辽宁高考数学理科试卷带详解 15页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）‎ 数 学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.为正实数，为虚数单位，，则 ( )‎ ‎ A.2 B. C. D.1‎ ‎【测量目标】复数代数形式的四则运算.‎ ‎【考查方式】给出复数的除法形式，求解等式得出未知数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】∵,‎ ‎.故选B ‎2.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则 ( )‎ ‎ A.M B.N C.I D.‎ ‎【测量目标】集合的基本运算（交集，并集，补集）.‎ ‎【考查方式】给出集合并集的结果求交集的结果.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】即是是的真子集，.‎ ‎3.已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )‎ ‎ A. B‎.1 ‎ C. D.‎ ‎【测量目标】抛物线的简单几何性质.‎ ‎【考查方式】给出抛物线上两点与焦点线段之和，利用准线求线段中点到轴的距离.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】∵F是抛物线的焦点 F（）准线方程(步骤1)‎ 设A,B ‎∴|AF|+|BF|==3‎ 解得（步骤2）‎ ‎∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到轴的距离为.（步骤3）‎ ‎4.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos‎2A=，则 ( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【测量目标】正弦定理，余弦定理.‎ ‎【考查方式】给出三角形角与边满足的关系式，求两边的比值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】∵=‎ ‎∴由正弦定理可知=（步骤1）‎ ‎∴=‎ ‎∴.（步骤2）‎ ‎5.从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和 为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）= ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】随机事件与概率.‎ ‎【考查方式】给出两事件，通过求出两事件概率去求.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴=.（步骤1）‎ 事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴=（步骤2）‎ ‎∴=．（步骤3）‎ ‎6.执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的是 ( )‎ ‎ A.8 B‎.5 C.3 D.2‎ 第6题图 ‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图.‎ ‎【考查方式】给出流程图，将数值带入算法求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】=1，满足条件＜4，则执行循环体，=0+1=1，=1，=1（步骤1）‎ ‎=2，满足条件＜4，则执行循环体，=1+1=2，=1，=2（步骤2）‎ ‎=3，满足条件＜4，则执行循环体，=1+2=3，=2，=3（步骤3）‎ ‎=4，不满足条件＜4，则退出执行循环体，此时=3.（步骤4） ‎ ‎7.设sin，则 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】三角函数的诱导公式.‎ ‎【考查方式】给出三角函数的等式，求解的值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】由sin（）=sincos+cossin=（sin+cos）=，（步骤1）‎ 两边平方得：1+2sincos=，即2sincos=，‎ 则sin2=2sincos=．故选A. （步骤2）‎ ‎8.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，‎ 则下列结论中不正确的是 ( )‎ A.AC⊥SB ‎ B.AB平面SCD ‎ C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 ‎ D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 第8题图 ‎ ‎【测量目标】两条直线的位置关系，线面角，线面平行的判定.‎ ‎【考查方式】给出四棱锥图示，验证选项结论.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，‎ ‎∴连接BD，AC,则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；（步骤1）‎ ‎∵ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，‎ ‎∴AB平面SCD，故B正确；（步骤2）‎ ‎∵SD⊥底面ABCD，‎ 是与平面所成角，是SC与平面SBD所成的角，‎ 而△SAO≌△CSO，‎ ‎∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；（步骤3）‎ ‎∵ABCD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，‎ 而这两个角显然不相等，故D不正确；（步骤4）‎ ‎9.设函数，则满足的x的取值范围是 ( )‎ ‎ A.，2] B.[0，2] C.[1，+] D.[0，+]‎ ‎【测量目标】指数函数与对数函数化简.‎ ‎【考查方式】给出分段函数模型，求满足不等式未知数的取值范围.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】当时，的可变形为，．（步骤1）‎ 当＞1时，的可变形为，‎ ‎∴＞1，故x的取值范围[0，+∞）．（步骤2）‎ ‎10.若，，均为单位向量，且，，则的最大值为 ( )‎ ‎ A. B‎.1 ‎ C. D.2‎ ‎【测量目标】向量的基本运算.‎ ‎【考查方式】给出向量满足的关系式，求某向量关系的最大值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】∵‎ 又∵为单位向量，且=0，∴，（步骤1）‎ 而=.