上海市十四校联考高考数学模拟试卷3月含答案 23页

‎2017年上海市十四校联考高考数学模拟试卷（3月份）‎ ‎　‎ 一、填空题.‎ ‎1．已知（x﹣）n的二项式系数之和为256，则n=　　．‎ ‎2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则z2﹣2iz的值等于　　．‎ ‎3．设向量、的夹角为θ（其中0＜θ≤π），||=1，||=2，若（2﹣）⊥（k+），则实数k的值为　　．‎ ‎4．设函数f（x）=|lgx|，若f（a）=f（b），其中0＜a＜b，则a+b取值范围是　　．‎ ‎5．函数f（x）=2x+2﹣3×4x，x∈（﹣∞，1）的值域为　　．‎ ‎6．已知方程+=1表示的曲线为C，任取a，b∈{1，2，3，4，5}，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于　　．‎ ‎7．若实数x、y满足，则x﹣2y的取值范围是　　．‎ ‎8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线上任意一点P分别作斜率为﹣和的两条直线l1和l2，设直线l1与x轴、y轴所围成的三角形的面积为S，直线l2与x轴、y轴所围成的三角形的面积为T，则S•T的值为　　．‎ ‎9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足a=4，A=30°的三角形的个数恰好为一个，则b的取值范围是　　．‎ ‎10．设i、j、n∈N*，i≠j，集合Mn={（i，j）|4•3n＜3i+3j＜4•3n+1}，则集合Mn中元素的个数为　　个．‎ ‎11．设正实数集合A={a1，a2，a3，…，an}，集合S={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}，则集合S中元素最多有　　个．‎ ‎12．对于正整数n，设xn是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记an=[（n+1）xn]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）=　　．‎ ‎　‎ 二、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎13．若x1、x2、x3、…、x10的平均数为3，则3（x1﹣2）、3（x2﹣2）、3（x3﹣2）、…、3（x10﹣2）的平均数为（　　）‎ A．3 B．9 C．18 D．27‎ ‎14．设a、b都是不等于1的正数，则“a＞b＞1”是“loga3＜logb3”的（　　）条件．‎ A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 ‎15．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于a+，则的取值范围为（　　）‎ A．（0，1） B．（1，+∞） C．（0，） D．（，+∞）‎ ‎16．已知数列{an}、{bn}、{cn}，以下两个命题：‎ ‎①若{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是递增数列，则{an}、{bn}、{cn}都是递增数列；‎ ‎②若{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是等差数列，则{an}、{bn}、{cn}都是等差数列；‎ 下列判断正确的是（　　）‎ A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 ‎　‎ 三、解答题，解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎17．如图，三棱锥A﹣BCD中，△BCD为等边三角形，AC=AD，E为CD的中点；‎ ‎（1）求证：CD⊥平面ABE；‎ ‎（2）设AB=3，CD=2，若AE⊥BC，求三棱锥A﹣BCD的体积．‎ ‎18．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．‎ ‎（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；‎ ‎（2）求证：点B、O、C三点共线．‎ ‎19．已知a∈R，函数f（x）=x2+（2a+1）x，g（x）=ax．‎ ‎（1）解关于x的不等式：f（x）≤g（x）；‎ ‎（2）若不等式|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立，求a的取值范围．‎ ‎20．已知（x0，y0，z0）是关于x、y、z的方程组的解．‎ ‎（1）求证： =（a+b+c）•；‎ ‎（2）设z0=1，a、b、c分别为△ABC三边长，试判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）设a、b、c为不全相等的实数，试判断“a+b+c=0”是“x02+y02+z02＞0”的　　条件，并证明：①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非充要．‎ ‎21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Pn，且a1=b1=1．‎ ‎（1）设a3=b2，a4=b3，求数列{an+bn}的通项公式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，且an≠an+1，求满足Sn=Pm的所有正整数n、m；‎ ‎（3）若存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，试比较Sm与Pm的大小，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市十四校联考高考数学模拟试卷（3月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题.