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- 2021-05-13 发布
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高考数学必胜秘诀在哪?
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
八、圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义:
(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A. B. C. D.(答:C);(2)方程表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)
(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:2)
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。如(1)已知方程表示椭圆,则的取值范围为____(答:);(2)若,且,则的最大值是____,的最小值是___(答:)
(2)双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上:=1()。方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:);(2)设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线C过点,则C的方程为_______(答:)
(3)抛物线:开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:)
(2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。
4.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(以()为例):①范围:;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:两条准线; ⑤离心率:,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。如(1)若椭圆的离心率,则的值是__(答:3或);(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:)
(2)双曲线(以()为例):①范围:或;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;④准线:两条准线; ⑤离心率:,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线:。如(1)双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于______(答:或);(2)双曲线的离心率为,则= (答:4或);(3)设双曲线(a>0,b>0)中,离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________(答:);
(3)抛物线(以为例):①范围:;②焦点:一个焦点,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线; ⑤离心率:,抛物线。如设,则抛物线的焦点坐标为________(答:);
5、点和椭圆()的关系:(1)点在椭圆外;(2)点在椭圆上=1;(3)点在椭圆内
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:(-,-1));(2)直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞));(3)过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3);
(2)相切:直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;
(3)相离:直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。
特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P
点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。如(1)过点作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);(2)过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答:);(3)过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若4,则满足条件的直线有____条(答:3);(4)对于抛物线C:,我们称满足的点在抛物线的内部,若点在抛物线的内部,则直线:与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);(5)过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、,则_______(答:1);(6)设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,则和的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);(7)求椭圆上的点到直线的最短距离(答:);(8)直线与双曲线交于、两点。①当为何值时,、分别在双曲线的两支上?②当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:①;②);
7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离。如(1)已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:);(2)已知抛物线方程为,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;(3)若该抛物线上的点到焦点的距离是4,则点的坐标为_____(答:);(4)点P在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______(答:);(5)抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为______(答:2);(6)椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则点M的坐标为_______(答:);
8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,则在椭圆中, ①=,且当即为短轴端点时,最大为=;②,当即为短轴端点时,的最大值为bc;对于双曲线的焦点三角形有:①;②。如(1)短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为、,过作直线交椭圆于A、B两点,则的周长为________(答:6);(2)设P是等轴双曲线右支上一点,F1、F2是左右焦点,若,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 (答:);(3)椭圆的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当·<0时,点P
的横坐标的取值范围是 (答:);(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与等差中项,则=__________(答:);(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,.求该双曲线的标准方程(答:);
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
10、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=,若弦AB所在直线方程设为,则=。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);
11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。如(1)如果椭圆弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 (答:);(2)已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:);(3)试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称(答:); [来源:Zxxk.Com]
特别提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验![来源:学*科*网]
12.你了解下列结论吗?[来源:1ZXXK]
(1)双曲线的渐近线方程为;
(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,≠0)。如与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_______(答:)
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物线的焦点弦为AB,,则①;②
(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
13.动点轨迹方程:
(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;
(2)求轨迹方程的常用方法:
①直接法:直接利用条件建立之间的关系;如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:或);
②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答:);
③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为 (答:);(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:);(3) 一动圆与两圆⊙M:和⊙N:都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);
④代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点P是抛物线上任一点,定点为,点M分所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:);
⑤参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点,使,求点的轨迹。(答:);(2)若点在圆上运动,则点的轨迹方程是____(答:);(3)过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答:);[来源:学&科&网]
注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足(1)设为点P的横坐标,证明;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2);(3)当时不存在;当时存在,此时∠F1MF2=2)
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.[来源:Z*xx*k.Com]
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
(1) 给出直线的方向向量或;
(2)给出与相交,等于已知过的中点;
(3)给出,等于已知是的中点;
(4)给出,等于已知与的中点三点共线;
(5) 给出以下情形之一:①;②存在实数;③若存在实数,等于已知三点共线.
(6) 给出,等于已知是的定比分点,为定比,即
(7) 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,
(8)给出,等于已知是的平分线/
(9)在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;
(10) 在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;
(11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);
(12) 在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);
(13)在中,给出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
(14)在中,给出等于已知通过的内心;
(15)在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
(16) 在中,给出,等于已知是中边的中线;