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- 2021-05-13 发布
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1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一.选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11— 15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1) sin600º ( )
(A) (B) - (C) (D) -
(2) 函数y=a|x|(a>1)的图像是 ( )
(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为 ( )
(A) x2+(y+2)2=4 (B) x2+(y-2)2=4 (C) (x-2)2+y2=4 (D) (x+2)2+y2=4
(4) 两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是 ( )
(A) A1A2+B1B2=0 (B) A1A2-B1B2=0 (C) (D)
(5) 函数f(x)=( x≠0)的反函数f-1(x)= ( )
(A) x(x≠0) (B) (x≠0) (C) -x(x≠0) (D) -(x≠0)
(6) 已知点P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,则在内α的取值是 ( )
(A) ()∪() (B) ()∪()
(C) ()∪() (D) ()∪()
(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )
(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º
(8) 复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是 ( )
(A) i (B) - i (C) ± i (D) ±i
(9) 如果棱台的两底面积分别是S,S′,中截面的面积是S0,那么 ( )
(A) 2 (B) S0=
(C) 2 S0=S+S′ (D)
(10) 向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图像如下图所示,那么水瓶的形状是 ( )
(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有 ( )
(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种
(12) 椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|P F1|是|P F2|的 ( )
(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍
(13) 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为 ( )
(A) 4 (B)2 (C) 2 (D)
(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为 ( )
(A) arccos (B) arcsin (C) arccos (D) arcsin
(15) 在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足Sn=,那么a1的取值范围是( )
(A)(1,+∞) (B)(1,4) (C) (1,2) (D)(1,)
第Ⅱ卷(非选择题共85分)
二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
16.设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_________
17.(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为____________(用数字作答)
18.如图,在直四棱柱A1B1C1 D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件____________时,有A1 C⊥B1 D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
19.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题:
①由f(x1)= f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-);
③y=f(x)的图像关于点(-,0)对称;
④y=f(x)的图像关于直线x=-对称.
其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都填上.)
三、解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(20)(本小题满分10分)
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=.求sinB的值.
以下公式供解题时参考:
sinθ+sin =2sincos, sinθ-sin=2cossin,
cosθ+cos=2coscos, cosθ-cos=-2sinsin.
(21)(本小题满分11分)
如图,直线l1和l2相交于点M,l1 ⊥l2,点N∈l1.以A, B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
(22)(本小题满分12分)
如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).
(23)(本小题满分12分)
已知斜三棱柱ABC-A1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90º,BC=2,AC=2,且AA1 ⊥A1C,AA1= A1 C.
Ⅰ.求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
Ⅱ.求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小;
Ⅲ.求顶点C到侧面A1 ABB1的距离.
(24)(本小题满分12分)
设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.
Ⅰ.写出曲线C1的方程;
Ⅱ.证明曲线C与C1关于点A(,)对称;
Ⅲ.如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明s=-t且t≠0.
(25)(本小题满分12分)
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
Ⅰ.求数列{bn}的通项bn;
Ⅱ.设数列{an}的通项an =loga(1+)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考答案
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算.)
1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B 11.D 12.A 13.B 14.B 15.D
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.)
16. 17.179
18.ACBD,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如ABCD是正方形,菱形等
19.②,③
三、解答题
20.本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.
解:由正弦定理和已知条件a+c=2b 得 sinA+sinC=2sinB.
由和差化积公式得2sincos=2sinB.
由A+B+C=π 得 sin=cos ,
又A-C= 得 cos=sinB,
所以cos=2sincos.
因为0<<,cos≠0,
所以sin=,
从而cos=
所以sinB=.
21.本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.
解法一:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.
依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为
y2=2px(p>0),(xA≤x≤xB,y>0),其中xA,xB分别为A,B的横坐标,p=|MN|.
所以 M(,0),N(,0).
由|AM|= ,|AN|=3 得
(xA+)2+2pxA=17, ①
(xA-)2+2pxA=9. ②
由①,②两式联立解得xA =.再将其代入①式并由p>0解得
因为ΔAMN是锐角三角形,所以> xA,故舍去
所以p=4,xA =1.
由点B在曲线段C上,得xB =|BN|-=4.
综上得曲线段C的方程为
y2=8x(1≤x≤4,y>0).
解法二:如图建立坐标系,分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE l1,AD l2,BF l2,垂足分别为E、D、F.
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0).
依题意有
xA =|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA =|DM|=,
由于ΔAMN为锐角三角形,故有
xN =|ME|+|EN|
=|ME|+=4
xB =|BF|=|BN|=6.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合
{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}.
故曲线段C的方程为
y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
22.本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.
解法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k>0为比例系数.依题意,即所求的a,b值使y值最小.
根据题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
得 b=(00,b>0),
即 a+2b+ab=30(a>0,b>0).
因为 a+2b≥2,
所以 +ab≤30,
当且仅当a=2b时,上式取等号.
由a>0,b>0,解得0,
取n=2有(1+1)(1+)>,
……
由此推测(1+1)(1+)……(1+)>. ①
若①式成立,则由对数函数性质可断定:
当a>1时,Sn>loga bn+1.
当0.
那么,当n=k+1时,
(1+1)(1+)……(1+)(1+)>(1+)
=(3k+2).
因为
,
所以(3k+2)>
因而(1+1)(1+)……(1+)(1+)>
这就是说①式当n=k+1时也成立.
由(ⅰ),(ⅱ)知①式对任何正整数n都成立.
由此证得:
当a>1时,Sn>loga bn+1.
当0
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