‎ ‎1．已知（x﹣）n的二项式系数之和为256，则n=　8　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】由题意可得：2n=256，解得n．‎ ‎【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则z2﹣2iz的值等于　2　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），则z2﹣2iz=（1+i）2﹣2i（1+i）=2i﹣2i+2=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．设向量、的夹角为θ（其中0＜θ≤π），||=1，||=2，若（2﹣）⊥（k+），则实数k的值为　2　．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】（2﹣）⊥（k+），（2﹣）•（k+）=0，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵（2﹣）⊥（k+），向量、的夹角为θ（其中0＜θ≤π），||=1，||=2，‎ ‎∴（2﹣）•（k+）=2k﹣+（2﹣k）=2k﹣4+2（2﹣k）cosθ=0，‎ ‎∴（k﹣2）（1﹣cosθ）=0对于θ∈（0，π]都成立．‎ ‎∴k=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．设函数f（x）=|lgx|，若f（a）=f（b），其中0＜a＜b，则a+b取值范围是　（2，+∞）　．‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，利用基本不等式可求a+b的取值范围．‎ ‎【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：‎ ‎∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），‎ ‎∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1，‎ ‎∴﹣lga=lgb，‎ ‎∴ab=1，‎ ‎∴a+b≥2=2，‎ ‎∵a≠b，‎ ‎∴a+b＞2，‎ 故答案为：（2，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，利数形结合的思想方法，考查基本不等式的运用，属基础题．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）=2x+2﹣3×4x，x∈（﹣∞，1）的值域为　（﹣4，]　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】配方化简函数的表达式，设2x=t，t∈（0，2），利用二次函数的性质，根据t的范围即可得出y的最大、最小值，从而得出原函数的值域．‎ ‎【解答】解：f（x）=2x+2﹣3×4x，=4×2x﹣3×（2x）2=﹣3（2x﹣）2+；‎ x∈（﹣∞，1）；‎ ‎∴2x∈（0，2），令2x=t，t∈（0，2），则y=﹣3（t﹣）2+；‎ ‎∴t=时，y取最大值，t=2时，y取最小值﹣4；因为t＜2，所以y＞﹣4‎ ‎∴﹣4＜y≤；‎ 故答案为：（﹣4，]．‎ ‎【点评】考查函数值域的概念及求法，配方法处理二次式子，换元求函数值域的方法，注意确定换元后引入新变量的范围，以及二次函数值域的求法．‎ ‎　‎ ‎6．已知方程+=1表示的曲线为C，任取a，b∈{1，2，3，4，5}，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】椭圆的焦距为：2，半焦距为：1，则a，b两个数的差值为1，然后利用古典概型求解即可．‎ ‎【解答】解：方程+=1表示的曲线为C，任取a，b∈{1，2，3，4，5}，曲线C表示焦距等于2的椭圆，可知半焦距为：1，则a，b两个数的差值为1，共有8种情况，‎ 表示曲线的情况共有5×5=25种．‎ 则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，古典概型的概率的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．若实数x、y满足，则x﹣2y的取值范围是　[﹣7，13]　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，求出最优解，可得x﹣2y的取值范围．‎ ‎【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域：‎ 得到如图的△ABC及其内部，其中A（，0），B（3，5），C（3，﹣5）‎ 设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，‎ 当l经过点B时，目标函数z达到最大值，得z最大值=F（3，﹣5）=13；‎ 当l经过点A时，目标函数z达到最小值，得z最小值=F（3，5）=﹣7‎ 因此，x+2y的取值范围是[﹣7，13]．‎ 故答案为：[﹣7，13]．‎ ‎【点评】‎ 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x﹣2y的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线上任意一点P分别作斜率为﹣和的两条直线l1和l2，设直线l1与x轴、y轴所围成的三角形的面积为S，直线l2与x轴、y轴所围成的三角形的面积为T，则S•T的值为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】不妨设点P在第一象限，设点P（x0，y0），得到直线l1的方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），直线l2的方程为y﹣y0=（x﹣x0），再分别求出A，B，C，D的坐标，表示出S，T，计算ST即可．