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- 2021-05-13 发布
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第3讲 力与物体的曲线运动
1.(2013·山东泰安质检·16)“空间站”是科学家进行天文探测和科学实验的特殊而又重要的场所.假设“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运动,其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一,且运行方向与地球自转方向一致.下列说法正确的有( )
A.“空间站”运行的加速度等于其所在高度处的重力加速度
B.“空间站”运行的速度等于同步卫星运行速度的倍
C.站在地球赤道上的人观察到它向西运动
D.在“空间站”工作的宇航员因受到平衡力而在舱中悬浮或静止
解析: 由v同步=,v空间站=,则B错.再结合v=ωr0,可知ω空间站>ω地球,所以人观察到它向东运动,C错.空间站的宇航员只受万有引力,受力不平衡,所以D错.
答案: A
2.如图为一陀螺,a、b、c为在陀螺上选取的三个质点,它们的质量之比为1∶2∶3,它们到转轴的距离之比为3∶2∶1,当陀螺以角速度ω高速旋转时( )
A.a、b、c的线速度之比为1∶2∶3
B.a、b、c的周期之比为3∶2∶1
C.a、b、c的向心加速度之比为3∶2∶1
D.a、b、c的向心力之比为1∶1∶1
解析: 在同一陀螺上各点的角速度相等,由v=ωr和质点到转轴的距离之比为3∶2∶1,可得a、b、c的线速度之比为3∶2∶1,选项A错误,由T=2π/ω可知a、b、c的周期之比为1∶1∶1,选项B错误;由a=ωv可知a、b、c的向心加速度之比为3∶2∶1,选项C正确;由F=ma可得a、b、c的向心力之比为3∶4∶3,选项D错误.
答案: C
3.(2013·大纲·18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行,运行周期为127分钟.已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,月球半径约为1.74×103 kg.利用以上数据估算月球的质量约为( )
A.8.1×1010 kg B.7.4×1013 kg
C.5.4×1019 kg D.7.4×1022 kg
解析: 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力。“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动,由牛顿第二定律知:G=mr,得M=,其中r=R+h,代入数据解得M=7.4×1022 kg,选项D正确.
答案: D
4.
(2013·上海单科·19)如图,轰炸机沿水平方向匀速飞行,到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹,并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h,山坡倾角为θ,由此可算出( )
A.轰炸机的飞行高度
B.轰炸机的飞行速度
C.炸弹的飞行时间
D.炸弹投出时的动能
解析: 设轰炸机投弹位置高度为H,炸弹水平位移为x,则H-h=vy·t,x=v0t,二式相除=·,因为=,x=,所以H=h+,A正确;根据H-h=gt2可求出飞行时间,再由x=v0t可求出飞行速度,故B、C正确;不知道炸弹质量,不能求出炸弹的动能,D错误.
答案: ABC
5.如图所示,蜘蛛在地面与竖直墙壁之间结网,蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°,A点到地面的距离为1 m,已知重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计,若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8 m的C点以水平速度v0跳出,要到达蛛丝AB,水平速度v0至少为( )
A.1 m/s B.2 m/s
C.2.5 m/s D. m/s
解析: 蜘蛛做平抛运动,要到达蛛丝,则需在下落h=0.8 m时,水平位移至少为x=OB=1 m,则v0== m/s=2.5 m/s,C选项正确.
答案: C
6.(2013·河南郑州联考·17)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原处;若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t小球落回原处.已知该星球的半径与地球半径之比R星∶R地=1∶4,地球表面重力加速度为g,设该星球表面重力加速度为g′,地球的质量为M地,该星球的质量为M星.空气阻力不计.则( )
A.g′∶g=5∶1 B.g′∶g=1∶5
C.M星∶M地=1∶20 D.M星∶M地=1∶80
解析: 小球以相同的初速度在星球和地球表面做竖直上抛运动,星球上:v0=g′·得,g′=,同理地球上的重力加速度g=;则有g′∶g=1∶5,所以A错,B正确.由星球表面的物重近似等于万有引力可得,在星球上取一质量为m0的物体,则有m0g′=G,得M星=,同理得:M地=,所以M星∶M地=1∶80,故C错,D正确.
答案: BD
7.如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上,设地球质量为M、半径为R.下列说法正确的是( )
A.地球对一颗卫星的引力大小为
B.一颗卫星对地球的引力大小为
C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析: 应用万有引力公式及力的合成规律分析.
地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离,选项A错误,B正确;两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角,间距为r,代入数据得,两颗卫星之间引力大小为,选项C正确;三颗卫星对地球引力的合力为零,选项D错误.
答案: BC
8.(2013·山东卷·20)双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为( )
A.T B.T
C.T D.T
解析: 双星间的万有引力提供向心力.
设原来双星间的距离为L,质量分别为M、m,圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.
