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- 2021-05-13 发布
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第1讲 五种策略搞定所有选择题
[题型解读] 选择题是高考试题的三大题型之一,该题型的基本特点:绝大部分选择题属于低中档题,且一般按由易到难的顺序排列,主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用,选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点,且每一道题几乎都有两种或两种以上的解法.正是因为选择题具有上述特点,所以该题型能有效地检测学生的思维层次及考查学生的观察、分析、判断、推理、基本运算、信息迁移等能力.选择题也在尝试创新,在“形成适当梯度”“用学过的知识解决没有见过的问题”“活用方法和应变能力”“知识的交汇”等四个维度上不断出现新颖题,这些新颖题成为高考试卷中一道靓丽的风景线.
方法一 直接法
直接从题设条件出发,利用定义、定理、性质、公式等知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果,即“小题大做”,选择正确答案,这种解法叫直接法.直接法是解答选择题最基本的方法,绝大多数选择题都适宜用直接法解决.它的一般步骤是:计算推理、分析比较、对照选择.直接法又分定性分析法、定量分析法和定性、定量综合分析法.
例1 若△ABC的内角A,B,C所对边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( )
A. B.8-4
C.1 D.
答案 A
解析 由(a+b)2-c2=4,得a2+b2+2ab-c2=4,
由C=60°,得cosC===.
解得ab=.
拓展训练1 已知=1-ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m+ni等于( )
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
答案 C
解析 由=1-ni,得m=(1+i)(1-ni)=(1+n)+(1-n)i,
根据复数相等的条件得∴
∴m+ni=2+i,故选C.
方法二 特例法
特例检验(也称特例法或特殊值法),是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,再对各个选项进行检验,从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
例2 已知函数f(x)=若a,b,c均不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )
A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)
答案 C
解析 方法一 不妨设0b>1,c<0,给出下列三个结论:
①>;②acloga(b-c).
其中所有正确结论的序号是( )
A.①B.①②C.②③D.①②③
答案 D
解析 ∵a>b>1,∴<.
又c<0,∴>,
故结论①正确;
函数y=xc(c<0)为减函数,又a>b,∴aclogb(b-c)>loga(b-c),故③正确.
∴正确结论的序号是①②③.
拓展训练3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是( )
A.01 D.02,g(-2)=(-2)3+t=-8+t<-2,解得t∈(-6,6),故选B.
方法五 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选项,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法的关键是确定结果所在的大致范围,否则“估算”就没有意义,估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.
例5 若D为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过D中的那部分区域的面积为( )
A.B.1C.D.2
答案 C
解析 如图知所求区域的面积是△OAB的面积减去Rt△CDB的面积,所求的面积比1大,比
S△OAB=×2×2=2小,故选C.
拓展训练5 (2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( )
A.1B.C.D.
答案 C
解析 由俯视图知正方体的底面水平放置,其正视图为矩形,以正方体的高为一边长,另一边长最小为1,最大为,面积范围应为[1,],不可能等于.
1.已知函数f(x)对任意的实数x,满足f(x)=f(π-x),且当x∈(-,)时,f(x)=x+sinx,则( )
A.f(1)0,
所以函数f(x)在(-,)上单调递增,
在(,)上单调递减.
因为|3-|>|1-|>|2-|,
所以f(3)b>0)的右焦点为F1,左焦点为F2,若椭圆上存在一点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 如图所示,设线段PF1与圆切于点M,
则|OM|=b,|OF1|=c,
故|MF1|=,
所以|PF1|=2|MF1|
=2.
又O为F1F2的中点,M为PF1的中点,
所以|PF2|=2|OM|=2b.
由椭圆的定义,得2+2b=2a,
即=a-b.
即=a-,
也就是=1-,
两边平方,整理得3e2-3=-2.
再次平方,整理得9e4-14e2+5=0,
解得e2=或e2=1(舍去),
故e=.故选A.
7.已知sinθ=,cosθ=(<θ<π),则tan等于( )
A. B.
C. D.5
答案 D
解析 利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值,再根据半角公式求tan,但运算较复杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,m为一个确定的值,进而推知tan也为一个确定的值,又<θ<π,因而<<,故tan>1.
8.(2013·课标全国Ⅰ)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则( )
A.{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列
D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
答案 B
解析 因为b1>c1,不妨设b1=,c1=;
故S1==a;
a2=a1,b2==a1,c2==a1,
S2==a.
显然S2>S1;a3=a1,b3==a1,
c3==a1,
S3==a,显然S3>S2.
所以,可知{Sn}为递增数列.
9.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)等于( )
A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1
答案 D
解析 依题意,f(x)向右平移一个单位长度之后得到的函数是y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移一个单位的结果,所以f(x)=e-x-1.
10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p等于( )
A.1B.C.2D.3
答案 C
解析 由=2(c为半焦距),则=,
即双曲线两条渐近线的倾斜角分别为60°和120°,
所以△AOB面积为,
所以=,所以p=2为所求.
11.(2014·浙江)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且09
答案 C
解析 由题意得
化简得解得
所以f(-1)=c-6,
所以0