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- 2021-05-13 发布
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2014山东高考数学题思考
2014年山东高考数学个人感觉“四平八稳,平淡无奇”。除了22题外没有其他题目使人愿意研究。由于连夜赶制有些数据仅仅靠这个人记忆不敢保证没有错误。下面研究22题。
(2014山东高考数学理科21题)已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为3时,为正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线,且和有且只有一个公共点,
(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
解析(Ⅰ)的方程:;(略)
(Ⅱ)(ⅰ)(法一)答案标准解法:
(Ⅱ)(ⅰ)(法二)导数法(与2013年山东理科22题(3)问导数法一样):
E
F
D
B
G
A
H
W
(由对称性及特殊情况“通径”在解答之前就已经知道答案是(1,0)!
(Ⅱ)(ⅰ)(法三)光学性质+几何法(与2013年山东理科22题光学法类似):
做,由抛物线的光学入射及反射原理知:
(Ⅱ)(ⅱ)(法一)标准答案,略,太繁琐了。
(Ⅱ)(ⅱ)(法二)巧用切线转化三角形面积,与2014青岛二模20题类似。
E
F
D
B
G
A
H
W
如图:结合等,不难求得:
定值问题共计21次:2005理科22(2)、2005文科22(2)、2006理科21(2)、2007理科22(2)、2007文科22(2)、2008理科22(3)、2009文科22(2)、2009理科22(2)、2010理科21(2)与(3)、2010文科22题(2)与(3)、2011理科22(1)(3)、2011文科22(2)(3)、2012理科21(2)、2013文科22(2)、2013理科22(3)、2014理科21(2)、2014文科21(2);其中直线过定点问题7次,定圆问题3次,求点问题3次,求定值7次,判定三角形形状1次。
最值问题共计11次:2006文科21(2)、2008文科22(3)、2009理科22(3)、2009文科22(3)、2011理科22(2)、2011文科22(1)、2012理科22(3)、2012文科22(2)、2013理科22(2)、2014理科21(3)、2014文科21(3);其中三角形面积问题5---7次(含一次四边形面积最值,另2011理科22与2013文科22尽管未求面积最值但是以三角形面积为条件),长度问题5次,向量数量积1次。
附:2013山东理科22题涉及光学问题、导数问题对比,及2014青岛二模面积转化问题对比。
(2013山东高考数学理科22题)椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.
(Ⅰ)求椭圆C的方程; 答案:
(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点, 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.
(Ⅱ)方式三:(光学原理+第三问结论)如图结合物理光学知识不难发现:
光线从出发到点经过椭圆(相当于入射过点与椭圆相切的直线上)反射经过点,由入射角等于反射角原理可知:;在第(3)问中我们可以推出:,,
注意1:此法前提为第三问要能够推导出来。
注意2:这个光学原理我没有证明,但是我很有信心它是正确的。
(Ⅲ)(法二:方程法)
导数方式一:,以下略。
结论法:椭圆的在点处的切线方程为:,所以,以下略。
(Ⅲ)(法三:光学原理+第(2)问结论)如图结合物理光学知识不难发现:
光线从出发到点经过椭圆(相当于入射过点与椭圆相切的直线上)反射经过点,由入射角等于反射角原理可知:;在第(2)问中我们可以推出:;又,
,以下略。
(2014青岛二模20题)已知动圆与圆相切,且与圆相内切,记圆心的轨迹为曲线;设为曲线上的一个不在轴上的动点,为坐标原点,过点作的平行线交曲线于两个不同的点.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)试探究和的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由;
(Ⅲ)记的面积为,的面积为,令,求的最大值.
解:
(III),的面积的面积,
到直线的距离
…………………………11分
令,则
(当且仅当,即,亦即时取等号)
当时,取最大值……………………………………………………13分