‎ ‎∴的最大值为1．（步骤2）‎ ‎11.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( )‎ ‎ A.（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）‎ ‎【测量目标】利用导数求函数的单调区间.‎ ‎【考查方式】给出函数满足的等式，求不等式解集.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】设 又对任意，即在上单调递增，‎ 则的解集为（1，+∞），即的解集为（1，+∞）．故选B ‎12.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为 ( )‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎【测量目标】圆的性质的应用，棱锥的体积.‎ ‎【考查方式】给出球直径，及内接三棱锥的部分棱长与角度，求三棱锥的体积.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】设球心为点O，作AB中点D，连接SD，CD ,因为线段SC是球的直径，‎ 所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90, ‎ 所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30， 得：AC=2，SA=（步骤1）‎ 又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30 ，得：BC=2，SB=2 则SA=SB，AC=BC（步骤2）‎ 因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=,‎ 在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且=（步骤3）‎ 又SD交CD于点D ，所以AB⊥平面SCD ,即棱锥SABC的体积：V=.（步骤4）‎ 因为SD=，CD=，SC=4,由余弦定理得：cos∠SDC= =‎ 则sin∠SDC=（步骤5）‎ 由三角形面积公式得△SCD的面积S=SDCDsin∠SDC=3（步骤6）‎ 所以棱锥SABC的体积：V=ABS△SCD=.（步骤7）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．‎ ‎【测量目标】双曲线简单几何性质.‎ ‎【考查方式】定点在双曲线上，给出焦距，求双曲线离心率.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】2‎ ‎【试题解析】∵，的焦距为4，‎ ‎∴F1（2，0），F2（2，0），‎ ‎∵点（2，3）在双曲线上，∴2=，‎ ‎∴=1，∴==2．‎ ‎14.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y ‎（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．‎ ‎【测量目标】线性回归方程.‎ ‎【考查方式】给出线性回归方程式，的增加一定值求增加的值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】0.254‎ ‎【试题解析】∵对的回归直线方程．‎ ‎∴=0.254（+1）+0.321，‎ ‎∴=0.254（+1）+0.3210.2540.321=0.254.‎ ‎15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯 视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ． ‎ 第15题图 ‎ ‎【测量目标】由三视图求几何体的表面积.‎ ‎【考查方式】给出三棱锥的体积，及俯视图，求三棱锥左视图的面积. ‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】设正三棱柱的侧棱长为a，由题意可知,所以=2，底面三角形的高为，所以左视图矩形的面积为2×=2．‎ ‎16.已知函数=Atan（x+）（），y=‎ 的部分图象如下图，则 ．‎ 第16题图 ‎ ‎【测量目标】的图象与性质. ‎ ‎【考查方式】结合正切函数图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】由题意可知A=1，=，所以=2，函数的解析式为：‎ 因为函数过（0，1），所以，1=tan，所以=，‎ 所以则=tan（）=.‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=10‎ ‎ （I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎ （II）求数列的前n项和．‎ ‎【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式与前项和的关系.‎ ‎【考查方式】已知递推关系求通项，再结合给出的关系式，求数列的前n项和.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得 解得 故数列的通项公式为（步骤1）‎ ‎ （II）设数列的前项和为，即故（步骤2）‎ ‎ 所以，当时，‎ ‎ （步骤3）‎ 所以 综上，数列（步骤4）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD．‎ ‎ （I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；‎ ‎ （II）求二面角Q—BP—C的余弦值．‎ 第18题图 ‎ ‎【测量目标】面面平行的判定，二面角.‎ ‎【考查方式】给出空间线线、线面的关系，利用空间直角坐标系求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—.‎ 第18题（I）图 ‎ ‎（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.‎ 则 所以（步骤1）‎ 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.‎ 故PQ⊥平面DCQ. （步骤2）‎ 又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. （步骤3） ‎ ‎ （II）依题意有（1，0，1），‎ 设是平面PBC的法向量，则 因此可取（步骤4）‎ 设是平面PBQ的法向量，则 可取 故二面角Q—BP—C的余弦值为（步骤5）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．