‎ ‎【解答】解：不妨设点P在第一象限，设点P（x0，y0）‎ ‎∴直线l1的方程为 y﹣y0=﹣（x﹣x0），‎ 直线l2的方程为 y﹣y0=（x﹣x0），‎ ‎∴A（0，y0+x0），‎ B（x0+x0，0），‎ D（0，y0﹣x0），‎ C（x0﹣y0，0），‎ ‎∴S=（y0+x0）（x0+x0），T=﹣（y0﹣x0）（x0﹣y0），‎ ‎∴ST=﹣（y02﹣x02）（x02﹣y02）=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足a=4，A=30°的三角形的个数恰好为一个，则b的取值范围是　（0，4]∪{8}　．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】利用正弦定理得出b=8sinB，根据B+C的度数和三角形只有一解，可得B只有一个值，根据正弦函数的性质得到B的范围，从而得出b的范围．‎ ‎【解答】解：∵A=30°，a=4，‎ 根据正弦定理得：，‎ ‎∴b=8sinB，‎ 又B+C=180°﹣30°=150°，且三角形只一解，可得B有一个值，‎ ‎∴0＜B≤30°，或B=90°．‎ ‎∴0＜sinB≤，或sinB=1，‎ 又b=8sinB，‎ ‎∴b的取值范围为（0，4]∪{8}．‎ 故答案为：（0，4]∪{8}．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理，正弦函数的性质，特殊角的三角函数值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．设i、j、n∈N*，i≠j，集合Mn={（i，j）|4•3n＜3i+3j＜4•3n+1}，则集合Mn中元素的个数为　2n　个．‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】对j或者i讨论，不妨设i=j=t，可得4•3n＜2•3t＜4•3n+1，两边取对数，ln2+nln3＜tln3＜ln2+（n+1）ln3，‎ 求解t即可得到集合Mn中元素的个数 ‎【解答】解：由题意，不妨设i=j=t，可得4•3n＜2•3t＜4•3n+1，即2•3n＜3t＜2•3n+1，‎ 两边取对数，ln2+nln3＜tln3＜ln2+（n+1）ln3，‎ 可得：t≤n+1．‎ 那么：i+j=2（n+1）=2n+2个．‎ ‎∵i≠j，‎ ‎∴集合Mn中元素的个数为2n个．‎ 故答案为2n．‎ ‎【点评】本题主要考查集合的证明和运算，转化的思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．设正实数集合A={a1，a2，a3，…，an}，集合S={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}，则集合S中元素最多有　　个．‎ ‎【考点】集合中元素个数的最值．‎ ‎【分析】假设a1，a2，a3，…，an按大小顺序排列，当a1，a2，…，an为等差数列，且首项为公差，集合S中的元素最多，n个数字中任取2个，之差也一定属于a1，a2，…，an，由此能求出集合S中的元素最多的个数．‎ ‎【解答】解：正实数集合A={a1，a2，a3，…，an}，集合S={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}，‎ 不妨假设a1，a2，a3，…，an按大小顺序排列，‎ 当a1，a2，…，an为等差数列，且首项为公差，集合S中的元素最多，‎ n个数字中任取2个，之差也一定属于a1，a2，…，an，‎ 集合S中的元素最多为： =．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查集合中最多的元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列性质、排列组合知识的合理运用．‎ ‎　‎ ‎12．对于正整数n，设xn是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记an=[（n+1）xn]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）=　2017　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】根据条件构造f（x）=nx3+2x﹣n，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设f（x）=nx3+2x﹣n，则f′（x）=3nx2+2，‎ 当n是正整数时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，‎ ‎∵当n≥2时，f（）=n×（）3+2×（）﹣n=•（﹣n2+n+1）＜0，‎ 且f（1）=2＞0，‎ ‎∴当n≥2时，方程nx3+2x﹣n=0有唯一的实数根xn且xn∈（，1），‎ ‎∴n＜（n+1）xn＜n+1，an=[（n+1）xn]=n，‎ 因此（a2+a3+a4+…+a2015）=（2+3+4+…+2015）==2017，‎ 故答案为：2017．‎ ‎【点评】本题考查递推数列的应用以及函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ 二、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎13．若x1、x2、x3、…、x10的平均数为3，则3（x1﹣2）、3（x2﹣2）、3（x3﹣2）、…、3（x10﹣2）的平均数为（　　）‎ A．