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- 2021-05-13 发布
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<一>常用结论
1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1)转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行.
2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.
3.证明平面与平面平行的思考途径:(1)转化为判定二平面无公共点;(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直.
4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直;(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.
A1
E
D1
C1
B1
D
C
B
A
3、如图,在正方体中,是的中点,
求证: 平面。
5、已知正方体,是底对角线的交点.
求证:(1) C1O∥面;(2)面.
9、如图是所在平面外一点,平面,是的中点,是上的点,
例4、如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角的直二面角.是的中点.
(I)求证:平面平面;
(II)求异面直线与所成角的大小.
例5. 四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面.已知,,,.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.
例1如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.
A
B
C
D
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
例2已知三棱锥,底面是边长为的正三角形,棱的长为2,且垂直于底面.分别为的中点,求CD与SE间的距离.
B
A
C
D
O
G
H
例3. 如图,在棱长为2的正方体中,G是的中点,求BD到平面的距离
证明:连接交于,连接,
∵为的中点,为的中点
∴为三角形的中位线 ∴
又在平面内,在平面外
∴平面
证明:(1)连结,设,连结
∵ 是正方体 是平行四边形
∴A1C1∥AC且
又分别是的中点,∴O1C1∥AO且
是平行四边形
面,面 ∴C1O∥面
(2)面
又,
同理可证, 又
面
(1)求证:;(2)当,时,求的长。
证明:(1)取的中点,连结,∵是的中点,
∴,∵ 平面 ,∴ 平面
∴是在平面内的射影 ,取 的中点,连结 ,∵∴,又,∴[来源:学§科§网]
∴,∴,由三垂线定理得
(2)∵,∴,∴,∵平面.∴,且,∴
(I)由题意,,,
是二面角是直二面角,
,又,
平面,
又平面.
平面平面.
(II)作,垂足为,连结(如图),则,
是异面直线与所成的角.
在中,,,
.
又.
在中,.
异面直线与所成角的大小为.
(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,
得底面.
因为,所以,
又,故为等腰直角三角形,,
由三垂线定理,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,依题设,
故,由,,,得
,.
的面积.
连结,得的面积
设到平面的距离为,由于,得
,解得.
设与平面所成角为,则.
所以,直线与平面所成的我为.
(Ⅰ)取中点,连结.
A
B
C
D
O
F
为正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,
平面.
连结,在正方形中,分别为
的中点, , .
在正方形中,, 平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面.
, 为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,
又, .
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由,得,
.
点到平面的距离为.
如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,
为的中位线,∥∥面,
到平面的距离即为两异面直线间的距离.
又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面
的距离,设其为h,由题意知,,D、E、F分别是
AB、BC、BD的中点,
在Rt中,
在Rt中,
又
由于,即,解得
故CD与SE间的距离为.
思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.
解答过程:
解析一 ∥平面,
上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求
点O平面的距离,
,,平面,
又平面
平面,两个平面的交线是,
作于H,则有平面,即OH是O点到平面的距离.
在中,.
又.
即BD到平面的距离等于.
解析二 ∥平面,
上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求点B平面的距离.
设点B到平面的距离为h,将它视为三棱锥的高,则
,
即BD到平面的距离等于.
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