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- 2021-05-13 发布
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1992年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文史类)
考生注意:这份试卷共三道大题(28个小题).满分120分.考试时间120分钟.用钢笔直接答在试卷中,答卷前将密封线内的项目填写清楚.
一.选择题:本大题共18小题;每小题3分,共54分.在每小题给的4个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题中括号内.
(1)的值是 ( )
(A)
(B) 1
(C)
(D) 2
(2)已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离是 ( )
(A) 2
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(3)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为( )
(A) 4
(B) 2
(C)
(D)
(4)在()8的展开式中常数项是 ( )
(A) -28
(B) -7
(C) 7
(D) 28
(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是 ( )
(A) 6∶5
(B) 5∶4
(C) 4∶3
(D) 3∶2
(6)图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图像.已知n取±2,±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为 ( )
(A) -2,,2
(B) 2,,-2
(C) -2,2,
(D) 2,-2,-
(7)若loga2< logb2<0,则 ( )
(A) 0b>1
(D) b>a>1
(8)原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为 ( )
(A) ()
(B) ()
(C) (3,4)
(D) (4,3)
(9)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 ( )
(A) 1个
(B) 2个
(C) 3个
(D) 4个
(10)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( )
(A) x2+y2-x-2y-=0
(B) x2+y2+x-2y+1=0
(C) x2+y2-x-2y+1=0
(D) x2+y2-x-2y+=0
(11)在[0,2π]上满足sinx≥的x的取值范围是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0),那么l2的方程是 ( )
(A) bx+ay+c=0
(B) ax-by+c=0
(C) bx+ay-c=0
(D) bx-ay+c=0
(13)如果α,β∈(,π)且tgα
(14)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别
为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(15)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为 ( )
(A) 1
(B) 2
(C)
(D) 3
(16)函数y=的反函数 ( )
(A) 是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数
(B) 是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数
(C) 是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数
(D) 是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数
(17)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么 ( )
(A) f(2)0,S13<0.
(Ⅰ)求公差d的取值范围;
(Ⅱ)指出S1,S2,…S12中哪一个值最大,并说明理由.
1992年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(文史类)参考答案及评分标准
说明:
一.本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.
二.每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.
三.为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.
四.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
五.只给整数分数.
一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分54分.
(1)A (2)D (3)D (4)C (5)D (6)B (7)B (8)D (9)D
(10)D (11)B (12)A (13)C (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C
二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分15分.
(19) (20) (21)x=-1 (22) (23)
三、解答题
(24)本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力.满分9分.
解 sin220º+cos280º+sin220ºcos80º
=(sin100º-sin60º) ——3分
=1+(cos160º-cos40º)+sin100º- ——5分
=-·2sin100ºsin60º+sin100º ——7分
=-sin100º+sin100º
=. ——9分
(25)本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识.满分10分.
解 设 z=x+yi (x,y∈R).
依题意有
x+yi-2=-7+4i ——2分
由复数相等的定义,得
①②
——5分
将②代入①式,得
x-2=-7.
解此方程并经检验得
x1=3, x2=. ——8分
∴ z1 =3+4i, z2=+4i. ——10分
(26)本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分10分.
解法一 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a,
∴ 四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形. ——2分
连结A1C1、EF、BD1,则A1C1∥EF.
根据直线和平面平行的判定定理,A1C1平行于A1-EBFD1的底面,从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1-EBFD1的高 ——4分
设G、H分别是A1C1、EF的中点,连结D1G、GH,则FH⊥HG, FH⊥HD1
根据直线和平面垂直的判定定理,有
FH⊥平面HGD1,
又,四棱锥A1-EBFD1的底面过FH,根据两平面垂直的判定定理,有
A1-EBFD1的底面⊥平面HGD1.
作GK⊥HD1于K,根据两平面垂直的性质定理,有
GK垂直于A1-EBFD1的底面. ——6分
∵ 正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴ ∠HGD1=90º.
在Rt△HGD1内,GD1=a,HG=a,HD1==a.
∴ a·GK=a·a,从而GK=a. ——8分
∴ =·GK
=··EF·BD1·GK
=·a·a·a=a3 ——10分
解法二 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a,
∴ 四菱锥A1-EBFD1的底面是菱形. ——2分
连结EF,则△EFB≌△EFD1.
∵ 三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高,
∴ .
∴ . ——4分
又 ,
∴ , ——6分
∵ CC1∥平面ABB1A1,
∴ 三棱锥F-EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离,即棱长a. ——8分
又 △EBA1边EA1上的高为a.
∴ =2···a=a3. ——10分
(27)本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力.满分10分.
解 由
得 顶点A(-1,0). ——2分
又,AB的斜率 kAB==1.
∵ x轴是∠A的平分线,
故AC的斜率为-1,AC所在直线的方程为
y=-(x+1) ① ——5分
已知BC上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,故BC的斜率为-2,BC所在的直线方程为
y-2=-2(x-1) ② ——8分
解①,②得顶点C的坐标为(5,-6). ——10分
(28)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.满分12分.
解(Ⅰ)依题意,有
·d>0,
·d<0.
①
②
即 ——4分
由a3=12,得
a1+2d=12. ③
将③式分别代入①、②式,得
解此不等式组得
- ——6分
(Ⅱ)解法一 由d<0可知
a1> a2> a3>…> a12> a13.
因此,若1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值. ——9分
由于 S12=6(a6+a7)>0,
S13=13a7<0,
即 a6+a7>0,
a7<0,
由此得 a6>-a7>0.
因 a6>0,a7<0.
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
(Ⅱ)解法二 Sn=na1+
=n(12-2d)+n(n-1)d
=[n-(5-)]2-,
∵ d<0,
∴ [n-(5-)]2最小时,Sn最大. ——9分
当 -时
6<(5-)<6.5,
∴ 正整数n=6时[n-(5-)]2最小,
∴ S6最大. ——12分
(Ⅱ)解法三
由d<0可知
a1> a2> a3>…> a12> a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值. ——9分
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大. ——12分
注:如果只答出S6的值最大,而未说明理由者,在(Ⅱ)中只给3分.