3 B．9 C．18 D．27‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据题意，由x1、x2、x3、…、x10的平均数为3，由平均数公式分析可得x1+x2+x3+…+x10=30，对于数据3（x1﹣2）、3（x2﹣2）、3（x3﹣2）、…、3（x10﹣2），由平均数公式可得= [3（x1﹣2）+3（x2﹣2）+…+3（x10﹣2）]，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，x1、x2、x3、…、x10的平均数为3，‎ 则有（x1+x2+x3+…+x10）=3，即x1+x2+x3+…+x10=30，‎ 对于数据3（x1﹣2）、3（x2﹣2）、3（x3﹣2）、…、3（x10﹣2），‎ 其平均数= [3（x1﹣2）+3（x2﹣2）+…+3（x10﹣2）]=×[3（x1+x2+x3+…+x10）﹣60]=3；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查数据平均数的计算，关键是牢记平均数计算的公式．‎ ‎　‎ ‎14．设a、b都是不等于1的正数，则“a＞b＞1”是“loga3＜logb3”的（　　）条件．‎ A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：a、b都是不等于1的正数，‎ ‎∵loga3＜logb3，‎ ‎∴＜，即＜0，‎ ‎∴或，‎ 求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1‎ 根据充分必要条件定义得出：‎ ‎“a＞b＞1”是“loga3＜logb3”的充分条不必要件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．‎ ‎　‎ ‎15．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于a+，则的取值范围为（　　）‎ A．（0，1） B．（1，+∞） C．（0，） D．（，+∞）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，‎ 设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，‎ ‎∴c﹣x=，‎ ‎∵D到直线BC的距离小于a+，‎ ‎∴c﹣x=||＜a+，‎ ‎∴＜c2﹣a2=b2，‎ ‎∴0＜＜1，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}、{bn}、{cn}，以下两个命题：‎ ‎①若{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是递增数列，则{an}、{bn}、{cn}都是递增数列；‎ ‎②若{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是等差数列，则{an}、{bn}、{cn}都是等差数列；‎ 下列判断正确的是（　　）‎ A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】对于①不妨设an=2n，bn=3n、cn=sinn，满足{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是递增数列，但是不满足cn=sinn是递增数列，‎ 对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．‎ ‎【解答】解：对于①不妨设an=2n，bn=3n、cn=sinn，‎ ‎∴{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是递增数列，但cn=sinn不是递增数列，故为假命题，‎ 对于②{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，‎ ‎∴an+bn﹣an﹣1﹣bn﹣1=a，bn+cn﹣bn﹣1﹣cn﹣1=b，an+cn﹣an﹣1﹣cn﹣1=c，‎ 设{an}，{bn}、{cn}的公差为x，y，x，‎ ‎∴‎ 则x=，y=，z=，‎ 故若{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是等差数列，则{an}、{bn}、{cn}都是等差数列，故为真命题，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题，解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎17．（2017•上海模拟）如图，三棱锥A﹣BCD中，△‎ BCD为等边三角形，AC=AD，E为CD的中点；‎ ‎（1）求证：CD⊥平面ABE；‎ ‎（2）设AB=3，CD=2，若AE⊥BC，求三棱锥A﹣BCD的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出BE⊥CD，AE⊥CD，由此能证明CD⊥平面ABE．‎ ‎（2）推导出AE⊥平面BCD，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．‎ ‎【解答】证明：（1）∵三棱锥A﹣BCD中，△BCD为等边三角形，‎ AC=AD，E为CD的中点，‎ ‎∴BE⊥CD，AE⊥CD，‎ 又AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE．‎ 解：（2）由（1）知AE⊥CD，‎ 又AE⊥BC，BC∩CD=C，‎ ‎∴AE⊥平面BCD，‎ ‎∵AB=3，CD=2，‎ ‎∴三棱锥A﹣BCD的体积：‎ ‎==．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎18．