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- 2021-05-13 发布
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2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.
考生注意事项:
1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致.
2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3. 答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.
4. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
其中表示球的半径
如果事件相互独立,那么
球的体积公式
如果随机变量 其中表示球的半径
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1).复数 ( )
A.2 B.-2 C. D.
(2).集合,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
(3).在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,,则( )
A. (-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)
(4).已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
(5).将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称,则向量的坐标可能为( )
A. B. C. D.
(6).设则中奇数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(7).是方程至少有一个负数根的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(8).若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
(9).在同一平面直角坐标系中,函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称,若,则的值是( )
A. B. C. D.
(10).设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有( )
A.
B.
C.
D.
(11).若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足,则有( )
A. B.
C. D.
(12)12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( )
A. B. C. D.
2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
(13).函数的定义域为 .
(14)在数列在中,,,,其中为常数,则的值是
(15)若为不等式组表示的平面区域,则当从-2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分区域的面积为
(16)已知在同一个球面上,若
,则两点间的球面距离是
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17).(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
(Ⅱ)求函数在区间上的值域
(18).(本小题满分12分
如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,, , ,为的中点,为的中点
(Ⅰ)证明:直线;
(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。
(19).(本小题满分12分)
为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活沙柳的株数,数学期望,标准差为。
(Ⅰ)求n,p的值并写出的分布列;
(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率
(20).(本小题满分12分)
设函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)已知对任意成立,求实数的取值范围。
(21).(本小题满分13分)
设数列满足为实数
(Ⅰ)证明:对任意成立的充分必要条件是;
(Ⅱ)设,证明:;
(Ⅲ)设,证明:
(22).(本小题满分13分)
设椭圆过点,且着焦点为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上
2008年高考安徽理科数学试题参考答案
一. 选择题
1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12C
(1).
【解析】.
(2).
【解析】.
(3).
【解析】.
(4).
【解析】若,则可相交,平行、异面均可,错;若,则可平行,也可相交,错误;若,的位置关系决定的关系,也错误;若,则(线面垂直的性质定理),故选.
(5) .
【解析】设,则平移后所得的函数为 ,图象关于点 对称,从而有,解得(其中),故选.
(6).
【解析】,奇遇都是偶数,选.
(7).
【解析】这一题是课本习题改编题,当 ,显然有,则有一负数根,具备充分性;反之若方程有一负数根,或 或,得到,不具备必要性,因此选.
(8).
【解析】点 在圆外,因此斜率必存在.设经过该点的直线方程为,所以有,解得 .从而选.
(9) .
【解析】,在函数 的图象上,从而点在的图象上,因此点 在 的图象上,故有,即,因而选.
(10).
【解析】正态分布函数图象关于直线对称,而,其大小表示变量集中程度,值越大,数据分布越广,图象越胖;值越小,量越集中,图象越瘦,因此选.
(11).
【解析】,在上为增函数,有;,,此选.
(12).
【解析】在后排选出2个人有种选法,分别插入到前排中去,有种方法,由乘法原理知共有种调整方案,选.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置。
13: 14: 1 15: 16:
(13).
【解析】由,解得:,值域为.
(14)1.
【解析】,,从而
(15).
【解析】作出可行域,如右图,则直线扫过的面积为
-2
2
A
O
B
C
即可.
B
D
A
C
O
(16).
【解析】、、
都是直角三角形,因此球心为的中点,
,又
则两点间的球间距离是.
一. 解答题
17解:(1)
由
函数图象的对称轴方程为
(2)
因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以 当时,去最大值 1
又 ,当时,取最小值
所以 函数 在区间上的值域为
18 方法一(综合法)
(1)取OB中点E,连接ME,NE
又
(2)
为异面直线与所成的角(或其补角)
作连接
,
所以 与所成角的大小为
(3)点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作
于点Q,
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
,
,所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
19 (1)由得,从而
的分布列为
0
1
2
3
4
5
6
(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得
或
20 解 (1) 若 则 列表如下
+
0
-
-
单调增
极大值
单调减
单调减
(2) 在 两边取对数, 得 ,由于所以
(1)
由(1)的结果可知,当时, ,
为使(1)式对所有成立,当且仅当,即
21解 (1) 必要性 : ,
又 ,即
充分性 :设 ,对用数学归纳法证明
当时,.假设
则,且
,由数学归纳法知对所有成立
(2) 设 ,当时,,结论成立
当 时,
,由(1)知,所以 且
(3) 设 ,当时,,结论成立
当时,由(2)知
22解 (1)由题意:
,解得,所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零,记,则且
又A,P,B,Q四点共线,从而
于是 ,
,
从而
,(1) ,(2)
又点A、B在椭圆C上,即
(1)+(2)×2并结合(3),(4)得
即点总在定直线上
方法二
设点,由题设,均不为零。
且
又 四点共线,可设,于是
(1)
(2)
由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程整理得
(3)
(4)
(4)-(3) 得
即点总在定直线上
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