北京市高考数学文试题含答案解析 13页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（文史类）‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1．若集合，，则 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 ‎（C）第三象限 （D）第四象限 ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）．‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4．设，，，是非零实数，则“”是“，，，成等比数列”的（ ）．‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎．‎ ‎5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ）．‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）．‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7. 在平面直角坐标系中，,,,是圆上的四段弧（如图），点在其中的一段上，角是以为始边，为始边.若，则所在的圆弧是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎ ‎ ‎8. 设集合，则 对任意实数， 对任意实数，‎ 当且仅当时， 当且仅当时，‎ 二．填空 ‎（9）设向量，。若，则 。‎ ‎（10）已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为 。‎ ‎（11）能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为 。‎ ‎（12）若双曲线的离心率为，则 。‎ ‎（13）若，满足，则的最小值是 。‎ ‎14.若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 。‎ 三.解答题 ‎15．（本小题13分）‎ 设是等差数列，且，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求．‎ ‎16．（本小题13分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值。‎ ‎(17)(本小题12分)‎ 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 好评率 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 ‎()从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎()随机选取部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；‎ ‎()电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加，哪类电影的好评率减少，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）‎ ‎()由表格可知电影的总部数 ‎ 获得好评的第四类电影 ‎ 设从收集的电影中选部，是获得好评的第四类电影为事件,则 ‎()未获得好评的第一类电影 ‎ 未获得好评的第二类电影 ‎ 未获得好评的第三类电影 ‎ 未获得好评的第四类电影 ‎ 未获得好评的第五类电影 ‎ 未获得好评的第六类电影 ‎ 未获得好评的电影总数 ‎ 设随机选取部电影，估计这部电影没有获得好评为事件,则 ‎()第五类电影增加，第二类电影减少 ‎18如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别为，的中点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面平面； ‎ ‎（3）求证：∥平面.‎ ‎19．（本小题13分）‎ 设函数，‎ ‎（1）若曲线在点处的切线斜率为，求；‎ ‎（2）若在处取得极小值，求的取值范围．‎ ‎20. （本小题14分）‎ 已知椭圆的离心率为，焦距为．‎ 斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求的最大值；‎ ‎（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线椭圆的 另一个交点为．若，和点共线，求．‎ 一. 选择题 ‎1. 【答案】A ‎2. 【答案】 D ‎，‎ 则，故的共轭复数在第四象限，‎ 故选 ‎3. 【答案】‎ ‎【解析】根据程序框图可知，开始，，‎ 执行，，此时不成立，循环，‎ ‎，，此时成立，结束，‎ 输出．‎ 故选．‎ ‎4. 【答案】‎ ‎【解析】当，，时，成立，但是，，，不成等比数列，‎ 当，，，成等比数列时，此时根据等比数列性质，成立．‎ 故“”是“，，，成等比数列”的必要而不充分条件．‎ 故选．‎ ‎5. 【答案】‎ ‎【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以为首项，为公比的等比数列，‎ 故第八个单音的频率为．‎ 故选．‎ ‎6. 【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，‎ 在正方体中，,,均为直角三角形，‎ ‎,,，故不是直角三角形．‎ 故选．‎ ‎7. 【答案】C ‎【解析】因为最小，所以在第一二象限，‎ ‎ 小于，所以满足题意。‎ ‎8. 【答案】：D ‎【解析】：若，则。‎ 则当时，； 当时， 选D 二.填空题 ‎9. 【答案】：‎ ‎【解析】：由题知，，。因为，所以 ‎，所以。‎ ‎10. 答案： ‎ 解析： 由已知点在抛物线上，满足抛物线方程，即 ， ‎ ‎ 即抛物线方程为，‎ ‎ 焦点坐标为 ‎11. 答案：，（答案不唯一）‎ 解析：由题知，需求，的值，使得，且。所以当，时符合条件，即当，时成立，其余正确答案均可。‎ ‎12. 答案： ‎ 解析：由题知，据双曲线的性质知解得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13. 答案：3‎ 解析：将不等式转换成线性规划，即 ‎ ‎ ‎ 目标函数 如右图在 处取最小值 ‎ ‎ ‎14. 【答案】：，‎ ‎【解析】：由余弦定理可得，‎ 由三角形面积公式可得，‎ 化简得，，又， ‎ 为钝角，，‎ 由正弦定理可得 ‎，‎ 三.解答题 ‎15. 【解析】 解：（1）设等差数列公差为，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎16. 【解析】 解：（Ⅰ ）‎ 所以函数的最小正周期.‎ ‎（Ⅱ）函数能取到最大值时， ‎ ‎，，由正弦函数的图像，，‎ 所以，即的最小值为。‎ ‎17. 【解析】()由表格可知电影的总部数 ‎ 获得好评的第四类电影 ‎ 设从收集的电影中选部，是获得好评的第四类电影为事件,则 ‎()未获得好评的第一类电影 ‎ 未获得好评的第二类电影 ‎ 未获得好评的第三类电影 ‎ 未获得好评的第四类电影 ‎ 未获得好评的第五类电影 ‎ 未获得好评的第六类电影 ‎ 未获得好评的电影总数 ‎ 设随机选取部电影，估计这部电影没有获得好评为事件,则 ‎()第五类电影增加，第二类电影减少 ‎18. 【解析】（1）证明：‎ 在中， ，点为中点；‎ ‎∴ ； ‎ ‎∵平面平面 ；‎ 平面平面 ；‎ 平面；‎ 平面；‎ ‎∵平面；‎ ‎∴.‎ ‎（2）‎ 由（1）知平面；‎ ‎∵平面；‎ ‎∴；‎ ‎；‎ 平面；‎ ‎；‎ ‎∴平面；‎ ‎∵平面；‎ ‎∴；‎ ‎∵；‎ 平面 ；‎ ‎；‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面；‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（3）证明：‎ 取中点；连接；‎ 在中，分别为中点；‎ ‎∴∥，且；‎ ‎∵∥，且；‎ ‎∴∥，且；‎ ‎∴四边形为平行四边形；‎ ‎∴∥，平面，平面；‎ ‎∴∥平面.‎ ‎19. 【解析】（1）解：函数定义域为，‎ 若函数在处切线与轴平行，则 ‎，即．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎①当时，令，，‎ 极大值 不满足题意；‎ 当时，令，或，‎ ‎②当时，即，‎ 极小值 极大值 不满足题意；‎ ‎③当时，‎ ‎1）当，即时，，函数无极值点；‎ ‎2）当，即时，‎ 极大值 极小值 满足题意；‎ ‎3）当，即时，‎ 极大值 极小值 不满足题意．‎ 综上所述，若在处取得极小值，．‎ ‎20. 【解析】（1）由已知可得，又，所以，．‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）令，，直线的方程为．‎ 联立，整理得．‎ 所以 所以．‎ 所以，‎ 因为，所以易知当时，．‎ ‎（3）因为点在椭圆外，所以直线一定存在斜率．‎ 令，，设直线的方程为，‎ 则；．‎ 直线，带入椭圆中去，‎ 得，‎ 整理得，‎ 又因为，‎ 所以．‎ 所以可知，解得，‎ 所以．‎ 同理可得，．‎ 所以 ‎．‎