对质量为m的恒星:G=m2·r
对质量为M的恒星:G=M2(L-r)
得G=·L
即T2=
则当总质量为k(M+m),间距为L′=nL时,T′=T,选项B正确.
答案: B
9.(2013·四川卷·4)迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住,绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl-581c”却很值得我们期待.该行星的温度在0℃到40℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日.“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍.设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体,绕其中心天体做匀速圆周运动,则( )
A.在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
B.如果人到了该行星,其体重是地球上的2倍
C.该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 倍
D.由于该行星公转速率比地球大,地球上的米尺如果被带上该行星,其长度一定会变短
解析: 行星、地球绕其中心天体做匀速圆周运动.根据万有引力提供向心力解决问题.
由题意知,行星、地球的质量之比=6,半径之比=1.5,公转周期之比=,中心天体质量之比=0.31.根据G=m′,得第一宇宙速度之比===2,选项A错误;根据m′g=G,得到人的体重之比=·=·2=
,选项B正确;根据G=m2r,得与中心天体的距离之比==,选项C错误;米尺在该行星上长度不一定会变短,选项D错误.
答案: B
10.(2013云南部分名校统考,20)如图为湖边一倾角为30°的大坝横截面示意图,水面与大坝的交点为O.一人站在A点以速度v0沿水平方向扔一小石子,已知AO=40 m,不计空气阻力,g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A.若v0>18 m/s,则石块可以落入水中
B.若v0<20 m/s,则石块不能落入水中
C.若石子能落入水中,则v0越大,落水时速度方向与水平面的夹角越大
D.若石子不能落入水中,则v0越大,落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
解析: 石子从A到O过程中,由平抛运动规律有AOsin 30°=gt2,AOcos 30°=v0t,联立得v0=17.3 m/s,所以只要v0>17.3 m/s的石子均能落入水中,A项正确B项错误;若石子落入水中,由平抛运动规律有AOsin 30°=gt2,vy=gt=20 m/s,设其落入水中时的速度与水平面夹角为θ,则tan θ=,vy一定,v0增大,θ减小,C项错;不落入水中时,根据中点定理得石子落到斜面上时的速度方向与斜面夹角都相等,与v0大小无关,D项错误.
答案: A
11.(2013·福建理综·20)如图,一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点,下端系一质量m=1.0 kg的小球.现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放,当它经过B点时绳恰好被拉断,小球平抛后落在水平地面上的C点.地面上的D点与OB在同一竖直线上,已知绳长L=1.0 m,B点离地高度H=1.0 m,A、B两点的高度差h=0.5 m,重力加速度g取10 m/s2,不计空气影响,求:
(1)地面上D、C两点间的距离x;
(2)轻绳所受的最大拉力大小.
解析: 分段研究小球的运动过程,A到B过程中小球在竖直面内做圆周运动,机械能守恒;B到C过程中小球做平抛运动,根据平抛运动的分解求解.注意隐含条件:恰好被拉断时,轻绳达到最大张力.
(1)小球从A到B过程机械能守恒,有
mgh=mv①
小球从B到C做平抛运动,在竖直方向上有
H=gt2②
在水平方向上有
x=vBt③
由①②③式解得x≈1.41 m.④
(2)小球下摆到达B点时,绳的拉力和重力的合力提供向心力,有
F-mg=m⑤
由①⑤式解得
F=20 N
根据牛顿第三定律
F′=-F
轻绳所受的最大拉力为20 N.
答案: (1)1.41 m (2)20 N
12.如图所示,在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道,外圆ABCD光滑,内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙,下半部分B′A′D′光滑.一质量m=0.2 kg的小球从轨道的最低点A,以初速度v0向右运动,球的尺寸略小于两圆间距,球运动的半径R=0.2 m,取g=10 m/s2.
(1)若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动,初速度v0至少为多少?
(2)若v0=3 m/s,经过一段时间小球达到最高点,内轨道对小球的支持力FN=2 N,则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少?
(3)若v0=3 m/s,经过足够长的时间后,小球经过最低点A时受到的支持力为多少?小球在整个过程中减少的机械能是多少?
解析: (1)在此情形下小球到达最高点的最小速度为vC,则有mg=
mv=mv+2mgR
代入数据解得v0= m/s=3.16 m/s.
(2)设此时小球到达最高点的速度为vC′,克服摩擦力做的功为W,则mg-FN=
-2mgR-W=mvC′2-mv
代入数据解得W=0.05 J.
(3)经足够长时间后,小球在下半圆轨道内做往复运动,设小球经过最低点的速度为vA,受到的支持力为FNA,则有
mgR=mv
FNA-mg=
代入数据解得FNA=6 N
设小球在整个运动过程中减少的机械能为ΔE,由功能关系有ΔE=mv-mgR
代入数据解得ΔE=0.5 J.
答案: (1)3.16 m/s (2)0.05 J (3)6 N 0.5 J