高考数学试题分类汇编8——概率 16页

八、概率 一、选择题 ‎1.（浙江理9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 ‎ A． B． C． D ‎【答案】B ‎2.（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：‎ ‎[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 ‎ ‎[27．5，31．5） ‎1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 ‎ 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】从到共有22，所以。‎ ‎3.（陕西理10）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎4.（全国新课标理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎5.（辽宁理5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎6.（湖北理5）已知随机变量服从正态分布，且Ｐ（＜4）＝，则Ｐ（0＜＜2）＝‎ ‎ Ａ．0．6 B．0．‎4 ‎ C．0．3 D．0．2‎ ‎【答案】C ‎7.（湖北理7）如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为 ‎ A．0．960 B．0．‎864 ‎ C．0．720 D．0．576‎ ‎【答案】B ‎8.（广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ‎ A．　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　 D．‎ ‎【答案】D ‎9.（福建理4）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎10.（湖北理12）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。（结果用最简分数表示）‎ ‎【答案】‎ ‎11.（福建理13）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。‎ 若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。‎ ‎【答案】‎ ‎12.（浙江理15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概率为 ‎，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若 ‎，则随机变量X的数学期望 ‎ ‎【答案】‎ ‎13.（湖南理15）如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事 件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则 ‎（1）P（A）= _____________; （2）P（B|A）= ． ‎ ‎【答案】（1）‎ ‎14.（上海理9）马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表 请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 ‎ 。‎ ‎【答案】2‎ ‎15.（重庆理13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________‎ ‎【答案】‎ ‎16.（上海理12）随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）。‎ ‎【答案】‎ ‎17.（江西理12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎18.（江苏5）5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎19.（湖南理18）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。‎ ‎（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；‎ ‎（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。‎ 解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”）‎ ‎（Ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3.‎ ‎ （“当天商品销售量为1件”）‎ ‎ （“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”）‎ ‎ 故的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎ 的数学期望为 ‎20.（安徽理20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.‎ ‎（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？‎ ‎（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；‎ ‎（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。‎ 解：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.‎ ‎ 解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是 ‎，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，‎ 并等于 ‎ ‎ ‎ （II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为 ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 ‎ ‎ ‎ （III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，‎ ‎ ‎ ‎ 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.‎ ‎ 下面证明：对于的任意排列，都有 ‎ ……………………（*）‎ ‎ 事实上，‎ ‎ ‎ ‎ 即（*）成立.‎ ‎（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.‎ ‎（ii）也可将（II）中所求的EX改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.‎ ‎ 序综合（i）（ii）可知，当时，EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.‎ ‎21.（北京理17）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。‎ ‎ （Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；‎ ‎ （Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y的分布列和数学期望。‎ ‎ （注：方差，其中为，，…… 的平均数）‎ 解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为 方差为 ‎（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=‎ 同理可得 所以随机变量Y的分布列为：‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×‎ ‎=19‎ ‎22.（福建理19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 ‎（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．4‎ a b ‎0．1‎ 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；‎ ‎（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎ 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎ 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．‎ ‎ （III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．‎ 注：（1）产品的“性价比”=；‎ ‎ （2）“性价比”大的产品更具可购买性．‎ 解：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。‎ 解：（I）因为 又由X1的概率分布列得 由 ‎（II）由已知得，样本的频率分布表如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 所以 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.‎ ‎（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：‎ 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。‎ ‎23.（广东理17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。‎ 解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。‎ ‎ （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品 ‎ 故乙厂生产有大约（件）优等品，‎ ‎ （3）的取值为0，1，2。‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ 故 ‎24.（辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．‎ ‎（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 品种甲 ‎403‎ ‎397‎ ‎390‎ ‎404‎ ‎388‎ ‎400‎ ‎412‎ ‎406‎ 品种乙 ‎419‎ ‎403‎ ‎412‎ ‎418‎ ‎408‎ ‎423‎ ‎400‎ ‎413‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．‎ 解：‎ ‎ （I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且 即X的分布列为 ‎ ………………4分 X的数学期望为 ‎ ………………6分 ‎ （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.‎ ‎25.（全国大纲理18）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 ‎（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；‎ ‎（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 ‎ 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；‎ ‎ B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；‎ ‎ C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；‎ ‎ D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；‎ ‎ （I） …………3分 ‎ …………6分 ‎ （II）‎ ‎，即X服从二项分布， …………10分 所以期望 …………12分 ‎26.（全国新课标理19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：‎ A配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ B配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎10‎ ‎（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）．求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．‎ 解 ‎（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．‎ 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42‎ ‎（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，，054，0.42，因此 P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42，‎ 即X的分布列为 ‎－2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎0.04‎ ‎0.54‎ ‎0.42‎ X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68‎ ‎27.（山东理18）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。‎ ‎（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.‎ 解：（I）设甲胜A的事件为D，‎ 乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，‎ 则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。‎ 因为 由对立事件的概率公式知 红队至少两人获胜的事件有：‎ 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，‎ 因此红队至少两人获胜的概率为 ‎ （II）由题意知可能的取值为0，1，2，3。‎ 又由（I）知是两两互斥事件，‎ 且各盘比赛的结果相互独立，‎ 因此 由对立事件的概率公式得 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0．1‎ ‎0．35‎ ‎0．4‎ ‎0．15‎ 因此 ‎28.（陕西理20）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：‎ 时间（分钟）‎ ‎10~20‎ ‎20~30‎ ‎30~40‎ ‎40~50‎ ‎50~60‎ L1的频率 ‎0．1‎ ‎0．2‎ ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ L2的频率 ‎0‎ ‎0．1‎ ‎0．4‎ ‎0．4‎ ‎0．1‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。‎ ‎（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？‎ ‎（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。‎ 解（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得 P（A1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P（A2）=0．1+0．4=0．5，‎ P（A1） ＞P（A2）, 甲应选择Li P（B1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9，‎ ‎ P（B2） ＞P（B1）, 乙应选择L2．‎ ‎（Ⅱ）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知,又由题意知，A,B独立，‎ ‎ 的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0．04‎ ‎0．42‎ ‎0．54‎ ‎29.（四川理18）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；‎ 解：（1）所付费用相同即为元。设付0元为，付2元为，付4元为 则所付费用相同的概率为 ‎（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为 分布列 ‎30.（天津理16）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（Ⅰ）求在1次游戏中，‎ ‎ （i）摸出3个白球的概率；‎ ‎ （ii）获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望. ‎ 解：本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.‎ ‎ （I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 ‎ ‎ ‎ （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又 ‎ ‎ ‎ 且A2，A3互斥，所以 ‎ （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.‎ ‎ ‎ ‎ 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ X的数学期望 ‎31.（重庆理17）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：‎ ‎ （Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；‎ ‎ （Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望 解：这是等可能性事件的概率计算问题.‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则 从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又 综上知，ξ有分布列 ξ ‎ 1 2 3‎ P ‎ ‎ 从而有