高考理科数学复习圆锥曲线题型总结1 12页

直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型（1）‎ 运用的知识：‎ ‎1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。‎ ‎2、弦长公式：若点在直线上，‎ 则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，‎ 或者 ‎。‎ ‎3、两条直线垂直：则 两条直线垂直，则直线所在的向量 ‎4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。‎ 常见的一些题型：‎ 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围 解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。‎ 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。‎ 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。‎ 设直线，，，。 由消y整理，得 ①‎ ‎ 由直线和抛物线交于两点，得 即 ② 由韦达定理，得：。 则线段AB的中点为。 线段的垂直平分线方程为： 令y=0,得，则 为正三角形， 到直线AB的距离d为。 解得满足②式此时。‎ 题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。 从而椭圆的方程为 （II）设，，直线的斜率为,则直线 的方程为，由消y整理得 是方程的两个根， 则，， 即点M的坐标为， 同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ， 直线MN的方程为：， 令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得： 又，椭圆的焦点为 ，即故当时，MN过椭圆的焦点。 ‎ 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。 (I)求点C的坐标及椭圆E的方程； (II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。 ‎ 解：(I) ，且BC过椭圆的中心O ‎ ‎ 又 点C的坐标为。A是椭圆的右顶点， ，则椭圆方程为： 将点C代入方程，得， 椭圆E的方程为 (II) 直线PC与直线QC关于直线对称， 设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为： ，即， 由消y，整理得： 是方程的一个根， 即 同理可得： ＝ ＝ ＝ 则直线PQ的斜率为定值。‎ 题型六：面积问题 例题6、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意 ‎，所求椭圆方程为。‎ ‎（Ⅱ）设，。‎ ‎（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为。‎ 由已知，得。‎ 把代入椭圆方程，整理得，‎ ‎，。‎ ‎。‎ 当且仅当，即时等号成立。当时，，‎ 综上所述。‎ 当最大时，面积取最大值。‎ 题型七：弦或弦长为定值问题 例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。‎ ‎（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.‎ 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.‎ 于是 ‎＝‎ ‎＝‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则 ‎＝.‎ ‎=‎ ‎＝‎ ‎=‎ 令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线.‎ 解法2：‎ ‎（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ‎＝‎ 又由点到直线的距离公式得.‎ 从而，‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为 将直线方程y=a代入得 设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有 令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.‎ 即抛物线的通径所在的直线。‎ 问题九：四点共线问题 例题9、设椭圆过点，且着焦点为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 解 (1)由题意：‎ ‎ ，解得，所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)方法一 ‎ 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ‎ ‎ ， ‎ 从而 ‎ ‎ ，（1） ，（2）‎ 又点A、B在椭圆C上，即 ‎ ‎ ‎ （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零。‎ 且 ‎ 又 四点共线，可设,于是 ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 ‎ （3）‎ ‎ (4)‎ ‎(4)－(3) 　　　得 ‎ 即点总在定直线上 问题十：范围问题（本质是函数问题）‎ 设、分别是椭圆的左、右焦点。‎ ‎（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 ‎（以下同解法一）‎ ‎（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，‎ 联立，消去，整理得：‎ ‎∴‎ 由得：或 又 ‎∴‎ 又 ‎∵，即 ∴‎ 故由①、②得或 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）‎ 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则△=,即 ‎,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎, ‎ ‎①当时 因为所以,‎ 所以,‎ 所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ② 当时,.‎ ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,‎ 综上, |AB |的取值范围为即: ‎