‎ ‎ （I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎ （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 品种甲 ‎403‎ ‎397‎ ‎390‎ ‎404‎ ‎388‎ ‎400‎ ‎412‎ ‎406‎ 品种乙 ‎419‎ ‎403‎ ‎412‎ ‎418‎ ‎408‎ ‎423‎ ‎400‎ ‎413‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．‎ ‎【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.‎ ‎【考查方式】给出种植方式求分布列与数学期望，再根据样本方差与样本平均数判断应选品种.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且 即X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（步骤1）‎ ‎ ‎ X的数学期望为 ‎ （步骤2）‎ ‎ （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎（步骤3）‎ ‎ ‎ 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎（步骤4）‎ 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．‎ ‎ （I）设，求与的比值；‎ ‎ （II）当变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由． ‎ 第20题图 ‎ ‎【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【考查方式】给出离心率求线段比值，判断在离心率变化时，是否存在直线使已知两直线平行. ‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 ‎(步骤1)‎ 设直线，分别与，的方程联立，求得 ‎ (步骤2)‎ 当表示的纵坐标，可知 ‎ (步骤3)‎ ‎ （II）=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率与AN的斜率相等，即 解得(步骤4)‎ 因为(步骤5)‎ 所以当时，不存在直线l，使得BOAN；‎ ‎ 当时，存在直线l使得BOAN. (步骤6)‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎ （I）讨论的单调性；‎ ‎ （II）设，证明：当时，；‎ ‎ （III）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．‎ ‎【测量目标】利用导数判断函数的单调性，利用导数解决不等式问题.‎ ‎【考查方式】给出含参的函数式，利用导数判断函数的单调性，通过限定参数范围，证明不等式.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（I）的定义域为 ‎ ‎ （i）若则所以在单调增加.‎ ‎ （ii）若则由得 且当时当时(步骤1)‎ 所以单调增加，在单调减少. (步骤2)‎ ‎ （II）设函数则 ‎(步骤3)‎ 当时而.‎ 故当， (步骤4)‎ ‎ （III）由（I）可得，当时函数的图象与轴至多有一个交点，‎ 故，从而的最大值为(步骤5)‎ 不妨设则 由（II）得 又在单调递减，‎ 从而于是(步骤6)‎ ‎ 由（I）知， (步骤7)‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．‎ ‎ （I）证明：CD//AB；‎ ‎ （II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F 四点共圆．‎ 第22题图 ‎ ‎【测量目标】直线与圆的位置关系.‎ ‎【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行，结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD. （步骤1）‎ 因为四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. ‎ 故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB. （步骤2）‎ ‎ （II）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC. （步骤3） ‎ 连结AF，BG，则△EFA△EGB，故∠FAE=∠GBE，（步骤4）‎ 又CDAB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA. （步骤5）‎ 所以∠AFG∠GBA=180.‎ 故四点共圆.（步骤6）‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．‎ ‎ （I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；‎ ‎ （II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A‎1A2B2B1的面积．‎ ‎【测量目标】极坐标与参数方程.‎ ‎【考查方式】根据圆和椭圆的位置关系求出参数方程中各参数.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（I）是圆，是椭圆.‎ ‎ 当时，射线l与交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.‎ ‎ 当时，射线l与交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1. （步骤1）‎ ‎ （II）的普通方程分别为（步骤2）‎ ‎ 当时，射线l与交点的横坐标为，与交点的横坐标为 ‎ ‎ 当时，射线l与的两个交点分别与关于x轴对称，因此，‎ 四边形为梯形. （步骤3）‎ ‎ 故四边形的面积为（步骤4）‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数=|x2|x5|．‎ ‎ （I）证明：3；‎ ‎ （II）求不等式x2x+15的解集．‎ ‎【测量目标】不等式的证明，分段函数.‎ ‎【考查方式】对绝对值函数的分段讨论，进而得出不等式的解集.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（I）（步骤1）‎ ‎ 当 ‎ 所以 （步骤2）‎ ‎ （II）由（I）可知，‎ ‎ 当的解集为空集；‎ ‎ 当；‎ ‎ 当.（步骤3）‎ ‎ 综上，不等式 （步骤4） ‎