（2017•上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．‎ ‎（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；‎ ‎（2）求证：点B、O、C三点共线．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）先设A（x1，y1）、B（x2，y2）、中点M（x0，y0），利用斜率公式得出kFN=﹣y0，再分类讨论：当x1=x2时，显然FN⊥AB；当x1≠x2时，证出kFN•kAB=﹣1．从而知FN⊥AB成立，即可得出结论．‎ ‎（2）将焦点弦AB的直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线斜率的关系即可证得B、O、C三点共线，从而解决问题．‎ ‎【解答】（1）解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、中点M（x0，y0），焦点F的坐标是（1，0）．‎ kFN=﹣y0，当x1=x2时，显然FN⊥AB；‎ 当x1≠x2时，kAB==，‎ ‎∴kFN•kAB=﹣1．‎ ‎∴FN⊥AB．综上所述知FN⊥AB成立，‎ 即直线FN与直线AB的夹角θ的大小为90°；‎ ‎（2）证明：由y=k（x﹣1）与抛物线方程联立，可得ky2﹣4y﹣4k=0，∴y1y2=﹣4，‎ ‎∴A在准线上的射影为C，‎ ‎∴C（﹣1，y1），∴kOC=﹣y1，‎ ‎∵kOB==，y1y2=﹣4，‎ ‎∴kOB=kOC，∴点B、O、C三点共线．‎ ‎【点评】本题给出抛物线过焦点的弦在准线上的射影，求证三点共线及线线角，着重考查了用解析几何理解抛物线的定义的知识点，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（2017•上海模拟）已知a∈R，函数f（x）=x2+（2a+1）x，g（x）=ax．‎ ‎（1）解关于x的不等式：f（x）≤g（x）；‎ ‎（2）若不等式|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由f（x）≤g（x），得x2+（2a+1）x≤ax，即x2+（a+1）x≤0．然后分a＜﹣1，a=﹣1，a＞﹣1三类求解不等式的解集；‎ ‎（2）|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立⇔|x2+（2a+1）x|≥ax对任意实数x恒成立，当a=0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax对任意x∈R都成立；当a＞0时，分x∈（﹣∞，0]与x∈（0，+∞）分类分析；当﹣＜a＜0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax显然不成立；当a时，要使不等式|x2+（2a+1）x|≥ax恒成立，则t（x）=x2+2（a+1）x﹣ax＞0在x∈（﹣∞，0）上恒成立．然后利用导数求解满足条件的a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）≤g（x），得x2+（2a+1）x≤ax，即x2+（a+1）x≤0．‎ 当a＜﹣1时，解得0≤x≤﹣a﹣1．当a=﹣1时，解得x=0．当a＞﹣1时，解得﹣a﹣1≤x≤0．‎ ‎∴当a＜﹣1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为[0，﹣a﹣1]；‎ 当a=﹣1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为{0}；‎ 当a＞﹣1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为[﹣a﹣1，0]．‎ ‎（2）|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立⇔|x2+（2a+1）x|≥ax对任意实数x恒成立，‎ 当a=0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax对任意x∈R都成立；‎ 当a＞0时，当x∈（﹣∞，0]时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立，‎ 当x∈（0，+∞）时，令h（x）=x2+（2a+1）x﹣ax=x2+ax+x，h′（x）=2x+a+1＞0，‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，则h（x）＞h（0）=0，∴不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立，‎ ‎∴当a＞0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立；‎ 当﹣＜a＜0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax显然不成立；‎ 当a时，要使不等式|x2+（2a+1）x|≥ax恒成立，则t（x）=x2+2（a+1）x﹣ax＞0在x∈（﹣∞，0）上恒成立．‎ ‎∵t′（x）=2x+a+1，由2x+a+1=0，解得x=﹣，若﹣1＜a，‎ 则当x∈（﹣∞，﹣）时，t′（x）＜0，当x∈（﹣，+∞）时，t′（x）＞0，‎ ‎∴x∈（﹣∞，0）时， ==，不合题意；‎ 若a≤﹣1，则x∈（﹣∞，0）时，t′（x）≤0，t（x）为减函数，则t（x）＞t（0）=0．‎ 综上，不等式|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立时a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查函数恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，属中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（2017•上海模拟）已知（x0，y0，z0）是关于x、y、z的方程组的解．