‎ 已知为正实数，若，因为，则有 ‎，反过来，若，则，则“‎ ‎”是“”成立的充要条件 .‎ 考点：充要条件；‎ ‎8．A ‎【解析】∵等比数列，∴，又∵是关于的方程的两根，∴，，∴，‎ 即或（舍去），又∵锐角，∴.‎ ‎9．D ‎【解析】连接,因为以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，且△是等边三角形，所以,,设,则，所以双曲线的离心率．‎ 考点：双曲线的几何性质．‎ ‎10．B ‎【解析】对于①，四个函数中在区间上为减函数，在区间上先减后增，可得有2个函数满足增函数条件，故①不正确；对于②，由，得由函数是增函数，可得，故②正确；对于③，因为是奇函数，得图象关于原点对称，将函数图象向右平移1个单位，得的图象关于对称，得③正确；对于④，函数，可得当或时满足，即方程有2个实数根，可得④正确其中的真命题是②③④，共3个 ．‎ 考点：命题的真假判断与应用． ‎ ‎11．0.6‎ ‎【解析】根据茎叶图可知，这十个数据从小到大依次是：18，19 ，21 ，22，22，27 ，29 ，30 ，30 ，33.这10个数据中，落在区间内的有19 ，21 ，22，22，27 ，29‎ 共六个，所以数据落在区间内的频率为 ‎，故答案应填：.‎ ‎12．或 ‎【解析】设过点的直线方程为，即.‎ 即，‎ 由已知得，，解得，直线的斜率为或.‎ ‎13．‎ ‎【解析】由已知，‎ 所以， ，‎ 由余弦定理得，‎ ‎,故（海里），‎ 该货船的船速为海里/小时．‎ 考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由定义运算“*”‎ 可知 ，画出该函数的图像 如图所示，从而可得，又因为要有三个不同的解，所以，所以，所以的取值范围是.‎ 考点：1.函数的零点；2.新定义新运算；3.基本不等式.‎ ‎15．①②⑤‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①由的导函数的图象知，函数的极大值点为0，4，故①正确；‎ ‎②因为在上导函数为负，故函数在上是减函数，②正确；‎ ‎③由表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2， 若时，的最大值是2，那么，故的最大值为5，即③错误；‎ ‎④由知，因为极小值未知，‎ 所以无法判断函数有几个零点，故④不正确；‎ ‎⑤∵函数在定义域为共有两个单调增区间，两个单调减区间，‎ 故函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个，故⑤正确．‎ 故答案为①②⑤．‎ 考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数的零点.‎ ‎16．（1），的单调递减区间；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式 计算周期．（2）利用正弦函数的单调区间，求在的单调性．（3‎ ‎）求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可．（4）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方．‎ 试题解析：解：由题意知，‎ 的最小正周期为 在上单调递减，‎ 令，得 的单调递减区间 ‎，‎ 又，即 ‎，即，由余弦定理得 ‎，即 又，．‎ ‎17．（1） （2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析:（1）① ‎ 当时，，‎ 当时，② ‎ ‎①-②得 ‎ 是公比为，首项为的等比数列 ‎（2 ）‎ 故 ‎ ‎ 所以数列的前n项和为 考点:求数列通项公式，等差、等比数列有通项公式，前项和公式，裂项相消法。‎ ‎18．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：Ⅰ）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从证明线面垂直出发：因为面所以．又，所以面,所以平面面.（Ⅱ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从证明线线平行出发，这一般可利用平面几何知识得以证明：设，则易得四边形为平行四边形，所以//.所以//面 （Ⅲ）求棱锥体积，关键在于确定其高。可以利用等体积法将其转化为可确定高的棱锥：‎ 试题解析：（Ⅰ）证明: ‎ 因为为正方体，‎ 所以面；‎ 因为面，所以． 2分 又因为，，所以面 ‎ 因为面,所以平面面. 5分 ‎（Ⅱ）连接,//，且， ‎ E F A B C D B1‎ A1‎ D1‎ C1‎ 设，‎ 则//且,‎ 所以//且，‎ 所以四边形为平行四边形. 所以//. 9分 又因为，．‎ 所以//面 11分 ‎（Ⅲ） 14分 考点：面面垂直判定定理，线面平行判定定理，棱锥体积 ‎19．（Ⅰ）; （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先根据频率分布直方图的相关概念，即可求得样本容量和频率分布直方图中的值；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为，分数在[90，100）有2人，分别记为a，b，用列举法求得所有的抽法有21种，而满足条件的有10种，由此求得所求事件的概率．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在有5人，分别记为，分数在[90，100）有2人，分别记为a，b．从竞赛成绩是80（分）以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a），（2，b），（3，4），（3，5），（3，a），（3，b），（4，5），（4，a），（4，b），（5，a），（5，b），（a，b）共有21个基本事件；‎ 其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（5，a），（5，b），共10个，所以抽取的2名同学来自不同组的概率.‎ 考点：1.列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2.频率分布直方图． ‎ ‎20．（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题中的条件，可知椭圆的实轴长为已知的，从而得出a的值，再根据离心率的值，可知c的值，从而得出b的值，椭圆的方程就可以求出，对于第二问中的第一小题，能够得出M是弦的中点，根据有关中点弦的问题来解决即可，对于第二小题，注意三角形的面积的求解，转化为求函数的最值问题.‎ 试题解析：（Ⅰ），∴ 1分 ‎，∴， ∴ 2分 椭圆的标准方程为 3分 ‎（Ⅱ）已知,设直线的方程为，‎ 联立直线与椭圆方程，化简得：‎ ‎∴， 4分 ‎∴的中点坐标为 5分 ‎①当时，，‎ 整理得解得或 7分 ‎②当时，的中垂线方程为，满足题意. ‎ ‎∴斜率的取值为. 8分 ‎（2）当直线斜率不存在时，此时 ‎ ‎ 9分 当直线斜率存在时 由（1）知 ‎ 10分 ‎ 而原点到直线的距离 11分 所以 12分 ‎ ‎ 综上， ‎ 所以满足题意的直线存在，方程为. 14分 考点：椭圆的方程，椭圆的中点弦所在的直线的斜率，直线被曲线所截得的弦长问题，三角形的面积的有关问题.‎ ‎21．（Ⅰ），没有极大值 ‎（Ⅱ）‎ ‎（Ⅲ）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为 ‎【解析】‎ 试题分析：（1） .求可导函数的极值求函数解析式的步骤一、求导数；二、求方程的根；三、检查与方程的根左右值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值， ‎ ‎（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到 （3）函数的单调性与导数之间的关系且不恒为0时单调递增，且不恒为0时单调递减，如果有字母系数，要注意分类讨论 试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为 1分 当时，，∴ 2分 由得 随变化如下表：‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 减函数 极小值 增函数 故，，没有极大值. 4分 ‎（Ⅱ）由题意，，在上单调递增，[‎ 在上恒成立，‎ 设在上恒成立， 5分 当时，恒成立，符合题意. 6分 当时，在上单调递增，的最小值为，‎ 得，所以, 8分 当时，在上单调递减，不合题意,‎ 所以 （也可以用分离变量的方法） 10分 ‎（Ⅲ）由题意，，令得，10分 若，由得；由得 11分 若，①当时，，或时，；‎ 时，；‎ ‎②当时，；‎ ‎③当时，或,;, 13分 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为． 14分 考点：函数的极值，单调性与导数及分类讨论思想