‎ ‎（1）求证： =（a+b+c）•；‎ ‎（2）设z0=1，a、b、c分别为△ABC三边长，试判断△‎ ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）设a、b、c为不全相等的实数，试判断“a+b+c=0”是“x02+y02+z02＞0”的　④　条件，并证明：①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非充要．‎ ‎【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．‎ ‎【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；‎ ‎（2）由方程组有非零解得出=0，即=0，将行列式展开化简即可得出a=b=c；‎ ‎（3）利用（1），（2）的结论即可答案．‎ ‎【解答】解：（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，‎ 得： ==（a+b+c）•．‎ ‎（2）∵z0=1，∴方程组有非零解，‎ ‎∴=0，由（1）可知（a+b+c）•=0．‎ ‎∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0，‎ ‎∴=0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，‎ ‎∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，‎ ‎∴a=b=c，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎（3）若a+b+c=0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02=0，‎ ‎∴a+b+c=0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；‎ 若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，‎ ‎∴=（a+b+c）•=0．‎ ‎∴a+b+c=0或=0．‎ 由（2）可知a+b+c=0或a=b=c．‎ ‎∴a+b+c=0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．‎ 故答案为④．‎ ‎【点评】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（2017•上海模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Pn，且a1=b1=1．‎ ‎（1）设a3=b2，a4=b3，求数列{an+bn}的通项公式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，且an≠an+1，求满足Sn=Pm的所有正整数n、m；‎ ‎（3）若存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，试比较Sm与Pm的大小，并说明理由．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据a3=b2，a4=b3，a1=b1=1建立关系求解an，bn的通项公式，可得数列{an+bn}的通项公式；‎ ‎（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式建立关系，利用函数的极值思想，求解n、m的关系，可得答案．‎ ‎（3）存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，可得1+（m﹣1）d=qm﹣1＞0．利用作差法证明，需对q=1或q＞1进行讨论求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ ‎∵a1=b1=1．‎ a3=b2，a4=b3，∴1+2d=q，1+3d=q2，‎ 联立解得d=0，q=1；d=，q=．‎ ‎∴d=0，q=1时，an=1，bn=1，an+bn=2．‎ d=，q=时，an=1﹣（n﹣1），bn=，an+bn=+．‎ ‎（2）在（1）的条件下，且an≠an+1，∴d≠0，d=﹣，q=，‎ Sn=n+，Pm==2﹣．‎ n+=2﹣＜2，‎ 解得：n＞或n．‎ 满足Sn=Pm的所有正整数n、m为：，，，，‎ ‎（3）存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，‎ ‎1+（m﹣1）d=qm﹣1＞0．‎ ‎1，1+d，1+2d，…，1+（m﹣1）d．‎ ‎1，q，q2，…，qm﹣1．‎ 下面证明：1+（m﹣2）d≥qm﹣2．‎ ‎①m=3时，若a3=b3，则1+2d=q2，‎ 作差1+d﹣q=1+﹣q=≥0，因此S3≥P3．‎ ‎②假设m＞3，作差：1+（m﹣2）d﹣qm﹣2‎ ‎=1+（m﹣2）﹣qm﹣2‎ ‎=qm﹣1﹣qm﹣2﹣‎ ‎①若q=1，则（m﹣1）d=0，可得d=0．Sm=m+d=m，Pm=m，此时Sm=Pm．‎ ‎②若q≠1，则q＞0．Sm=，‎ m+d，Pm===．‎ 此时Sm﹣Pm＞0．‎ ‎∴存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，Sm≥Pm．‎ ‎【点评】本题主要考查了等差数列，等比数列，前n项和以及讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